勾股定理的发现
1995年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成，这张邮票是为了纪念两千多年前古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理而发行的。邮票中下面的正方形分成了25个小正方形，上面两个正方形，一个分成16个小正方形，另一个分成9个小正方形。每个小正方形面积都相等。9 16=25，说明上面两个正方形的面积和等于下面大正方形的面积。从另一个角度看，这三个正方形的边围成了一个直角三角形，该直角三角形三边长分别是3，4，5.由32=9，42=16，52=25可知，这个直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，这就是著名的勾股定理。
传说，有一次毕达哥拉斯去朋友家做客，客人们高谈阔论，又吃又喝，惟独毕达哥拉斯独自一个人望着方砖地发愣。他用棍在地上勾出一个图形，中间有一个直角三角形ABC。在直角三角形ABC的每条边上，都有一个正方形，BC2等于正方形BCDE的面积，正方形BCDE是由两黑两白四个三角形组成的。AB2等于正方形ABFG的面积，它由两个黑色三角形组成。同样AC2等于正方形ACHM的面积，它也由两个黑色三角形组成。由于白三角形和黑三角形面积相等，因此有DEBC的面积=ABFG的面积 ACHM的面积。也就是AB2 AC2=BC2.
方砖地的启示使毕达哥拉斯得到了勾股定理。毕达哥拉斯认为这个定理太重要了，他所以能发现这个重要定理，一定是“神”给予了启示，于是他下令杀100头牛祭祀天神，起名为“百牛定理”，也叫做“毕达哥拉斯定理”。
其实，这个定理不独是毕达哥拉斯发现的。下面，介绍两千多年前我国周代人测日高的方法，你会发现我国是最早使用勾股定理的。
由于受科学水平的限制，周代人还不知道地球是圆的，认为地面就是一个大平面。他们于农历夏至时在地面上立一根8尺长的标杆，测量出标杆的影子长度为6尺。又假设把标杆每向南移动500千米，日影就要缩短一寸。由于标杆的影长为6尺，如果我们把标杆连续向南移动60个一千里（1里=500米），即6万里的话，标杆的影长就缩短为零了，这时标杆就跑到了太阳的正下方。
由△ADE～△ABC，得
DEBC=ADAB
DE=BC×ADAB=8×66=8（万里）
这样就求出了太阳的高度为8万里。
以上求法最早见于我国的《周髀算经》，该书记载了两千多年前我国在数学和天文学方面的许多重要成就，内容十分丰富。书中除了求出了太阳距地面的垂直高度为8万里，还进一步求出了太阳到A点的距离AE：
AE=ED2 AD2
=62 82=10（万里）
就是说太阳到测量地点的距离为10万里。
《周髀算经》中把太阳高度ED叫做“股”，把AD叫做“勾”，斜边AE叫做“弦”，得到关系式勾2 股2=弦2，也就是AE2=ED2 DA2，这就是著名的“勾股定理”。勾股定理给出了直角三角形三条边的确定关系。勾股定理的发现是我们的祖先对数学的一大贡献。
日高八万里对不对呢？不对。现代测得太阳光大约需要8分钟才能到达地球。光每秒钟走30万千米，8分钟是480秒，由此可算得太阳到地球的距离大约等于30×480=14000（万千米），即1.44亿千米。8万里合4万千米，与1.44亿千米相差太大了。周代人错在哪里呢？（一）“假设标杆向南移动500千米，日影缩短一寸”是错误的；（二）大地是个球面，但周代人把它看成了平面，这也是错误的。但是他们所使用的数学原理却是完全正确的。
“勾股定理”用语言叙述是：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。或说成“勾方加股方等于弦方”。勾股定理的逆定理也是对的，即“在一个三角形中，如果有两条边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角必定是直角。”这个逆定理也早就被古埃及人发现了，他们利用这个定理来做直角。方法是取三边分别为3，4，5（长度单位不限）构成一个三角形，长边所对的角就是直角。
古埃及定直角的方法至今还在许多地方使用着。比如盖房子时先要定好地基，地基多是长方形的。怎样检查地基所划出的长方形每个角都是直角呢？在长方形的各个顶点插上木棍，圈上绳子。另取一段绳子EF，组成一个三角形AEF，测量AE，AF，EF的长度，计算它们是否符合EF2=AE2 AF2
如果符合，则∠A是直角；如果不符合，则∠A不是直角，还需要调整。
是不是只有3，4，5才能满足勾股定理呢？显然不是，比如5，12，13也满足勾股定理，算一算：52=25，122=144，132=169.
∵25 144=169
∴52 122=132
人们把满足a2 b2=c2的一组数a，b，c叫做“勾股数”。
勾股数组
在我国古代的数学著作——《周髀算经》中，第一篇就有“勾三股四弦五”。所谓勾和股，是指直角三角形的两个直角边，而弦是指它的斜边。“勾三股四弦五”是对勾股定理的一种描述。所谓勾股定理，就是直角三角形斜边上的正方形的面积，等于两条直角边上正方形面积的和。这个定理在有些国家被称为毕达哥拉斯定理。
直角三角形的三边，除了可以为3、4、5外，还有很多其他的情况，例如5、12、13，8、15、17等。而这些数组，也就是满足方程x2 y2=z2的正整数组（x，y，z），被称为勾股数组。由于方程x2 y2=z2有三个未知数，有无数组解，因此这种方程也叫不定方程。显然，如果（x，y，z）是一组勾股数，那么（kx，ky，kz）也一定是一组勾股数。反之，如果x、y有公约数d，那么，d也一定是z的约数。也就是说，它们之间的公约数一定相等。因此，通常我们只考虑x、y、z两两互素的情况。
那么，x、y、z之间有什么关系呢？也就是说，怎样来构造一组勾股数组呢？
公元前6世纪，希腊数学家毕达哥拉斯的方法是：任取一个奇数，再把它的平方数分成相差为1的两个数，这三个数就是一组勾股数组。也就是说，先取奇数2x 1，再把它的平方数4x2 4x 1，分成为2x2 2x和2x2 2x 1两个数，那么2x 1、2x2 2x、2x2 2x 1就是一组勾股数组。例如67、2244、2245.
公元1世纪，在《九章算术》中有一个更为巧妙的方法：如果给了两个数m、n，那么12（m2-n2）、mn、12（m2 n2）就是一组勾股数组。例如当m=7，n=3时，就得出20、21、29；当m=5，n=3时，就得出8、15、17.公元3世纪，大数学家刘徽用几何方法证明了这个公式。
公元3世纪，希腊数学家丢番图提出的公式是：2mzm2 1、m2mzm2 1-z、z。如果令m=uv，z=u2 v2，那么，就得到2uv、u2-v2、u2 v2.你看出来了吗，它和《九章算术》的公式只差一个系数2；而毕达哥拉斯的公式也正是这个公式的一个特殊情况：u=z 1，v=z。
那么，随便给两个数m、n或u、v，用上面的公式，是不是能把所有的两两互素的勾股数组都构造出来呢？当然不行。但是，如果我们把m、n或u、v加以限制，也就是说，如果m、n是两个互素的奇数，那么，用《九章算术》的那个公式，就可以造出全部两两互素的勾股数组，因此，我们可以把它们叫做方程x2 y2=z2的通解公式。当然，对于同一组勾股数，可以用不同的公式求得。
仔细观察勾股数组，我们还可以发现：它们总是具有一定的奇偶关系，也就是二奇一偶。事实上，如果x、y、z是一组两两互素的勾股数，那么x、y必定一奇一偶，z必为奇数。为什么会是这样呢？请你自己作一个证明。
什么是“贾宪三角”
公元1261年，我国宋代数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排列起来的三角阵（如下页图），由于引用了贾宪著的《开方作法本源》和“增乘开方法”，因此这个三角阵就叫做“贾宪三角”。在欧洲，这一三角形叫做帕斯卡三角形，是帕斯卡在1654年研究出来的，比贾宪迟600年。
那么，贾宪三角有什么用呢？
贾宪三角中各行中的数字正好是二项式a b乘方后，展开式中各项的系数。譬如（a b）1=a b；
（a b）2=a2 2ab b2；
（a b）3=a3 3a2b 3ab2 b3；
……
仔细观察这一三角阵，我们可以发现它排列的规律：每下一行的数比上一行多1个，两边都是1，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和。按照这一规律，我们就可以将这一三角阵继续写下去，并得到我们所需要的二项式展开式的系数。
那么，最初这一三角阵又是如何构造出来的呢？据史书记载，贾宪的方法是“增乘法”。所谓“增乘”是“以加求乘（方）”的意思。下面三条规则造出来的：（1）第一行是8个1；（2）第二行起每行比上一行少左边的一个数；（3）每一行从右边开始逐个数相加到某个数（只要这个数不是左边第一个数）所得到的和写在这个数的正下方（例如，第三行右边4个数相加1 3 6 10所得到的和20便是第四行右边第四个数）。
把由“增乘法”得到的上述数表整个地按逆时针方向旋转45°，便得到八行的“贾宪三角”。
与“增乘法”类似的还有“增开方法”，可以用于解数字系数的高次方程。
16岁的巴斯卡发现几何定理
法国著名数学家、哲学家笛卡儿看到16岁少年巴斯卡所写的一个定理后十分惊讶，他不敢相信巴斯卡小小年纪能如此出色地发现这么重要的几何定理。笛卡儿摇着头说：“16岁的少年不会发现这个定理！”
德国著名数学家、微积分创立人之一的莱布尼兹说过：“当我读到巴斯卡的著作，使我像触电一样，突然悟到了一些道理。”
笛卡儿所说的定理，是以巴斯卡的名字命名的几何定理。其内容是：
若一个六边形内接于一圆（更一般是圆锥曲线），则每两条对边相交而得到三个点在同一条直线上。
例如，六边形ABCDEF内接于圆O，对边AF和CD延长线交于Q，同样AB和DE交于P，FF和BC交于R，交点P、Q、R位于同一条直线上。如果六边形的对边两两平行，比如正六边形怎样办？这时认为平行的对边交于无穷远点，那么三个无穷远点P、Q、R将位于同一条无穷远线上。
后来，数学家就把这个定理叫“巴斯卡定理”。把P、Q、R所在的直线叫做“巴斯卡直线”或“巴斯卡线”。
数学上，把几个特殊点在一条直线上的问题叫“共线问题”。由于两点决定一条直线，因此，三个以上的点共线都需要证明。历来的数学家都很重视共线问题。巴斯卡本人从“巴斯卡定理”出发推出了几百条推论。
下面是两个著名的共线问题：
“三角形的重心、垂心和外心共线。这条直线叫欧拉线。”
此定理叫做欧拉定理。
三角形的三条中线交于一点叫三角形的重心，三条高线交于一点叫三角形的垂心，三条边的垂直平分线交于一点叫三角形的外心。上述的欧拉定理告诉我们，这三个点共线。
欧拉定理和欧拉线在几何中占有很重要的地位。下面介绍另一个常用的共线定理，叫做梅涅劳定理。梅涅劳是公元1世纪希腊数学家兼天文学家。
“在三角形三条边上（或延长线上）各取一点，这三点共线的充分必要条件是三个特定的比的乘积等于1.”
