书城科普读物数理化之谜
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第21章 方中排圆的秘决

在一个边长为10厘米的正方形中,最多可排多少个不相交的直径为1厘米的圆?

最容易想到的排法往往是排成10排,每排排10个圆,10排的总高度正好是10厘米,一共可排100个圆(图如右)。

但我们知道,四个等圆两两相切和三个等圆两两相切相比,四个圆中间所留的空隙较大(图如右),因此采用这种排法圆的个数并不是最多的。

要排出更多的圆就必须把已排出的圆“挤紧”,也就是要充分利用中间的空隙。显然,这就要把圆排成每三个成两两相切的。因此第一排排10个,交错一下第二排排9个,第三排排10个,……这样虽然有几排只排9个,但由于11排的高度还不到10厘米,因此可以排11排,有6排10个圆,5排9个圆,共可排105个(图如下)。

再任细看一下这种排法,可以发现第11排与正方形的上边缘留下了一段空隙。能不能再利用这段空隙呢?我们知道在不越出正方形的条件下,只要将排9个圆的一排改成排10个圆就可以增加1个圆。因此我们应使排10个圆的排数尽可能地多。经过试验,可以将2排9个圆的改为10个圆,因此最多可以排107个圆(图如下)。