书城教材教辅中学理科课程资源-漫话数学故事
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第5章 太极八卦

古老的文化,往往笼罩着神秘的色彩,太极八卦便是一例。八卦源于我国,相传为上古圣人伏羲氏所创。

由于它结构奇特,使人有变幻莫测之感,因此古人把它用作占卜,图谶问卦,宣扬“天命”,使之又蒙上了一重迷信的烟尘。

古人认为阴阳二气是宇宙之本,所以太极八卦图(如图11)的正中央画的是一对头尾相咬的阴阳鱼,周围是八组不同的“三线图”,由阴阳符号组成,阴缺阳实:

如果把八卦图中的“—”译为“1”,而把“━━”译为“0”,那么八卦的三线图便与二进制数建立以下对应关系:

八卦符号卦名二进制码十进制码立体坐标?瘙椸坤0 0 00(0,0,0)?瘙椺震0 0 11(0,0,1)?瘙椻坎0 1 02(0,1,0)?瘙楁兑0 1 13(0,1,1)?瘙楀艮1 0 04(1,0,0)?瘙椾离1 0 15(1,0,1)?瘙楃巽1 1 06(1,1,0)?瘙楃乾1 1 17(1,1,1)由此可见,八卦实际上是最早的二进位制。在欧洲,二进制的建立始于德国数学家莱布尼兹(公元1703年)。莱布尼兹自认他的发现是受伏羲氏所创八卦的启发。

上表的最右一列,是将八卦符号改写为立体坐标的形式。有趣的是:表中八个坐标代表的点,恰好构成空间单位正方体的八个顶点。读者很快就会看到,这种相当直观的立体八卦(如图12)

模型,在我们复合命题的简化中,将起着何等重大的作用!

上一节我们看到,许多表示复合命题的逻辑式,是由基本命题及其否定之积相加的形式表现出来。这样的式子称为逻辑和的标准形式。例如:

R=A+BC

S=AB+B C+AC

T=ABC+AB+ABC=A+BC

=A(B+B)(C+C)+(A+A)BC=ABC+AB=A=ABC+A图13

例如,对于复合命题

X=ABC+ABC+AB C

Y=ABC+BC+AC+AB

我们可以分别得到如下的几何模型:(如图14)

可能读者已经发现,图14中的某些棱已被画为粗线。这是因为当一条棱的两端同时出现在逻辑和表示式中时,该逻辑式一定可以简化。例如左下图的点(BC)与(ABC),由于BC+ABC=(+A)BC=BC这意味着它可简化为连接两点的棱BC。由图15知,X、Y可简化为:

X=BC+ABC

Y=AB+BC+AC

同理,若立体模型中某个面的四个顶点同时出现在逻辑和表示式中,那么这部分的表示式便可简化为代表这个面的一个字母。例如,前面提到的T=ABC+AB+ABC+AC右端四项,分别表示图15 A面上的四个顶点,于是T可简化为A。事实上,直接计算有:

T=AB(C+)+A(+C)

=AB+A=A(B+)=A

需要说明的是:在作命题简化的时候,我们只需从逻辑和的标准式开始就可以了。因为标准式一般比“完全式”来得简单。引进“完全式”只是为了讲解上的方便。实践上对于已经简化了的东西,是无需回到更为复杂的模式上去的。这好比马拉松赛跑,此时你已经跑了三公里,如果你想向观众表明你有能力跑完全程,那么你完全不必回到起点去重新跑起,接下去跑到终点就是了!

为了让读者有所仿效,下面我们举一个用立方简化复合命题的完整的例。已知:

U=AB+BC+AC+A BC

画出命题U的几何模型容易看出,图16中有四个顶点位于A面上,从而命题U可以简化为:U=A+BC。

可能有的读者会问:前面讲的都是三个基本命题的情形,对于四个或更多基本命题的情形又该怎么办呢?要回答这个问题我们还需要许多其他的知识,例如需要了解四维立方体或多维立方体的概念等等。由于哪怕只做最粗略地介绍,也要花费巨大的篇幅,因此我们除提一提四维空间之外,其余便从略了!

提到第四维,读者可能感有点神秘,其实我们生活着的时空便是四维空间,时间就是第四维,世间的万物全都在时间的长河里流淌!我们只有用时间和空间,才能准确地描绘我们周围发生的事件。如果我们把龙年除夕之夜的地球轨道看成一个平面,而我们又有一个硕大无比的立方体绕着太阳在同一平面上运转,那么时间作为第四维的意义,将更加直观地显现出来。

至于四维立方体,可以想象成一个普通的立方体,随时间推移而逐渐缩小,过单位时间之后,定格为内部的小立方体,如同图17所示。

这可是一个奇怪而有趣的图形哩!它有16个顶点,24个面和32条棱!至于如何利用它去简化含有四个基本命题的复合命题,就留给读者去思考了。不过,千万别小看这,它可得费一番脑筋呢!