书城教材教辅中学理科课程资源-漫话数学故事
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第2章 阿凡提巧取银环

阿凡提是新疆维吾尔族民间的传奇人物,智慧的化身。有一个关于阿凡提巧取银环的故事,在新疆几乎家喻户晓。说的是:

一天,财主G对雇工M说:“我有一串银链,共有七个环。你给我做一周的工,我每天付给你一个银环,你愿意吗?”

M半信半疑。果然,G接着又说:

“不过,有一个条件,这串银链是一环扣着一环的,你最多只能断开其中的一个环。如果你无法做到每天取走一个环,那么你将得不到这一周的工钱!”

M答应试试,但他立即发现事情有点为难,于是连忙去找阿凡提,请阿凡提替他出主意。果然阿凡提想出了一种巧妙的办法,让财主G眼睁睁看着M把一只只银环取走。贪心的财主终于自食其果,搬起石头砸了自己的脚!

其实,财主的这道题并不难,无需借助于阿凡提的超人智慧,就是在座的各位读者,也完全能够想到以下的办法:即把这串银链的第三个环断开,使它分离为三个部分,这三个部分的环数分别是:1,2,4。(如图1)

这样,雇工M第一天可以取走单环,第二天退回单环而取走双环,第三天再取走一个单环,第四天退回单环和双环而取走一串四环,第五天再取走一个单环,第六天退回单环而取走双环,第七天再取走那个单环。至此,银链上的所有七个环都已到了M手上。

类似上述故事中的问题,也出现在美国数学游戏专家马丁·加德纳的《啊哈,灵机一动》一书,只是把“巧取银环”改成“巧断金链”罢了!

对于上述问题更为深刻的思考是:在允许割断m个环的条件下,最多能处理多长的链条(环数为n),才能做到在n天中,每天恰能支付一个环作为工钱?

为了找出m与n之间的关系,我们先考虑断开两个环,即m=2的情形。显然,此时环链断成了5个部分,其中有两部分是单环,可以支付头两天工钱。为了付第三天工钱,必须用一串三环去换回两个单环。以上三部分环可够支付头五天的工钱,因此第四部分应当是6环,同理推出第五部分应当是12环。即这五个部分的环数分别是:(如图2)

1,1,3,6,12

由此得:当m=2时,n=1+1+3+6+12=23。类似地,当m=3时,可求得环链割断成七部分的环数如下:

1,1,1,4,8,16,32。

从而n=3+4(24-1)=4×24-1=63。

同理,当允许环链割断m个环时,环链被断成的2m+1个部分的环数应为:

1,1,…,1m个1,m+1,2(m+1),…,2m(m+1)

于是n=m+(m+1)(2m+1-1)

=(m+1)2m+1-1

这便是断链问题的一般性解答。

现在我们再看一看有关平面剖分的例子,它无疑要比上面的问题复杂很多。公元1751年,欧拉曾提出一道有趣的问题:一个平面凸n边形,存在多少种用对角线剖分成三角形的办法?

对此,欧拉本人求出了从D3开始的头七个剖分数:

1,2,5,14,42,132,429。

图3画出了D6=14的各种剖分情形

公元1758年,数学家西格纳找到了Dn的一种递推公式(式中假令D2=1):

Dn=D2Dn-1+D3Dn-2+D4Dn-3+…+Dn-1D2

利用西格纳的公式,可以一步一个脚印地依次算出各Dn(n=3,4,5,…)的值,只是当n很大时计算有点困难罢了!

20世纪初,数学家乌尔班在计算了

D3D2=1,D4D3=2,D5D4=52,D6D5=145,…之后,惊奇地发现:对他计算过的所有数都有

Dn+1Dn=4n-6n他猜测这应该是一条真理!后来乌尔班果真用一种非常巧妙的办法证实了它。乌尔班的方法说来也不难,关键在于构造了一个函数g(x)

g(x)=D2x2+D3x3+D4x4+…+Dnxn+…并由西格纳的关系式推知g(x)满足二次方程:

W2-xW+x3=0从而求得

g(x)=x2〔1-1-4x〕上式展开后比较得到

Dn=2×6×10×…×(4n-10)1×2×3×…×(n-1)由此证得:Dn+1Dn=4n-6n

用乌尔班的这个公式计算Dn,就连小学生也能做到。倘若欧拉在天之灵,能够对此有知,想必也会叹为观止!