例如，X、Y、Z是△ABC三边BC、CA、AB或其延长线上的点，则它们共线的充分必要条件为XBXC·YCYA·ZAAB=1
梅涅劳定理对证明共线问题很有用途。但是这个定理后来被人们遗忘了，直到1678年才由意大利数学家兼水力工程师塞瓦重新发现。所以，这个定理有时也叫“塞瓦定理”。
数学王子与匈牙利少年不谋而合的发现
尽管《几何原本》得到后人很高的评价，但是人们对它也不是毫无保留。
早在古希腊时期，就有人对《几何原本》中的第五公设产生怀疑，认为第五公设并不像其他几个公设和公理那样显而易见。把第五公设作为不证自明的真理，使人们不容易接受。
第五公设如果不作为公理，它就应该作为定理可以从其他公理中推证出来。两千年来，许多著名的数学家都参加了证明第五公设的大军，呕心沥血证明第五公设。不少数学家兴高采烈地宣布自己已经证明了第五公设。但是没过多久就有人指出他的证明中有错误，结论不能成立。
直到18世纪，这个问题才有了突破。第一个从证明第五公设大军中觉悟过来的，是德国著名数学家、被誉为“数学王子”的高斯。
高斯从小就显露出数学的才华；他19岁时，证明了可以用圆规和直尺作正十七边形。
尺规作图问题是历史遗留下来的、极其困难的问题之一。
19岁就发表了被称为“代数基本定理”的博士论文。高斯也花费了许多心血去证明第五公设。
当时，人们已经认识到第五公设和平行公理是等价的。平行公理是：“过直线外一点，只能作一条直线和给定的直线平行。”所谓等价，就是说如果把第五公设作为公理，那么平行公理就可以由第五公设推证出来，这时平行公理就成了定理；反过来，如果把平行公理当作公理，同样可以把第五公设当作定理证明出来。由于平行公理叙述比第五公设简单、明确，因此证明第五公设的大军都转向证明平行公理去了。
当高斯竭尽全力也证不出平行公理时，他逐渐意识到平行公理是不可能证明的。1817年，40岁的高斯给朋友写信时提到：“我日益相信几何学中所需要证明的部分是不能证明的，至少对于人类的智力来说是不能达到的。”但是，高斯并没有停止在“不能证出”这一级阶梯之上，他又往更高处攀登，他发现了一种前人所不了解的惊人的新几何学。
后来，数学家又发现平行公理和“三角形内角和等于180°”也是等价的。如果能证出“三角形内角和等于180°”也就等于证出了平行公理，证出了第五公设。
1824年，47岁的高斯给朋友的信中写道：“三角形的内角和小于180°，这个假定引向一种特殊的和我们的几何学完全不相同的几何。这种几何是完全相容的，当我发展它的时候，结果完全令人满意。”
既然高斯发现了一种与欧几里得几何完全不同的几何学，他为什么不赶快发表呢？40多岁的高斯，当时在欧洲是数学界最高的权威，有很高的声望。他担心这种新几何学发表以后，别人不但不理解，反而会讥笑、嘲讽他。不敢冒丢失名誉的风险，使得高斯一辈子没有公开发表这种新几何学。
正当高斯犹豫时，一位匈牙利少年波约伊把这种新几何学提了出来。
小波约伊的父亲老波约伊是高斯的同窗好友。老波约伊一辈子都试图证明平行公理，但是没有获得成功。当小波约伊知道父亲在致力于证明平行公理时，一种好奇心驱使他也参加证明平行公理的行列。老波约伊知道自己的儿子也在醉心平行公理的证明时非常紧张。他害怕儿子也和自己一样，证一辈子平行公理也毫无结果。他赶紧写信给在维也纳读书的小波约伊，信中写道：“希望你再也不要做证明平行公理的尝试。即使你花去所有的时间在这上面，你一辈子也证不出这个定理。”信中又写道：“在这方面，我埋没了人生的一切亮光和欢乐。上帝啊！希望你放弃这个问题，对它的害怕应该多于感情上的留恋。因为它会剥夺你生活中一切时间、健康、休息和幸福。这个无希望的黑暗能够使上千座牛顿之塔沉没，这个黑夜任何时候都不可能使大地上见到光明。”
父亲的劝告并没有阻止小波约伊对平行公理的钻研，而且很快得出了与高斯发现的同样结果。他于1823年高兴地写信给父亲说：“我坚决地决定发表自己关于平行公理的工作，只要我把资料整理好，我就这样做，现在我虽然还没有完全达到目的，但是我已经获得一些令人注目的结果；如果这些东西遭受摧残的话，那就太可惜了。当您看到这些结果的时候，您也会这样想的。我先说这么一点，我已经从乌有中创造了整个世界。”小波约伊提出这种新几何学时，年龄刚满21岁。
1832年出版了老波约伊的一本几何著作。在这本书的最后，以附录方式发表了小波约伊整理出来的一篇题为《关于一个与欧几里得的平行公理无关的空间的绝对真实性的学说》的论文。
小波约伊非常希望得到数学权威高斯的支持。高斯在回信中，虽然赞扬了他有头等的天才，但是对小波约伊提出的新几何学并没有给予热情支持。小波约伊对高斯的回信非常失望，对他深入研究的热情如同泼了一桶冷水。
1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了这种新几何学的详尽内容。当小波约伊知道有人又提出了这种新几何学时，他对于自己的发现没有得到任何人的同情和理解十分恼怒，继而变得十分消沉。从此，他抛弃了数学的研究，一个数学天才被埋没了。
模糊数学的发现
现实生活中，存在着许多不能用“非此即彼”来简单判断的事情，比如如何判断一个人是不是老年人，怎样的天气算是好天气，等等。这种现象称为模糊现象。
1965年，美国控制论专家扎德创立了处理模糊现象的数学理论体系——模糊数学。模糊数学是通过引进模糊集合来研究模糊现象的。通常，集合是指具有某个性质的对象的全体。任何一个被研究的对象要么具有这个性质，要么不具有，即要么是集合中的元素，要么不是，不能似是而非。模糊集合打破了这一观念，对于模糊集合中的每一元素，都有一个反映该元素属于这个集合程度的量——隶属度，从而对亦此亦彼的中介性质给出了具体描述。模糊数学在自动控制、图像、识别、信息处理、医学诊断等方面有着广泛的应用。
“代数学”的由来
“代数学”一词，来自拉丁文，但是它又是从阿拉伯文变来的，其中还有一段曲折的历史：
7世纪初，穆罕默德创立伊斯兰教，并迅速传播开去，他的继承者统一了阿拉伯，又不断向外扩张，建立了横跨欧、亚、非三洲的大帝国，我国史书上称为“大食国”。
大食国善于吸取被征服国家的文化，把希腊、波斯和印度的书籍译成阿拉伯文，设立许多学校、图书馆和观象台。在这个时期出现了许多数学家，最著名的是9世纪的阿尔·花拉子模。这个名字的原意是“花拉子模人摩西之子穆罕墨德”，简称阿尔·花拉子模。
阿尔·花拉子模约生活于公元780-850年的人。公元820年左右，他写了一本《代数学》。到公元1140年左右，罗伯特把它译成拉丁文。书名是《‘ilm aljabr ma’l muquabulah》，其中aljabr是“还原”或“移项”的意思。mal muquabulah是“对消”，即将两端相同的项消去或合并同类项。全名是“还原与对消的科学”，也可以译为“方程的科学”。后来第二个字渐渐被人遗忘，而aljabr这个字变成了algebra，这就是拉丁文的“代数学”。
“代数学”这个名称，在我国是1859年正式使用的。这一年，我国清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力合作翻译英国数学家棣么甘所著的《Elements of Alegbra》，正式定名为《代数学》。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数术》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓代数，就是用符号来代表的一种方法。
阿尔·花拉子模的《代数学》讨论了方程的解法，并第一次给出了二次方程的一般解法。书中承认二次方程有两个根，还允许无理根的存在。阿尔·花拉子模把未知数叫做“根”，是树根、基础的意思，后来译成拉丁文radix，这个词有双重意义，它可以指一个方程的解，又可以指一个数的方根，一直沿用到现在。
阿尔·花拉子模的《代数学》有一个重大的缺点，就是完全没有代数符号，一切算法都用语言来叙述。比如“x2 10x=39”要说成“一个平方数及其根的十倍等于三十九”。如果把用符号和字母来代替文字说成是代数学的基本特征的话，阿尔·花拉子模的《代数学》恐怕名不符实。
