（第一节 ）命题·推演·矛盾
悖论的故乡可以说是古希腊，聪慧的哲人常常提出一些幽默风趣的难题使人真假难分。例如，《鳄鱼与小孩》就是一则脍炙人口的逻辑悖论。
一条鳄鱼从一位母亲手中抢走了一个小孩，鳄鱼想吃掉小孩，又要名正言顺。于是说：“我不会吃掉你的孩子的，只要你答对了我提出的问题就行。我问你，我会不会吃掉你的孩子呢？”母亲迟疑了一阵答道：“你是要吃掉我的孩子的。”
鳄鱼想：“我要是把小孩吃掉，她的话岂不是答对了？那么，我就该放了她的孩子。如果算她没有答对，那就是说我不会吃掉她的孩子，也该放走她的孩子。”也就是说，鳄鱼无论怎么做，都无法违背自己的诺言，只有放走小孩才行。机智的母亲成功地保护了孩子。
开始，这些悖论只是作为茶余饭后的话题，没有引起人们的重视，到了近代，人们才逐渐认识到了它的重要性。
那么，什么是悖论呢？
悖论是逻辑学名称。在占希腊，悖论（或佯谬）被称为“疑难”，在希腊文中的意思是“无路可走”，转义为“四处碰壁，无法解决”。
现在人们对它有不同的理解。下面先介绍对悖论的几种理解，然后给出一个较为合理的定义，并举例说明。
有人认为，悖论足一种导致逻辑矛盾的命题，这种命题，如朱乐队它是真的，那么它又是假的；如果承认它是假的，那么它义是真的。
有人认为悖论是指这样一个命题A，由A出发，可以找到一个语句B，然后，若假设B真，就可推得——B（非B）真，亦即可推出B假；符假设——B真，即B假，又可推导出B真。
有人认为，如果有一个命题，由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真，则这个命题就构成一个悖论。
还有人认为，悖论是指这样的推理过程，看上去它是没有问题的，但结果却得出了逻辑矛盾。
上述各种说法都有合理的成分，但不够完全。因为从实质上说，任何一个悖论都相对地被包含在某个理论体系中。所以，在给悖论下定义时，应该有“相对于某一理论体系”这个前提。悖论最后总是推出矛盾，但这种矛盾的表现形式可以是多种多样的，它既可以表现为同时证明两个互相矛盾的命题，也可以表现为证明了两个互相矛盾命题的等价形式。所以，我们更倾向于以下的悖论定义：如果某一理论的公理和推理，原则上是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题；或者证明了这样一个复合命题，它发现为两个互相矛盾的命题的等价式。那么，我们就说这个理论包含了一个悖论。
在物理学中，悖论也常译为佯谬，这与英语是一致的。在英语中，悖论和佯谬都是一个单词“Paradox”（如郑易里、曹成修编，商务印书馆1984年版《英华大词典》第1003页）。当然也有人指出，严格区分的话，悖论与佯谬在科学使用上及内涵上都有不同。佯谬通常是指：人们从某种假设出发进行逻辑推理，却导出了与事实（或可设想的事实）不符的结论，但一时又难以确定问题出在何处：是作为出发点的假说有错误（错在哪里）呢，还是推理过程不够正确、存在缺陷呢？而悖论指，从一种或一些观点、原理出发，合乎逻辑地导出两个互相矛盾的判断。悖论与理论不同，谬论是在相应的理论体系下以阐明其错误的原由的；而悖论却是通过其所在的理论体系无法阐明其错误的原由的。
在这里，我们还是把悖论与佯谬看做是通用的，并尊重历史上使用的习惯。
（第二节 ）前提·过程·范围
在物理学的发展中出现悖论是不可避免的，是科学发展的正常现象。为什么说是不可避免的呢？这是由于科学理论总会也含内在的逻辑矛盾。事实证明，想一劳永逸地消除这种内存的逻辑矛盾是不可能的。
具体地讲，产生悖论的主要原因有以下几个方面。
“无限”是悖论产生的重要诱因之一
由于人们对“无限”这个慨念存在模糊的认识，所以导致许多矛盾，而且不易解决。
例如，每个人都知道“整体大于部分”，2000多年以前的欧几里德在构筑几何学大厦时，就把这个命题当成不可怀疑的公理。但是，1638年伽利略却发现了一个与这条公理不可调和的事实。
众所周知，平方数是自然数的一部分，因此，由“整体大于部分”可知，自然数集的元素“总数”比平方数集的元素“总数”要苫。但是，对于每一个自然数n，都有一个平方数n2。与之对应，因此就出现了“部分等于整体”的悖论。这就是有名的伽利略悖论。显然，这是把适于有限的公理滥用于无限所致。
再如，自然数的和1＋2＋3＋4＋…＋n，与奇数的和1＋3＋5l＋7＋…十（2n-1），当“趋于无限时，它们哪个大？”一方面，第二个和可以看做第一个和中去掉了一些项而得到的，因此依据“整体大于部分”的公理，第一个和大于第二个和；另一方面，除第二个和的第一项与第一个和的第一项相等外，从第二项开始，以后的每一项都是第二个和的项大于第一个和中的相应项，因此第二个和应该大于第一个和，这样又出现“部分大于整体”的结论。
