书城教材教辅新课标课外快乐阅读丛书——快乐心灵的数学故事
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第31章 杯子里的互质数

从前,在匈牙利,有一个叫埃杜斯的数学家。他听人说,有个叫波沙的12岁的男孩,非常聪明,特别能解数学题。埃杜斯就想,应该去考考他,看看这个小孩是不是真的像别人说的那么聪明。

埃杜斯就找到了波沙的家,见到了小波沙。波沙家的人热情款待了他。他向波沙提了一个问题:“从1、2、3直到100,随便取出51个数,至少有两个数是互质的,你能说出其中的道理吗?”

什么是互质数呢?比如说,2和7,它们之间除了1以外没有公约数,我们称它们为“互质数”。

波沙想了一会儿,就知道这个题该怎么解了。只见他把爸爸、妈妈和埃杜斯先生面前的杯子都拿到自己的面前,说:“先生,比如说这几只杯子是50个。我把1和2这两个数放进第一个杯子,把3和4这两个数放进第二个杯子,这样两个两个地往杯子里放,最后把99和100两个数放进第50个杯子,我这样放可以吧?”

埃杜斯先生点点头。

小波沙又说:“因为你刚才说,要从里面挑出51个数,所以至少有一只杯子里的数全被我挑走,而连续两个自然数,当然就会互质了!”

埃杜斯先生问:“你为什么这么说两个连续的自然数会互质呢?”

波沙说:“两个相邻的自然数,一个是a,一个是b,它们如果不互质,那么它们俩就必然有大于1的公约数c,那c一定是b-a的约数。可是b-a又等于1,不可能有大于1的约数。既然不可能,那就说明两个相邻的自然数一定是互质的!”

埃杜斯先生感叹地说:“你答得真好啊!”