负数的出现
早在两千多年以前，我国就了解了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。那时候还没有纸，计算时使一些小竹棍摆出各种数字。这些小竹棍叫做“算筹”。
人们在生活中经常遇到各种具有相反意义的量。比如在记账时会有余有亏；在计算粮仓存米数时，有进粮食、出粮食。为了方便，就考虑用具有相反意义的数——正负数来记它们。把余钱记为正，亏钱记为负；进粮食记为正，出粮食记为负等等。
我国三国时期魏国学者刘徽，在建立正负数方面有重大贡献。
刘徽首先给出了正负数的定义。他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，以正数和负数来区分它们。
刘徽第一次给出了区分正负数的方法。他说：“正算赤，负算黑。否则以邪正为异。”意思是说，用红色的棍摆出的数表示正数，黑色的棍摆出的数表示负数。也可以用斜摆的棍表示负数，用正摆的棍表示正数。
刘徽第一次给出绝对值的概念，他说：“言负者未必负于少，言正者未必正于多。”意思是说，负数的绝对值不一定小，正数的绝对值不一定大。
我国两千年前的数学著作《九章算术》中，记载了正负数加减法的运算法则，原话是：
“正负术曰：同名相除，异名相益，正无人负之，负无人正之；其异名相除，同名相益，正无人正之，负无人负之。”
这里“名”就是号，“除”就是减，“相益”、“相除”就是两数绝对值相加、相减，“无”就是零。
用现代语言解释，就是：“正负数加减的法则是：同符号两数相减，等于其绝对值相减；异符号两数相减，等于其绝对值相加。零减正数得负数，零减负数得正数。异符号两数相加，等于其绝对值相减；同符号两数相加，等于其绝对值相加。零加正数得正数，零加负数得负数。”
这一段关于正负数加减法的叙述，是完全正确的。负数的引入是我国古代数学家杰出的创造之一。
用不同颜色的数来表示正负数的习惯一直保留到现在。现代一般用红色数表示亏钱，表示负数，报纸上有时登载某某国家经济上出现“赤字”，表明这个国家支出大于收入，财政上亏了钱。
无理数的发现
无理数怎么和谋杀案扯到一起去了？这件事还要从公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派说起。
毕达哥拉斯学派的创始人是著名数学家毕达哥拉斯。他认为：“任何两条线段之比，都可以用两个整数的比来表示。”两个整数的比实际上包括了整数和分数。因此，毕达哥拉斯认为，世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了。
可是不久就出现了一个问题，当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m等于多少？是整数呢，还是分数？
根据勾股定理m2=12 12=2，m显然不是整数，因为12=1，22=4，而m2=2，所以m一定比1大，比2小。那么m一定是分数了。可是，毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也找不出这个分数。
边长为1的正方形，它的对角线m总该有个长度吧！如果m既不是整数，又不是分数，m究竟是个什么数呢？难道毕达哥拉斯错了，世界上除了整数和分数以外还有别的数？这个问题引起了毕达哥拉斯极大的苦恼。
毕达哥拉斯学派有个成员叫希伯斯，他对正方形对角线问题也很感兴趣，花费了很多时间去钻研这个问题。
毕达哥拉斯研究的是正方形的对角线和边长的比，而希伯斯却研究的是正五边形的对角线和边长的比。希伯斯发现当正五边形的边长为1时，对角线既不是整数也不是分数。希伯斯断言：正五边形的对角线和边长的比，是人们还没有认识的新数。
希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯认为数只有整数和分数的理论，动摇了毕达哥拉斯学派的基础，引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。为了维护毕达哥拉斯的威信，他们下令严密封锁希伯斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑——活埋。
真理是封锁不住的。尽管毕达哥拉斯学派教规森严，希伯斯的发现还是被许多人知道了。他们追查泄密的人，追查的结果，发现泄密的不是别人，正是希伯斯本人！
这还了得！希伯斯竟背叛老师，背叛自己的学派。毕达哥拉斯学派按照教规，要活埋希伯斯，希伯斯听到风声逃跑了。
希伯斯在国外流浪了好几年，由于思念家乡，他偷偷地返回希腊。在地中海的一条海船上，毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希伯斯：残忍地将希伯斯扔进地中海。无理数的发现人被谋杀了！
希伯斯虽然被害死了，但是无理数并没有随之而消灭。从希伯斯发现中，人们知道了除去整数和分数以外，还存在着一种新数，2就是这样的一个新数。给新发现的数起个什么名字呢？当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称“有理数”；而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”。
有理数和无理数有什么区别呢？
主要区别有两点：
第一，把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，比如4=4.0，0，45=8，13=0.333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.4142……根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数。
第二，所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数却不能写成两个整数之比。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫“比数”，把无理数改叫“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太理解罢了，利用有理数和无理数的主要区别，可以证明2是无理数，使用的方法是反证法。
证明2是无理数。
证明：假设2不是无理数，而是有理数。
既然2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
2=pq
又由于p和q有公因数可以约去，所以可以认为pq为既约分数。
把2=pq两边平方，得：2=p2q2
即2q2=p2
由于2q2是偶数，p必定为偶数，设p=2m
由2q2=4m2
得q2=2m2
同理q必然也为偶数，设q=2n。
既然p和q都是偶数，它们必有公因数2，这与前面假设pq是既约分数矛盾。这个矛盾是由假设2是有理数引起的。因此2不是有理数，而应该是无理数。
无理数可以用线段长度来表示。下面是在数轴上确定某些无理数位置的方法，其中2，3，5……都是无理数。具体做法是：
在数轴上，以原点O为一个顶点，以从O到1为边作一个正方形。根据勾股定理有：
OA2=12 12=2
OA=2
以O为圆心，OA为半径画弧与OX轴交于一点，该点的坐标为2，也就是说在数轴上找到了表示2的点；以2点引垂直于OX轴的直线，与正方形一边的延长线交于B，同理可得OB=3，可在数轴上同法得到3.还可以得到5，6，7，等等无理数点。
也可以用作直角三角形的方法，得到表示，2，3，5等无理数的发现。
有理数与无理数合称实数。初中阶段遇到的数都是实数。今后还要陆续学到许多无理数，如e，sin10，log10等等。
虚数的发现
从自然数逐步扩大到了实数，数是否“够用”了？够不够用，要看能不能满足实践的需要。
在研究一元二次方程x2 1=0时，人们提出了一个问题：我们都知道在实数范围内x2 1=0是没有解的，如果硬把它解算一下，看看会得到什么结果呢？
由x2 1=0，得x2=-1.