这两个结论究竟哪个对？显然，在有限数的和中是没有这种矛盾的。这些悖论深刻地反映了有限和无限的矛盾。它提醒人们，不要把适于有限的公理推广到无限上。
在物理学中，典型的例子就是“引力佯谬”，它是德国天文学家西利格尔于1894年提出的。经典宇宙学认为：①星体占据的空间是欧几里德空间，而且是无限的；②宇宙中有无限多个星体且均匀分布在无限的空间里，因而宇宙中的物质密度处处都j不等于零；③牛顿的万有引力定律适用于整个宇宙。在以上三点假定之下，牛顿的万有引力理论将导致引力场中任一点的场强为无穷大，因而每一个物体都将具有无限大的加速度和速度。
但是，事实上并没有出现这种情况。之所以出现这一佯谬，就是因为将适用于有限的理论外推来描述无限的宇宙所造成的。
2.逻辑错误导致悖论
在科学研究过程中，往往因为科学家思考不周密或别的m么原因犯了逻辑错误，从而导出悖论。
例如，法国物理学家朗之万提出的孪生子佯谬就是一例。根据相对论，在高速飞行的宇宙飞船里的宇航员经过较长时间的飞行返回地球时，就会发现自己比同时代的人要年轻得多。设想有甲、乙两个孪生子，在年满20岁时，甲留在地球上，而乙乘飞船以相对于地球为v0=0.99c（c为光速）的速度做星际旅行，当乙观察到时间△t0=10年时返回地面。按照狭义相对论的观点，甲在地球上看来，乙做星际旅行所经历的时间为△t＝△to1-ν20/c2=101-（0.99/c）2/c2≈70（年）
也就是说，当乙乘飞船返回地球时是30岁，而他的孪生兄弟却已是白发苍苍的90岁老人了！
但是，朗之万认为这是绝不可能的事，因为根据相对论，一切物体的运动都是相对的，所以也可反过来再假定宇宙飞船不动，地球相对于飞船运动。那么，在地球运回飞船时，人们会发现地球上的甲比飞船中的乙要年轻。显然，根据同一理论不应得出两个截然相反的结论。他认为要想不犯逻辑上的错误，只有两个孪生子的年龄完全一样，所以必须抛弃相对论。这就是有名的双生子佯谬。它引起了许多科学家的关注。问题究竟出在哪里呢？
原来，地球是惯性系，飞船是非惯性系，而爱因斯坦的狭义相对论仅适用于惯性系，不能适用于飞船这一非惯性系统，所以把地球看成不动和把飞船看成不动，两者是不等价的。在推导过程中，一开始把地球看成不动所得出的结论是正确的；若把不动系统换成飞船，当然要得到荒谬的结论。这是在推导中犯了偷换命题的错误。
3.推理所依据的前提有问题而造成佯谬
物理学史上所谓的玻尔兹曼佯谬就是这样产生的。我们知道，加热一个物体时，这个物体的分子运动就会加速。在经典物理学中，有一条“能量均分定律”。按照这个定律，当一物体达到热平衡时，加热这个物体所消耗的热能，会迅速平均分配到一切可能的运动方向上。这样，加热一个物体时，其分子得到热能，它的运动就会加速。同时，分子内的原子也会得到一部分热能，它的运动也会加剧；而原子内还有原子核和电子，原子核内还有质子、中子，质子和中子内还有更基本的粒子，所有这些粒子都将得到热能。
照此推理下去，为了加热一块小物体，要消耗的热能会大得不可想像，显然这和我们实际观察到的事实是不相符的。为何会出现这一佯谬呢？原来“能量均分定律”的使用是有“阈值”限制的。
在宏观世界里，物体越大，要使它开始运动的最小能量（即闽值）就越大。但是，在微观世界中，情况正好相反，层次越深的粒子其阈值越大。
例如，质子、中子的闽值比电子的大，电子的阈值比原子的大，而原子的阈值又比分子的大。所以，当加热物体的热能不多时，它只能引起分子和原子的运动状态变化；只有当热能足够多、使物体的温度升得非常高时，它才能达到或超过质子和中子的阈值，从而改变它们的运动状态。因此，一般情况下加热物体时，并不影响较深层次的粒子，因而不需要巨大的能量。
4.与历史条件和人的认识水平
因为悖论是相对于某个理论体系而言的，所以悖论也总是与一定的历史条件相联系。如前所述的伽利略悖论，实际上是相对于欧几里德理论体系的，但是若把它放在集合理论中，就不成悖论了。
悖论的产生与发展，kilt人的认识在一定历史条件下的局限性与相对性。
流体静力学中有这样一个问题：在如下图所示的底面积相同、形状不同的容器中，充入相同高度为h的水，试问：各容器底部所承受的压强和压力各是多少？