两边同时开平方，得x=±-1（通常把-1记为i）。
-1是什么？是数吗？关于这个问题的正确回答，经历了一个很长的探索过程。
16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了-1，对它还进行过运算。
17世纪法国数学家和哲学家笛卡儿把-1做“虚数”，意思是“虚假的数”、“想像当中的，并不存在的数”。他把人们熟悉的有理数和无理数叫做“实数”，意思是“实际存在的数”。
数学家对虚数是什么样的数，一直感到神秘莫测。笛卡儿认为：虚数是“不可思议的”。大数学家莱布尼兹一直到18世纪还以为“虚数是神灵美妙与惊奇的避难所，它几乎是又存在又不存在的两栖物”。
随着数学研究的进展，数学家发现像-1这样的虚数非常有用，后来把形如2 3-1，6-5-1，一般地把a b-1记为a bi，其中a，b为实数，这样的数叫做复数。
当b=0时，就是实数；
当b≠0时，叫做虚数。
当a=0，b≠0时，叫做纯虚数。
虚数作为复数的一部分，也是客观存在的一种数，并不是虚无飘渺的。由于引进了虚数单位-1=i，开阔了数学家的视野，解决了许多数学问题。如负数在复数范围内可以开偶次方，因此在复数内加、减、乘、除、乘方、开方六种运算总是可行的；在实数范围内一元n次方程不一定总是有根的，比如x2 1=0在实数范围内就无根。但是在复数范围内一元n次方程总有几个根。复数的建立不仅解决了代数方面的问题，也为其他学科和工程技术解决了许多问题。
自然数、整数、有理数、实数、复数，人类认识的数，在不断地向外膨胀。
随着数概念的扩大，数增添了许多新的性质，但是也减少了某些性质。比如在实数范围内，数之间是可以比较大小的，可是在复数范围内，数之间已经不能比较大小了。
所谓能比较大小，就是对于规定的关系能满足下面四条性质：
（1）对于任意两个不同的实数。a和b，或a>；b，或b>；a，两者不能同时成立。
（2）若a>；b，b>；c，则a>；c
（3）若a>；b，则a c>；b c
（4）若a>；b，c>；0，则ac>；bc
对于实数范围内的数，“＞”关系是满这四条性质的。但对于复数范围内，数之间是否能规定一种“＞”关系来满足上述四条性质呢？答案是不能的，也就是说复数不能比较大小。
为了证明这个结论，我们需要交待复数运算的部分内容，证明中要用到它：
（1）-1·-1=-1-1·0=0
——1·0=0
（——1）·（——1）=-1
-1 （——1）=0
0 （——1）=——1
（2）复数中的实数仍按实数的运算法则进行运算。
现在用反证法证明复数不能比较大小。假设我们找到了一种“＞”关系（注意：“＞”关系不一定是实数中规定的含义）来满足上述四条性质。当然对于-1应具有性质（1）：
-1＞0或0＜-1
先证明-1＞0不可能。
-1＞0的两边同乘-1，由性质（4）得：
-1·-1＞-1·0
-1＞0
（注意：由于“＞”不一定是实数各规定的含义，故未导出矛盾。）
-1＞0的两边同加1，由性质（3）得：
-1 1＞0 1
0＞1
-1＞0的两边同乘-1，由性质（4）得：
（-1）·（-1）＞（-1）·0
1＞0
于是得到0＞1，而且1＞0，也就是0与1无法满足性质（1），这与假设形成矛盾，所以-1＞0是不可能的。
其次证明0＞-1不可能。
0＞-1的两边同加——1，由性质（3）得：
0 （——1）＞-1 （——1）
——1＞0
——1＞0的两边同乘——1，由性质（4）得：
（——1）·（——1）＞（——1＞）·0
-1＞0
以下可依第一种情况证明，导出矛盾，所以0＞-1不可能。
以上证明从复数中取出两个数-1与0是无法比较大小的，从而证明了复数没有大小关系。
复数无大小，听来新鲜，确是事实！
函数的发现
函数概念最初产生于17世纪，这首先应归功于解析几何的创始人法国数学家笛卡儿，但是，最早使用“函数”一词的却是德国数学家莱布尼茨。尽管人们早已在不自觉地使用着函数，但究竟什么是函数，在很长一个时期里并没有形成一个很清晰的概念。大数学家欧拉曾认为“一个变量的函数是一解析表示，由这个变量及一些数或常量用任何规定方式结合而成”。与此同时，欧拉把“用笔画出的线”也叫做函数。到了19世纪，函数概念进一步发展，逐渐发展为现代的函数概念，俄国数学家罗巴切夫斯基最早较为完整地叙述了函数的定义，这时已经非常接近于当今在中学数学课本中所看到的定义了。现代意义上的函数是数学的基础概念之一。在物质世界里常常是一些量依赖于另一些量，即一些量的值随另一些量的值确定而确定。函数就是这种依赖关系的一种数学概括。一般地，非空集合A到B的对应集为函数（或映射），如果f满足：对任意A中元素a，在B中都有一个元素[记为f（a））]与a对应。
函数在人们的日常生活中是很常见的，比如经常会看到类似这样的统计数字：某护士每小时量一次病人的体温，可以将6小时所得的结果制成下表：小时123456温度37.1℃38℃37℃39℃38℃37.2℃这就是一种函数关系。函数关系不一定很有规律，当然也不一定非得用规则的表达式表示出来，实际上，更多的函数是不能用表达式表示出来的。在中学阶段，同学们主要学习的函数都是非常简单和有规律的，比如初中学习的正比例函数（y=kx，k≠0）、反比例函数（y=kx。k≠0）、一次函数（y=kx b，k≠0）和二次函数（y=ax2 bx c，a≠0）。函数可以用图像直观地表示出来，我们经常看到用“直方图”表示的函数。
在学习过程中，同学们更多地使用“描点法”来描绘函数的图像，即将满足函数方程的点逐一在直角坐标系中描绘出来，从而得到函数的图像。数与形的结合是研究函数的有效的手段。
代数式与多项式的发现
用字母来代替数是数学从算术发展到代数的重要标志。比如，用R表示一个圆的半径，那么πR2就表示这个圆的面积；如果分别用a、b表示直角三角形的两个直角边，则该三角形的面积就是12ab。一般地，我们把用加、减、乘、除、乘方、开方等数学符号联结在一起的表示数的字母组成的式子称为代数式。一个数或一个字母也叫做代数式，比如πR2，12ab，x，a等。代数式中的字母一般可以任意取值，用给定数值代替代数式里的字母所得到的结果，叫做代数式的值。比如a=1，b=2时，12ab=1.
代数式可以分成很多种，没有加减符号联结的代数式叫单项式，比如x，3y等；有加减号联结的代数式称为多项式，比如2x 1，3x2-x 1等。一般地，形如anx2 an-1xn-1 …… a1x a0的代数式称为关于x的一元n次多项式（n为非负整数，an≠0）。aixi，为多项式的i次项，ai称为i次项的系数。在小学阶段，学生们钻研最多的是一元二次多项式，比如2x2 3x 1等。代入一元n次多项式后所得代数式的值为0的x的值，称为多项式的根。关于多项式根的研究在数学史上曾经持续了好几百年，法国数学家伽罗瓦（1811年～1832年）在这方面做出了杰出贡献，开创了现代代数学。关于多项式根的研究目前仍然是数学家们关注的热点。
韦达定理的发现
数学在许多人眼里是很抽象，复杂的，但在这些复杂现象的背后却往往有着非常和谐、自然的规律，如果能更加理解和掌握这些规律，就会对数学有更深刻的认识。很多迷恋数学的人就是被数学的这一特点所吸引。韦达定理就很好地反映了数学这一特点。
韦达定理是以16世纪法国数学家韦达的名字命名的。韦达定理通过揭示多项式根与系数的关系反映了多项式根的问题的基本特征，是多项式理论中的关键定理之一。在中学阶段学生们比较熟悉的是关于二次多项式的韦达定理，即对于ax2 bx c（a≠0）来说，若它的两个根是x1和x2，则x1 x2=-ba，x1x2=ca。利用这种关系可以不求根而直接用系数表达出关于x1、x2的某些对称式的值，比如：
1x1 1x2=x1 x2x1x2=-baca=-bc等。
韦达在三角学、代数学上也颇多建树，特别在代数符号体系的建立上有突出贡献。
三角函数表的来历
早期的三角学是伴随着天文学而产生的。大家熟知，把周角分成360等份，每一份就叫做1度的角。这种做法起源于古代巴比伦人。他们为了建立历法，把圆周分成360等份，就相当于把周角分成360等份。为什么要把圆周分成360等份？有几种解释。有人认为巴比伦人最初以360天为一年，将圆周分为360等份，太阳就每天行一“等份”。另一种意见认为巴比伦人很早就知道每年有365天，所以上面的说法是不可信的。较多的数学史家认为，比较起来，下面的说法似乎更有道理。在古巴比伦时代，曾有一种很大的距离单位——巴比伦里，差不多等于现在的英里的7倍，由于巴比伦里被用来测量较长的距离，很自然，它也成为一种时间单位，即走一巴比伦里所需的时间。后来，在公元前1000年内，当巴比伦天文学达到了保存天象系统记录的阶段时，巴比伦“时间里”，就是用来测量时间长短的。因为发现一整天等于12个“时间里”，并且一整天等于天空转一周；所以，一个完整的圆周被分成12等份。但是为了方便起见，把巴比伦“时间-里”分成30等份，于是，便把一个完全的圆周分为12×3=360等份。
后来，每一等份变成了“度”。“度”是来自拉丁文，原来是“步”、“级”的意思。
三角学的最早奠基者是古希腊天文学家依巴谷。为了天文观测的需要，他作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，就是在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表。相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍，可惜这表没有保存下来。
托勒玫是古代天文学的集大成者。他继承、发展了前贤特别是依巴谷的成就，汇编了《天文集》。按照托勒玫的说法和用法，依巴谷采用了巴比伦的60进位制：把圆周分为360°，从而圆弧所对的圆心角就有了度量；把半径分成60等份，这样就可用半径的多少等份来表示圆心角所对的弦长，即用半径的160作为度量弦长的单位。例如60°角所对的弦长就是圆内接正六边形的一边之长，应该是60个单位，相当于现在30°角的正弦是12；90°角所对的弦长是圆内接正方形一边之长，应该是602个单位。
为了提高计算弦长的精确程度，托勒玫把半径分为60等份后，又把每一份分为60小份，每一小份再按60进位制分为更小的份，以此类推。把这些小份依次叫做“第一小份”、“第二小份”。后来“第一小份”变成了“分”（minute），“第二小份”变成了“秒”（second），这就是“分、秒”名称的来源。现在英文里minute这个字仍然有“分”和“微小”两种意义，Second这个字有“秒”和“第二”两种意义。
用表示度、分、秒，是1570年卡拉木开始的。这已在托勒玫之后1400年了。
托勒玫是在托勒玫定理的基础上，按下面方法造出弦表的。
先取以AD为直径的特殊的内接四边ABCD。设AD、AB、AC已知，则CD、BD利用勾股定理很易求出。这样，图中6个长度已知5个，故利用托勒玫定理可求出第六个长度BC，但BC=AC-AB，所以若两弧的弦是已知时，便可算出两弧之差的弦。托勒玫还指出怎样从圆的任意一给定的弦，求出相应半弧所对的弦；怎样从AB的弦和BC的弦，求出AC的弦，实质上托勒玫已经得到与下列公式sin2x cos2x=1，sin（x-y）=sinxcosy-cosxsiny，cos（x y）=cosxcosy=sinxsiny，sin2x2=12（1-cosx）等价的关系。
托勒玫利用圆内接正五边形和正十边形的边长推导对36°弧和72°弧的弦长；从72°弧的弦和60°弧的弦，利用差角公式算出对12°弧的弦长；从12°弧的弦平分数次得出对（34）°弧的弦。因此，他能给任一已知弦所对的弧加上（或减去）（34）°弧，计算这样两段弧之和（或差）所对的弦值。这样他能算出两个相差（34）°的所有弧所对的弦值。后来，他利用不等式来推理，得出了从0°到90°每隔半度的弦表。这就是第一个三角函数表。
公元5世纪印度数学家阿利耶毗陀对三角学贡献很大，制作了一个正弦表。他依照巴比伦人和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60份，整个圆周分为21600份，再由2πy=21600，可得半径λ=3437.746（他知道圆周率π的近似值3.1416，人们推测这是从中国流传到印度的）。略去小数部分，取近似值λ=3438，依此计算第一象限内每隔3°45′的正弦长。他的方法是用勾股定理算出特殊角30°，45°，60°，90°的正弦，如sin30°=1719个单位，sin45°=2431个单位（这里把λ作为3438个单位），然后再用半角公式计算较小角度的正弦。
印度人的正弦表比希腊人的弦表有所改进，他们是计算半弦（相当于现在的正弦线）而不是全弦的长。
本来，在印度文中，半弦是猎人的弓弦的意思。后来印度的书大量译成阿拉伯文，辗转传抄，意思搞错了。12世纪时，意大利人柏拉图又将这个字译成拉丁文“sinus”，它和当初印度人弓弦的意义已相差很大。
1631年邓玉函和汤若望等人编的《大测》一书，将sinus译为“正半弦”和“前半弦”，简称为“正弦”，这是我国“正弦”这一术语的由来。
中亚细亚的著名天文家阿尔·巴坦尼在三角方面也有很大贡献，他曾著《星的科学》一书，书中有很多三角内容。
阿尔·巴坦尼树立一根杆子在地上，求日影b，以测定太阳的仰角。阴影b的拉丁译名叫做“直阴影”，而水平插在墙上的杆子投影在墙上的影叫“反阴影”。“直阴影”后来变成“余切”，“反阴影”变成正切。公元920年左右，阿尔·巴坦尼造出自0°到90°每相隔1°的余切表。
稍后，中亚细亚的另一位著名天文学家、三角学者阿布尔·威发计算了每隔10′的正切表。14世纪末叶，贴木儿帝国的兀鲁伯（贴木尔的孙子）在撒马尔罕建立一座当时世界上规模最大的天文台。他聚集了100多名学者，组织无与伦比的天文观测和数学用表的计算。他造了0到45°之间每隔1′、45°到90°之间每隔5′的正切表。
14世纪时，欧洲早期的三角学者、英国人布拉瓦丁开始将正切和余切引入三角计算中。
16世纪时，伟大的天文学家哥白尼的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，迫切需要推算详细的三角函数表，并花费了大量时间来推算正弦、正切及正割表。可惜，他未能在生前完成，直到1596年才由他的弟子完成，公布于世。
现代三角函数表是后来经过多次改进、演变而成的。
神奇的黄金分割的发现
“黄金”象征着贵重，黄金分割有着广泛的应用。毕达哥拉斯学派对五星图怀有特别的敬意，他们把五星图作为学派的章。传说，他们有条“帮规”，凡毕氏学派成员都要佩带五星图的纪念章，人们推测，可能是因为他们掌握了正五边形和五星图的作图方法引以自豪。
毕氏学派在研究五星图的过程中，发现了五星图的一种奥秘：在正五边形中，相邻顶点的两条对角线（也就是五星图的两条边）互相将对方分割成一长一短两部分，它们满足一种和谐的关系式：
全线段：较长的=较长的：较短的，而且较长的一段正好等于正五边形的边长。
AC与BE相交于G，互相将对方分割成一长一短两部分，我们不难看出：
等腰△AEB～等腰△FEA
∴EB：EA=EA：EF
又因为EA=EG，EF=GB
∴EB：EG=EG：GB
同理可证CA：CG=CG：GA
这样，毕氏学派发现了线段的一种“奇妙分割”法，在线段AB上取一点P，把AB分成AP、PB两段，且满足AB：AP=AP：PB
他们采用如下几何方法将线段AB进行这种分割：
以AB为一边作正方形ABCD，取AD的中点为E，延长DA至F，使EF=EB。作正方形AFGP，则点P即为所求的“奇妙分割”的分点（读者不难自己证明）。
数学史家推测，毕氏学派画五星图就是以这种“奇妙分割”作依据的。
大约在毕达哥拉斯之后150多年，古希腊数学家欧多克斯深入研究了上述“奇妙分割”。欧多克斯是柏拉图的学生，对天文、几何、医学和法律等方面都做出不少贡献。在数学方面，他最大的功劳是，创立了比例论。欧几里得《几何原本》第五卷《比例论》大部分是引用了欧多克斯的成果。欧多克斯的比例论完全排除了毕达哥拉斯的限制，把可公度线段的比与不公度线段的比都包括在内。他从比例论的角度研究毕氏学派的“奇妙分割”，并把这样分割中较短线段与较长线段之比叫做“中外比”。因为点P将AB分成两部分，其中较长部分是全线段与较短部分的比例中项。欧多克斯发现这种线段之间的中外比例关系存在于许多图形中。最有趣的是，五星图中的每一条线段，都跟比它稍长的那条线段形成“中外比”。欧多克斯避免把无理数当作数，他不用数表达比。对于线段长度、角的大小及其他的量和量的比，都避免给予数值。因此，他没有给出“中外比”的数值。
文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对“奇妙分割”的研究。当时，出现了好几位身兼几何学家的画家，著名的有帕奇欧里、丢勒、达·芬奇等人。他们把几何学上图形的定量分析用到一般的绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。
1525年丢勒制定了一种绘图的比例法则，其间揭示了中外比在绘画中的重要地位。丢勒认为，在所有矩形中，短边与长边满足中外比的矩形最美观。因为这样的矩形，“以短边为边，在这个矩形中分出一个正方形后，余下的矩形与原来的矩形相似，仍是一个服从中外比的矩形”，这使人们产生一种“和谐”的感觉。帕奇欧里首先把“中外比”称为“神圣比例”。并在1509年出版的《神圣比例》一书中论述了它，中外比被披上了神秘的外衣。后来达·芬奇把欣赏的重点转到使线段构成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黄金分割”这一名称。
黄金分割中的分点叫做“黄金分割点”。“中外比”又叫“黄金比”，从古希腊直到现在都有人认为这种比例在造型艺术中有美学价值。如工艺美术或日用品的长和宽的设计中常用这比例，舞台上的报幕员站在舞台宽度的黄金分割点的位置时最美观、最佳；古代的不少建筑物，其高与宽的比也是黄金比。在中世纪，黄金比被作为美的信条而统治着当时欧洲的建筑和艺术。
自从无理数被确认后，人们有可能给出黄金比的数值。
设AB=l，AP=a，则PB=l-a
∵ABAP=APPB，∴la=al-a
∴a3 al-l2=0
∴a=5-12l（考虑到a＜l）
可见黄金比APAB=PBAP=5-12.人们把这个数5-12叫做“黄金数”。前面我们已经看到黄金数与斐波那契数有关，它还与优选法有关。优选法中普遍常用的方法是0.618法，所谓0.618就是黄金5-12的近似值，因此，0.618法也称为黄金分割法。
现代医学研究还表明，黄金比对人们自我保健有重要作用：人生存的最佳气温约23℃，它恰巧是正常体温（37℃）的0.618倍；吃饭最好只吃六、七成饱；摄入的饮食最好是“六分粗，四分精”；运动与静养的比例关系最好是“四分动，六分静”。
拓扑学的发现
哥尼斯堡有一条河，叫勒格尔河。这条河上，共建有七座桥。河有两条支流，一条叫新河，一条叫旧河，它们在城中心汇合。在合流的地方，中间有一个小岛，它是哥尼斯堡的商业中心。
哥尼斯堡的居民经常到河边散步，或去岛上买东西。有人提出了一个问题：一个人能否一次走遍所有的七座桥，每座只通过一次，最后仍回到出发点？
如果对七座桥沿任何可能的路线都走一下的话，共有5040种走法。这5040种走法中是否存在着一条既都走遍又不重复的路线呢？这个问题谁也回答不了。这就是著名的“七桥问题”。
这个问题引起了著名数学家欧拉的兴趣。他对哥尼斯堡的七桥问题，用数学方法进行了研究。1736年欧拉把研究结果送交彼得堡科学院。这份研究报告的开头是这样说的：
“几何学中，除了早在古代就已经仔细研究过的关于量和量的测量方法那一部分之外，莱布尼兹首先提到了几何学的另一个分支，他称之为‘位置几何学’。几何学的这一部分仅仅是研究图形各个部分相互位置的规则，而不考虑其尺寸大小”。
从欧拉这段话可以看出，他考虑七桥问题的方法是，只考虑图形各个部分相互位置有什么规律，而各个部分的尺寸不去考虑。
欧拉研究的结论是：不存在这样一条路线！他是怎样解决这个问题的呢？按照位置几何学的方法，首先他把被河流隔开的小岛和三块陆地看成为A、B、C、D四个点；把每座桥都看成为一条线，这样一来，七桥问题就抽象为由四个点和七条线组成的几何图形了，这样的几何图形数学上叫做网络。于是，“一个人能否无重复的一次走遍七座桥，最后回到起点？”就变成为“从四个点中某一个点出发，能否一笔把这个网络画出来？”欧拉把问题又进一步深化，他发现一个网络能不能一笔画出来，关键在于这些点的性质。
如果从一点引出来的线是奇数条，就把这个点叫奇点；如果从一点引出来的线是偶数条，就把这个点叫做偶点。如左图中的M就是奇点，N就是偶点。
欧拉发现，只有一个奇点的网络是不存在的，无论哪一个网络，奇点的总数必定为偶数。对于A、B、C、D四个点来说，每一个点都应该有一条来路，离开该点还要有一条去路。由于不许重复走，所以来路和去路是不同的两条线。如果起点和终点不是同一个点的话，那么，起点是有去路没有回路，终点是有来路而没有去路。因此，除起点和终点是奇点外，其他中间点都应该是偶点。
另外，如果起点和终点是同一个点，这时，网络中所有的点要都是偶点才行。
欧拉分析了以上情况，得出如下规律：
一个网络如果能一笔画出来，那么该网络奇点的个数或者是2或者是0，除此以外都画不出来。
由于七桥问题中的A、B、C、D四个点都是奇点，按欧拉的理论是无法一笔画出来的，也就是说一个人无法没有重复地走遍七座桥。
下图中（1）、（2）、（3）都可以一笔画出来，但是（4）中的奇点个数为4，无法一笔画出。
如果图中没有奇点，可以从任何一点着手画起，最后都回到起点，如果图中有两个奇点，必须从一个奇点开始画，到另一个奇点结束。
欧拉对哥尼斯堡七桥的研究，开创了数学上一个新分支——拓扑学的先声。
奇妙的数与形
毕达哥拉斯不仅知道奇数、偶数、质数、合数，还把自然数分成了亲和数、亏数、完全数等等。他分类的方法很奇特，其中，最有趣的是“形数”。
什么是形数呢？毕达哥拉斯研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数。
毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数；当小石子的数目是1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形。他把这些数叫做正方形数；当小石子的数目是1、5、12、22等数时，小石子都能摆成正五边形，他把这些数叫做五边形数。
这样一来，抽象的自然数就有了生动的形象，寻找它们之间的规律也就容易多了。不难看出，头四个三角形数都是一些连续自然数的和。3是第二个三角形数，它等于1 2；6是第三个三角形数，它等于1 2 3；10是第四个三角形数，它等于1 2 3 4.