应该说，这是现在初二以上的学生都能正确回答的问题。但是，在相当长的一段历史时期内，却是工程师、物理学家们争论不休的问题。其根本原因就在于当时对液体“压强”的概念理解不清，甚至是错误的。一直到1586年，才由斯特芬从理论与实验上彻底解决了这个所谓的“流体静力学佯谬”。
5.语义学方面的原因造成悖论
例如，“说谎者悖论”——“某人说：‘我说的这句话是谎话。’问这句话是真话还是谎话？”如果你认为他说的是真话，那么就肯定了他说的是谎话；如果你认为他说的是谎话，那么就又肯定了他这句话是真话。
又如，著名的“理发师悖论”——“有一位理发师给自己立了一条规矩：我只给村子里自己不给自己理发的人理发。”请问，这位理发师该不该给自己理发？如果他不给自己理发，那么他属于“自己不给自己理发”的村民，按规定他必须给自己理发；反之，如果他给自己理发。那么他属于“自己给自己理发的村民。”那么他不应该给自己理发。因此，不论怎么办，都将导致矛盾。
（第三节 ）惊讶·思考·突破
历史证明，数学、逻辑学、语言学、哲学以及物理学的发展都与悖论研究有直接关系。因此，从方法论的角度来讲，研究悖论有重大的意义。
数学悖论是数学发展过程中的一个重要存在形态。为了排除数学悖论，20世纪初形成了三大学派，从而推动了20世纪数学的发展。
悖论的出现，实际上就是矛盾的白热化，从而冲击人们的传统观念，引起普遍的危机感。这样的情况在数学发展史中就曾出现过三次，而且三次危机的解决都引起了数学的重大发展。
毕达哥拉斯悖论引起第一次数学危机，危机的解决导致了公理几何学与逻辑的诞生；贝克莱悖论引起了第二次数学危机，危机的解决导致了分析基础理论的完善与集合论的创立；罗素悖论引起第三次数学危机，危机的解决导致了数理逻辑的发展与一批现代数学分支的产生。
同样，悖论在物理学的发展过程中也起着重要作用并具有方法论意义。
悖论在物理学研究中的作用
（1）悖论是物理学发展的直接动因之一。物理学家常以悖论（或佯谬）的形式表示自己对一些问题的惊异看法，而悖论的解决又会促进物理学的发展，甚至导致一场科学革命。下面举例说明：①从伽利略时代起，人们就知道不论任何物体，在地球引力作用下产生的加速度都是相等的，据牛顿第二定律和万有引力定律应该有m惯a=m引GMR2。
应为一个普适常数。式中：m惯和m引分别表示物体的惯性质量和引力质量，M是地球的质量，R是物体距地心的距离，G是引力常数，a是物体的加速度。
人们已经习惯的上述关系式，却引起了爱因斯坦的万分惊奇。他队为，如果上式对任何物体都成立的话，那就意味着惯性质量与引力质量相等。他曾说：“在引力场中一切物体都具有同一加速度。这条定律也可以表述为惯性质量同引力质量相等的定律。它当时就使我认识到它的全部的重要性。我为它的存在感到极为惊奇，并猜想其中必定有一把可以更加深入地了解惯性和引力的钥匙。”
爱因斯坦用了一个佯谬的形式表示了他的惊奇：为什么任何物体的引力质量和惯性质量之比是一个普适常数，而与具体物体的性质无关？
他相信，这一佯谬的解决，一定可以揭示惯性力和引力之间必然存在的更深刻的联系。在这一信念的激励下，爱因斯坦终于创立了最杰出的物理学理论——爱因斯坦引力理论。
②由于牛顿力学的巨大成功，人们对牛顿三大定律更加深信不疑，奉为金科玉律；而且，在相当长的一段时间内，它的确也是无往而不胜的。但是，当逐步扩大牛顿定律的适用范围时，却不是那么一帆风顺，甚至被疑为陷入绝境了。
有趣的是，它起因于一件生活小事。桌上放一乒乓球，正上方放一玻璃漏斗，用嘴从漏斗对着小球吹气（如图），依照生活常识和牛顿第二定律，小球应该被紧紧地压在桌面上或者被吹走。然而与人们的预料相反，小球反而被吸进了漏斗。当吹气并提升漏斗时，尽管小球受到重力作用，以及往下吹的气流作用，但是小球并不离开漏斗掉下去，而是跟着漏斗一起上升。小球为什么会“违背”牛顿第二定律而向相反方向运动呢？
这一出乎预料的效应（还可举出一些实例）引起了人们对牛顿第二定律的怀疑：这可能说明流体不同于固体，它不遵守牛顿第二定律。是否需要另找一套适于流体的新规律呢？这就是有名的“流体动力学佯谬”。
为了解决上述矛盾，瑞典数学家伯努利进行了深入探索，取得了令人瞩目的成就，并于1738年出版了《流体动力学》一书。
伯努利从牛顿第二定律这一普遍规律出发，得出了流体动力学中一个非常简洁的原理伯努利原理。用它不仅可以圆满地解释上述佯谬，而且还可预言其他新的现象。所以，人们也把上述佯谬称为“伯努利佯”
。
“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”，牛顿力学经历了这一坎坷之后，流体动力学却因此脱颖而出。