看到这里，人们很自然地就会生发出一个猜想：第五个三角形数应该等于1 2 3 4 5，第六个三角形数应该等于1 2 3 4 5 6，第七个三角形数应该等于……
这个猜想对不对呢？
由于自然数有了“形状”，验证这个猜想费不了什么事。只要拿15个或者21个小石子出来摆一下，很快就会发现：它们都能摆成正三角形，都是三角形数，而且正好就是第五个和第六个三角形数。
就这样，毕达哥拉斯借助生动的几何直观，很快就发现了自然数的一个规律：连续自然数的和都是三角形数。如果用字母n表示最后一个加数，那么1 2 …… n的和也是一个三角形数，而且正好就是第n个三角形数。
毕达哥拉斯还发现，第n个正方形数等于n2，第n个五边形数等于n（3n-1）/2，第n个六边形数等于2n（n-1）……根据这些规律，人们就可以写出很多很多的形数。
不过，毕达哥拉斯并不因此而满足。譬如三角形数，需要一个数一个数地相加，才能算出一个新的三角形数，毕达哥拉斯认为这太麻烦了，于是着手去寻找一种简捷的计算方法。经过深入探索自然数的内在规律，他又发现，1 2 …… n=12×n×（n 1）
这是一个重要的数学公式，有了它，计算连续自然数的和可就方便多了。例如，要计算一堆电线杆数目，用不着一一去数，只要知道它有多少层就行了。如果它有7层，只要用7代替公式中的n，就能算出这堆电线杆的数目。
1 2 3 4 5 6 7
=12×7×（7 1）=28（根）
就这样，毕达哥拉斯借助生动的几何直观，发现了许多有趣的数学定理。而且，这些定理都能以纯几何的方法来证明。
例如，在一些正方形数里，左上角第一个框内的数是1，它是1的平方；第二框内由1 3组成，共有4个小石子，它是2的平方；第三个框内由1 3 5组成，共有9个小石子，它是3的平方……由此不难看出，只要在正方形数上作些记号，就能令人信服地说明一个数学定理：“从1开始，任何一个相继的奇数之和是完全平方。”即：
1 3 5 …… （2n-1）=n2
破碎数
在拉丁文里，分数一词源于frangere，是打破、断裂的意思，因此分数也曾被人叫做是“破碎数”。
在数的历史上，分数几乎与自然数同样古老，在各个民族最古老的文献里，都能找到有关数的记载，然而，分数在数学中传播并获得自己的地位，却用了几千年的时间。
在欧洲，这些“破碎数”曾经令人谈虎色变，视为畏途。7世纪时，有个数学家算出了一道8个分数相加的习题，竟被认为是干了一件了不起的大事情。在很长的一段时间里，欧洲数学家在编写算术课本时，不得不把分数的运算法则单独叙述，因为许多学生遇到分数后，就会心灰意懒，不愿意继续学习数学了。直到17世纪，欧洲的许多学校还不得不派最好的教师去讲授分数知识。以致到现在，德国人形容某个人陷入困境时，还常常引用一句古老的谚语，说他“掉进分数里去了”。
一些古希腊数学家干脆不承认分数，把分数叫做“整数的比”。
1/4和1/28怎么能够表示2/7呢？原来，古埃及是人只使用单分子分数；也就是说，他们只使用分子为1的那些分数，遇到其他的分数，都得拆成单分子分数的和。1/4和1/28都是单分子分数，它们的和正好是2/7，于是就用14 128来表示2/7.那时还没有加号，相加的意思要由上下文显示出来，看上去就像把1/4和1/28摆在一起表示了分数2/7.
由于有了这种奇特的规定，古埃及的分数运算显得特别繁琐。例如，要计算5/7与5/21的和，首先得把这两个分数都拆成单分子分数：
57 521=（12 17 114） （17 114 142）
然后再把分母相同的分数加起来：
12 27 214 1[]42
由于算式中出现了一般分数，接下来又得把它们拆成单分子分数：
12 14 17 1[]28 142
这样一道简单的分数加法题，古埃及人算起来都这么费事，如果遇上复杂的分数运算，他们算起来又该是何等的吃力。
在西方，分数理论的发展出奇地缓慢，直到16世纪，西方的数学家们才对分数有了比较系统的认识。甚至到了17世纪，数学家科克在计算3[]5 78 910 1220时，还用分母的乘积8000作为公分母！
而这些知识，我国数学家在2000多年前就都已知道了。
我国现在尚能见到最早的一部数学著作，刻在汉朝初期的一批竹简上，名字叫《算数书》。它是1984年初在湖北省江陵县出土的。在这本书里，已经对分数运算作了深入的研究。
稍晚些时候，在我国古代数学名著《九章算术》里，已经在世界上首次系统地研究了分数。书中将分数的加法叫做“合分”，减法叫做“减分”，乘法叫做“乘分”，除法叫做“经分”，并结合大量例题，详细介绍了它们的运算法则，以及分数的通分、约分、化带分数为假分数的方法步骤。尤其令人自豪的是，我国古代数学家发明的这些方法步骤，已与现代的方法步骤大体相同了。
例如：“又有九十一分之四十九，问约之为几何？”书中介绍的方法是：从91中减去49，得42；从49中减去42，得7；从42中连续减去7，到第5次时得7，这时被减数与减数相等，7就是最大的公约数。用7去约分子、分母，那就得到了49/91的最简分数7/13.不难看出，现在常用的辗转相除法，正是由这种古老的方法演变而来。
公元263年，我国数学家刘徽注释《九章算术》时，又补充了一条法则：分数除法就是将除数的分子、分母颠倒与被除数相乘。而欧洲直到1489年，才由维特曼提出相似的法则，已比刘徽晚了1200多年！
苏联数学史专家鲍尔加尔斯基公正地评价说：“从这个简短的论述中可以得出结论：在人类文化发展的初期，中国的数学远远领先于世界其他各国。”
“天外来客”根数
我们在前面讲述过毕达哥拉斯的故事。在西方数学史上他还以发现毕达哥拉斯定理而闻名。
毕达哥拉斯定理的内容是：在直角三角形里，两条直角边的平方和，一定等于斜边的平方。这是几何学里一个非常重要的定理。相传毕达哥拉斯发现这个定理以后，高兴得不得了，宰了100头牛大肆庆贺了许多天。说来有趣，正是这个让他欣喜若狂的定理，后来又使他狼狈万分，几乎无地自容。
毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”。他把数的概念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了。
问题就出在这里。有一天；毕达哥拉斯的一个学生，在世界上找到了一种既不是整数，又不是整数之比的怪东西。
这个学生叫希伯斯，他研究了一个边长为1的正方形，想知道对角线的长度是多少。
从图上看得很清楚，对角线与正方形的两条边组成了一个直角三角形。根据毕达哥拉斯定理，希伯斯算出对角线的长度等于2.可是，2既不是整数，也不是整数的比。他惶惑极了。根据老师的看法，2应该是世界上根本不存在的东西呀？
希伯斯把这件事告诉了老师。毕达哥拉斯惊骇极了，他做梦也没想到，自己最为得意的一项发明，竟招来一位神秘的“天外来客”。
毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认2是一种新的数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上。他下令封锁消息，不准希伯斯再谈论2，并且警告说，不要忘记了入学时立下的誓言。
原来，毕达哥拉斯学派是一个非常著名的科学会社，也是一个非常神秘的宗教团体。每个加入学派的人都得宣誓，不将学派里发生的事情告诉给外人。谁要是违背了这个规矩，任他逃到天涯海角，也很难逃脱无情的惩罚。
希伯斯很不服气。他想，不承认2是数，岂不等于是说正方形的对角线没有长度吗？简直是睁着眼睛说瞎话！为了坚持真理，捍卫真理，希伯斯将自己的发现传扬了开去。
毕达哥拉斯恼羞成怒，给希伯斯罗织了一个“叛逆”的罪名，决定严加“惩罚”。希伯斯听到风声后连夜逃走了，他东躲西藏，最后逃上了一艘海船离开了希腊，没想到在茫茫大海上，还是遇到了毕达哥拉斯派来追他的人……
真理是打不倒的。毕达哥拉斯能够“惩罚”希伯斯，却“惩罚”不了2.这位神秘的“天外来客”不但逍遥法外，反而引来更多的同伴：2、3、7……频繁地出现在各类数学问题中，使得古希腊数学家伤透了脑筋……
直到最近几百年，数学家们才弄清楚，2确实不是整数，也不是分数，而是一种新的数，叫做无理数。
无理数也就是无限不循环的小数。2是人类最先认识的一个无理数。1971年10月，一位美国数学家在电子计算机上运算了47.5个小时，求出了2小数点后的100082位数，得到的仍然是个近似值。分析这样一个精确的近似值，人们仍然看不到2的小数部分有一丝循环的迹象。
毕达哥拉斯扮演了一个可悲的角色。他不知道，无理数概念的产生，是数学史上一个重大的发现，也是整个毕达哥拉斯学派的光荣。
康托尔的集合论
集合论的创立者格奥尔格·康托尔，1845年3月3日出生于俄国彼得堡（现为俄罗斯圣·彼得堡）一个商人家庭。他在中学时期就对数学感兴趣。1862年，他到苏黎世上大学，1863年转入柏林大学。
当时柏林大学正在形成一个数学与研究的中心。他在1867年的博士论文中已经反映出“离经叛道”的观点，他认为在数学中提问的艺术比起解法更为重要。的确，他的成绩并不总是在于解决问题，他对数学的独特贡献在于他以特殊提问的方式开辟了广阔的研究领域。他所提出的问题一部分被他自己解决，一部分被他的后继者解决，一些没有解决的问题则始终支配着某一个方向的发展，例如著名的连续统假设。
1869年，康托尔取得在哈勒大学任教的资格，不仅就升为副教授，并在1879年升为教授。他一直到去世都在哈勒大学工作。他曾希望去柏林找一个薪金较高、声望更大的教授职位，但是在柏林，那位很有势力而且又专横跋扈的克洛耐克（1823～1891年）对于他的集合论，特别是他的“超穷数”的观点持根本否定的态度。因此，处处为难他，堵塞了他所有的道路。由于用脑过度和精神紧张，从1884年起，他不时犯深度精神抑郁症，常常住在疗养院里。1918年1月6日，他在哈勒大学附近的精神病院中去世。
集合论的诞生可以说是在1873年年底。1873年11月，他在和戴德金的通信中提出了一个问题，这个问题使他从以前关于数学分析的研究转到了一个新方向。他认为，有理数的集合是可以“数”的，也就是可以和自然数的集合一对一的对应。但是，他不知道，对于实数集合这种一对一的对应是否能办到。他相信不能有一对一的对应，但是他“讲不出什么理由”。不久之后，他承认“没有认真地考虑这个问题，因为它似乎没有什么价值”。接着他又补充一句，“要是你认为它因此不值得再花费力气，那我就会完全赞同。”可是，康托尔又考虑起集合的映射问题来。很快，他在1873年12月7日又写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了。这一天可以看成是集合论的诞生日。戴德金祝贺康托尔取得成功。
集合论的发展道路是很不平坦的。康托尔的集合论是数学上最具有革命性的理论。
分形几何的发现
生活在北方的同学对雪花是不陌生的，那晶莹剔透的雪花曾引起无数诗人的赞叹。但若问起雪花的形状是怎样的，能回答上来的同学不一定很多。也许有人会说，雪花是六角形的，这既对，但又不完全对。雪花到底是什么形状呢？1904年瑞典数学家科赫讲述了一种描述雪花的方法。
先画一个等边三角形，把边长为原来三角形边长的三分之一的小等边三角形选放在原来三角形的三条边上，由此得到一个六角星；再将这个六角星的每个角上的小等边三角形按上述同样方法变成一个小六角星……如此一直进行下去，就得到了雪花的形状。
从上面的描述过程我们可以看出：原来雪花的每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样，小小的雪花竟然有这么多学问。现在已经有了一个专门的数学学科来研究像雪花这样的图形，这就是20世纪70年代由美国计算机专家曼德布罗特创立的分形几何。所谓分形几何就是研究不规则曲线的几何学。目前分形几何已经在很多领域得到了应用。
射影几何的发现
射影几何具有悠久的发展历史。古希腊时代的数学家欧几里得和阿波罗尼奥斯就都有一些属于射影几何的发现。到17世纪，法国数学家德扎格和帕斯卡始创射影几何。1639年，德扎格通过对透视的研究，建立了无穷远点和射影空间的概念。1640年，年仅17岁的帕斯卡发现了著名的帕斯卡定理，从此产生了一个优美的数学学科——射影几何，并在19世纪得到很大发展。射影几何主要包含3个基本定理，即帕斯卡定理、德扎格定理和帕普斯定理。
帕斯卡定理：设ABCDEF是⊙O的内接六边形。对边AB和DE交于点X，对边BC和EF交于点，对边CD和AF交于点Z，则X、Y和Z在一条直线上。
德扎格定理：设△ABC和△A′B′C′的对应顶点连线AA′、BB′和CC′交于一点，则三组对应边的交点在同一条直线上。
帕普斯定理：设A、C、E是一条直线上的三个点，B、D、F是另一条直线上的三个点。如果直线AB、CD、EF分别与DE、FA、BC相交，则三个交点L、M、N共线。
进位制的发现
人类在认识数字的同时，也进行着对数字记法的探索。中国早在五六千年前就有了数字记法，到3000多年前的商朝，刻在甲骨或陶器上的数字已十分常见，这时，自然数计数都采用十进位制。甲骨文中就有从一到十、百、千、万的13个记数单位。
对于任意大于1的整数p，每个自然数都可以惟一地写成a、pn an1pn-1 …… a1p a0的形式，其中a0、a1……an-1、an是在0、1、2……P中取值的整数。于是就可以用（anan-1……a1a0），来表示这个自然数，这种表示自然数的方法称为p进制记数法。当p=2时，就得到二进制记数法；当p=10时，就是十进制记数法。
在二进制中，只有0、1两个记号，遵循逢二进一的规则。机械式计算机的创始人莱布尼茨系统研究了二进位制，其中曾受到中国古代八卦的启发。下表说明了二进制与我们通常所用的十进制的关系：
十进位制12345678910……二进位制11011100101110111100010011010……计算工具的发明俗话讲“巧妇难为无米之炊”。要提高运算速度和精确度，必须借助于相应的计算工具。
小时候学习算术，学生们经常用十指来帮助计算，手指成为最简单易用的计算工具。实际上，用十指计算从人类认识数开始就已经有了。除了用手指帮助计算，传说古代的中国也用在绳子上打结来记数和计算，史称结绳记数。算筹是中国古代用于计算和占卜的重要工具，算筹有竹制、木制和骨制的。利用算筹，古改进后的算盘代中国人最先创立了完善的十进位位值制记数法，这是古代中国在数学上的重要发明之一。算盘并不是中国独有的，日本和俄罗斯都有与中国类似的穿珠算盘。算盘实际上是对算筹的改进，由于汉字一字一音，珠算规则易于编成口诀，这大大加快了运算的速度。时至今日，算盘在很多场合仍然显示出它独有的魅力。计算器实际上是功能比较简单的计算机，它的发展可以追溯到17世纪，但电子计算机到20世纪中叶才出现。近几十年来，以现代计算机为代表的计算工具已经发展到了很高的水平。计算机已远不止是用于简单的计算，它已经能够做很多复杂的事情，并不断渗透到生活的各个方面。
数学悖论的发现
一般而言，数学给人的印象总是严密和可靠的。但早在2000多年前的古希腊，人们就发现了一些看起来好像正确，但却能导致与直觉和日常经验相矛盾的命题，这些自相矛盾的命题就被称为悖论或反论，即如果承认这个命题，就可推出它的否定，反之，如果承认这个命题的否定，又可推出这个命题。
约公元前5世纪的古希腊哲学家芝诺提出了4个著名的悖论。第一个悖论说运动不存在。理由是运动物体到达目的地之前必须先抵达小点。也就是说，一个物体从A到B，永远不能达到。因为要从A到B，必须先达到AB的中点C，为达到C必须先达到AB的中点D，等等。这就要求物体在有限时间内通过无限多个点，从而是不可能的。第二个悖论说希腊的神行太保阿希里永远赶不上在他前面的乌龟。因为追赶者首先必须到达被追者的起点，因而被追者永远在前面。第三个悖论说飞箭静止，因为在某一时间间隔，飞箭总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。第四个悖论是游行队伍悖论，内容与前者基本上是相似的。芝诺悖论在数学史上有着重要的地位，有人将它看成是第二次数学危机的开始。无理数的发现，被认为是第一次数学危机，并由此导致了实数理论、集合论的诞生。
英国著名哲学家、数学家、逻辑学家罗素（1872年～1970年）讲这样一个故事：有一个村庄的理发师立下了“只为所有不自己理发的人理发”的规矩。于是有人问他：“理发师先生，您的头由谁理呢？”这可难住了理发师。因为从逻辑上讲有两种可能性，自己给自己理或请别人给自己理。但若自己给自己理，那就违背了立下的规矩；如果请别人给自己理，那他自己就成了“不自己理发的人”，按照规矩，他应该给自己理发。无论怎样都和自己的规矩相冲突。看来这位理发师真是遇到难题了。这就是罗素于20世纪初提出的著名的理发师悖论，或称罗素悖论。罗素悖论标志着第三次数学危机的开始，由此导致了对数学基础的广泛讨论。实际上，与罗素悖论本质上完全一样的说谎者悖论早在公元前4世纪就由古希腊数学家欧几里得提出，即“我正在说的这句话是谎话”。这句话到底是真话还是谎话呢？这也是一个无法自圆其说的论题。
对于数学悖论的研究，推动了数学的发展，同时也使人们认识到尽管数学是很严密的，但它的真理性却也是相对的。只有不断去探索、去研究，才能更好的发现真理、掌握真理，真正理解世界的涵义。
自然数的发现
在数学的浩瀚海洋中，人们最熟悉的恐怕就是自然数了。人们一般把1，2，3，4……称为自然数。学校中最基础的数学分类是质数（又叫素数）与合数。自然数中只有能被1与它自身整除的数称为质数，比如2、5、7等。
质数就像建筑上用的砖一样，它是数论中的基石。许多数学家倾注了大量心血，甚至终身对它进行研究。我们注意到，似乎自然数越大，则同它相邻的自然数中质数越少。那么，质数到底有多少个呢？古希腊数学家欧几里得用反证法很巧妙地证明了“质数有无穷多个”。
刘徽发明“重差术”
刘徽是我国三国时代的魏国人，可能是山东人。他曾从事度量衡考校工作，研究过天文历法，但主要是研究数学。
刘徽自幼就学习《九章算术》，对该书有独到的研究，他不迷信古人，对《九章算术》中许多问题的解法不满意，于公元263年完成了《九章算术注》，对《九章算术》的公式和定理给出了合乎逻辑的证明，对其中的重要概念给出了严格的定义，为我国古代数学建立了完备的理论。
刘徽创造了一种测量可望而不可即目标的方法，叫做“重差术”。重差术也叫“海岛算经”，附在《九章算术》之后，共有九个问题。
刘徽说：“凡望极高，测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也。”这段话的意思是，重差用于测不可到达物的距离。用两次测量之差，再利用相似比来进行计算。
“海岛算经”的第一个问题是“测海岛高及距离。”题目原文是：
“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直。从前表却行123步，人目著地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一127步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何。”按现代数学浯言译出，就是：“为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和E处树立标杆DC和EF，标杆高都是3丈，两标杆相距1000步，AB、CD和EF在同一平面内。从标杆DC退后123步到G点，看到岛峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆FE退后127步到H点，也看到岛峰A和标杆顶端正在一条直线上。求岛峰高AB及水平距离BE。”
为解此题，可令标杆高为h，两标杆的距离为d，第一次退a1，第二次退a2.又设岛高为x，BE为y。
按刘徽的作法是，作EL∥AG交BH于L点。
∵△ELH～△ACE
△EHF～△AEK
∴ECHL=AEEH·AEEH=AKEF
∴ECHL=AKEF
已知EC=DF=d，HL=FH-FL=FH-DG=a2-a1，EF=h，可得：
da2-a1=AKh，AK=da2-a1h
x=AK h=da2-a1h h
又∵△CDG～△AKC
∴KCDG=AKCD
已知KC=yDG=a1AK=da2-a1hCD=h所以ya1=da2-a1hh
y=da2-a1a1
在上面公式里da2-a1是两个差数之比，所以叫重差术，也有人说因为两次用的差a2-a1，所以叫重差。
刘徽也得到了上面的公式，其公式为：
岛高=表高×表间后表却行-前表却行 表高
其中“表”就是标杆，“却行”就是后退。
将“海岛算经”第一题的数据代入公式，可得x=1506步，y=30750步。
“海岛算经”本来不独立成书，是附在《九章算术》中“勾股”章后面的一个附录，主要讲用勾股定理进行测量的补充和发展。到公元7世纪唐朝初年，才从《九章算术》中抽出来成为一部独立著作。因为第一题是关于测量海岛的高和远，所以起名《海岛算经》。
现传本《海岛算经》的九个问题中，有三个问题需要观测两次；有四个问题要观测三次；还有两个问题要观测四次。所有的观测和计算，都是应用相似三角形对应边成比例进行的，虽然没有引入三角函数，但是利用线段之比，同样可得结果。
重差术是我国数学上的一个创造。
球体积的证明
刘徽在注《九章算术》时，研究了球体积公式。在《九章算术》中，提出了V=916d2的球体积计算公式。从这个公式可以看出，当时把足球的体积作为它的外切立方体体积的916倍来计算的，其中“9”实际表示π2，因那时人们经常取π=3进行计算。刘徽首先看出了其中的错误。他发现了一种有趣的立体图形，并把它叫做“牟合方盖”。牟，相等；盖，伞。“牟合方盖”是指两个半径相同，且两轴相互垂直相交的圆柱的公共部分。由于其形状就像把两个方口圆顶的伞对合在一起，故取名为“牟合方盖”。刘徽指出球体积应该等于外切于它的一个牟合方盖体积的π4倍，即V球=π4V牟。
因此，计算球体积的问题归结为计算V牟的问题，但刘徽一直没有找到求“牟合方盖”的体积办法。他坦率地说：“欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑？以俟能言者。”希望后世能干的学者能尽快解决。
眼下暂且不谈后世学者的事，先讲讲读者关心的问题：刘徽是怎样想到这种有趣的图形的？有人说，因为他曾经长时期使用过一种方口圆顶的斗笠，从中受到启发。这种开玩笑的说法是没有根据的。数学史家推测，他是应用了类推法。
刘徽研究《九章算术》时曾发现：圆柱、圆锥、圆台的体积分别与同高的外切方柱、方椎、方台的体积之比，等于同高处横截面面积之比，即π：4.刘徽认为，球体的体积可以通过其他容易求出体积的立体来表示，只要这个立体与球体在同高处的截面面积之比处处相等就可以了。
由于刘徽将球体看作是从圆柱到圆台这一变化过程的继续，因此所要寻找的立体，也应该是从方柱到方台这一变化过程的继续，而且它的截面既应是正方形的，又该与球同高处的截面——圆的面积之比恒为π：4；这一立体应该是一个中心对称的，且对称中心截面面积为最大，而且截面分别向上、下逐渐缩小的立体。
另外，根据《九章算术》将球体放在外切圆柱及外切立方体之中考察的启发，刘徽醒悟到这立方体应该是内切于立方体的两个直交圆柱的所围部分，即“牟合方盖”了。
“牟合方盖”的发现是一个很了不起的成就，这反映了刘徽已经不是单纯地停留于经验总结，他已经采用了辩证的思维形式。
刘徽之后200多年，他所期望的“能言者”果真出现，那就是祖冲之和他的儿子祖（又名祖之）。祖也是博学多才的数学家，从小就懂得孝敬父母，勤奋学习。传说，在祖冲之临终的时候，祖发誓要继承发扬他父亲的成就，一定要让皇帝采纳《大明历》，还说每年祖总要给他父亲上坟，向他父亲的在天之灵汇报读书、研究心得。后来，他果真实现了自己的誓言。祖的主要工作是对《级术》进行修改、补充，有人还认为《级术》是由祖冲之和祖合著的。祖冲之在与戴法兴辩论时曾指出张衡盲从古人，沿用了《九章算术》中错误的球体积公式。看来，祖冲之已经得到了正确的球体积计算公式。但是唐朝李淳风在注《九章算术》时，又说所引用求球体积的方法是祖的。现在人们推测很可能是，祖冲之已经明确地知道以前的球体积公式是错误的，并且找到了正确的球体积公式，而祖则将它清晰地表达出来，并给出了严格的证明。
祖冲之、祖父子，运用“祖原理”获得球体积公式。所谓祖原理，是指“夹在两个平行平面间的两个立体，被平行于这两个平面的任何平面所截。如果它们的截面面积总相等，那么这两个立体的体积相等”。
西方数学书上称这一原理为“卡瓦列里定理”，他们认为是17世纪时意大利数学家卡瓦列里于1635年最早发现的。实际上，祖早于卡瓦列里1100多年前就发现了。
祖原理的原文是：“幂势既同，则积不容异。”按现在的话来说，即：二同高的立体，如在等高处的截面积相等则体积也相等。该文原载于祖冲之、祖父子撰写的《缀术》一书，《缀术》已失传。唐朝数学家李淳风作《九章算术》注时，把祖原理及祖的由球体积求直径的“开立圆术”引用了进去，这才使这一发明得以流传下来。
祖继承了刘徽未完成的事业，求出了“牟合方盖”的体积，从而得到球体积公式。他是这样做的：
取牟合方盖（简称“方盖”）的1/8，设圆柱半径为R。
作一距底面h的平面交方盖，得一正方形PQMN（用阴影表示），其边长为a，则有a2=R2-h2另作一棱长为R的正方体，且使它的底面A1B1C1D1，与方盖的底ABCD在同一平面上。从正方体中挖去一个倒立的四棱锥，得到一个新几何体G。作一距底面为A的截面，交G得一曲尺形截面（图（b）中阴影表示），其面积为R2-h2=a2.
由祖原理，方盖的18与G等积，而G的体积=R3-13R2×R=23R3.
所以，牟合方盖的体积V牟=8×23R3=163R3.
再由刘徽的公式，即可求得：
V球=π4V牟=π4×164R3=43πR3
这个球体积公式是数学史上的一个巨大成就，也是我们中华民族对世界科学的伟大贡献。
祖原理还可以推广为：夹在两平行平面间的两个立体，被平行于这两个平面的任一平面所截，如果它们的截面面积的比恒为一定值，那么这两个立体的体积之比也等于这个定值。