可惜的是，第二年第谷就突发重病去世了。作为第谷事业的继承人，开普勒只能面对老师遗留下来的一大堆底稿孤军奋战了。
开普勒是一个思想家，在数学上很有造诣。他的兴趣主要不在积累更多的观测资料上，而是希望利用第谷这批珍贵的观测资料把哥白尼日心说中的行星运动曲线描绘出来。
开普勒首先研究的是火星。这是因为在第谷的观测数据中，对火星的观测占有最大的篇幅。而且恰好这颗离地球最近的外行星的运行与哥白尼理论出入最大。
开普勒想从火星的观测数据中找出它的运动规律，并把它用一条曲线表示出来。起先他仍按传统观念，认为行星做匀速圆周运动。为此，他采用传统的偏心圆轨道来进行计算。但是经过反复推算发现，对火星来说，无论按哥白尼的方法，还是按托勒密或第谷半日半地体系的方法，都不能算出同第谷的观测相符的结果。
经过大约70次试探后，他找到的最佳方案还差8弧分。开普勒深信老师第谷的数据是精确可靠的，自己的计算没有问题。问题究竟出在哪儿呢？其实，这8弧分的误差是很小的，开普勒可以把它当作正常误差忽略掉。如果真这样，也许近代科学史就不是今天这样了。但开普勒认为这8弧分绝不是正常的合理误差，因为他是亲眼目睹过老师第谷如何精心细致工作的，第谷的观测误差不超过2弧分。这样，开普勒开始怀疑理论的正确性。
天文学上有两大传统观念：一是地球是宇宙的中心，静止不动，所有天体都围绕地球转动；二是天体必定是球形的，他的运动轨道也必然是圆，因为圆形是一切几何中最完美的，沿圆形运动是天体的天然属性。
哥白尼的日心说推翻了前一个传统观念，但仍坚持后一个传统观念。这也正是我们前面提到的哥白尼日心说的两点局限之一(另一局限是认为宇宙是有限的，这在思想上已被布鲁诺的宇宙无限论所克服)。这时，开普勒开始大胆设想，火星可能不是作圆周运动。他改用各种不同的几何曲线来表示火星的运动轨迹，经过多年的艰苦计算，终于发现了“火星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳处于焦点之一的位置”这一定律。这个发现把哥白尼学说向前推进了一大步。用开普勒本人的话说：“就凭这8分差异，引起了天文学的全部革新！”
开普勒发现了火星的真实轨道是椭圆，而太阳恰好位于椭圆的一个焦点上。在此基础上，开普勒又研究了其他几个行星的运动，证明它们的运动轨道都是椭圆，这就推翻了天体必然作匀速圆周运动的传统偏见，得到行星运动第一定律。接着他又发现，虽然火星运行的速度是不均匀的(最快时是在近日点，最慢时在远日点)，但是，从任何一点开始，在单位时间内，向径扫过的面积却是不变的。这样，就得出了关于行星运动的第二条定律：“行星的向径，在相等时间内扫过相等的面积。”这两条定律，分布于1609年出版的《新天文学》一书中。
开普勒的行星运动两个定律的发现是令人激动的，尤其是第一定律。因为开普勒发现的行星运动轨迹竞是1000多年前古希腊阿波罗尼乌斯的圆锥曲线中的椭圆，而太阳就位于一个焦点之上。
这不由得让人们想起了古希腊的大哲学家毕达哥拉斯“数即万物”的命题和宇宙统一于数的和谐的思想。其实，开普勒本人就是毕达哥拉斯这种思想的忠实信徒。
1612年，开普勒的保护人鲁道夫二世被迫退位，因而他也离开布拉格，去奥地利的林茨。当地专门为他设了一个数学家的职务。他在林茨继续研究天文学，探索各行星轨道之间的几何关系。
当时，人们从古人那里已经知道，行星运行的速度同它们离太阳的距离有关，距太阳较远的行星有较长的运行周期。他所发现的第二定律也说明，即使同一行星，距太阳的距离小，运行的速度也不同。这说明行星速度(或运行周期)同它到太阳的距离一定有某种数的和谐性。那么，这种和谐性究竟是什么？
当时的天文学还不知道行星与太阳之间的实际距离，只知道各个行星距离的比例，而各行星公转的周期是大家所熟悉的。可是当这些数据摆在开普勒面前时，他就像面对一堆偶然拣来的、彼此毫无关系的乱石一样，觉得无从下手。但他坚信毕达哥拉斯的观点，相信宇宙是和谐的，这种和谐可以用数学语言来表达。
一个个不眠之夜在悄悄地流逝。经过9年苦战，开普勒终于使杂乱无章的数字显示了数的和谐性，得出了行星公转周期的平方与它距太阳的距离的立方成正比的结论。这就是著名的开普勒行星运动第三定律。这一定律是开普勒的哲学思辨和第谷的精确观测相结合的产物。1619年，开普勒出版《宇宙和谐论》一书，公布了这一发现。
开普勒定律是行星运行的基本定律。自从这三大定律被发现之后，行星的复杂运动便立刻失去了它的神秘性。更为重要的是，它把哥白尼的理论推进了一步，为专业天文学家和数学家提供了支持日心说的强有力论据。
人们称赞开普勒是“天空立法者”。大哲学家黑格尔称他是“现代天体力学的真正奠基人”。另外，开普勒定律为牛顿数十年后发现的万有引力定律铺平了道路。
除了行星运动定律外，在其他领域，开普勒也颇有建树。
在天文观测上，尽管视力不佳，他还是做了不少工作。他发现了银河系内的一颗超新星，后人为了纪念他而称之为开普勒星。1607年他还观测了一颗大慧星，就是后来的哈雷慧星。
开普勒对光学很有研究。他是近代实验光学的奠基人之一。
1611年出版《光学》一书，阐述了光的折射原理和近代望远镜的理论。他把伽利略式望远镜的凹透镜的目镜改成用小凸透镜。这种望远镜被称为开普勒望远镜。
在数学上，开普勒出过《测量酒桶体积的新方法》一书，使用了“无穷小”的计算法，并对对数进行了详细的研究。这一著作在数学史上有着极其重要的地位，但在当时没有引起人们的重视。
开普勒对科学做出了巨大的贡献。然而，他的一生却是在极端艰难贫困中度过的。
早年曾不得不一边研究天文学一边给人编制占星历书养家糊口，为此他自我解嘲说：“作为女儿的占星术若不为天文学母亲挣面包，母亲便要挨饿了。”
1627年《鲁道夫星表》出版。在星表的序言中，开普勒回忆了几十年的奋斗历程，满腹辛酸地说：“最崇高的皇帝，在我经过26年的艰辛完成了奉献给陛下的这部著作的题词中，我能说些什么？我就像一个坐着一艘外国轮船的人一样，船在哪儿靠岸，我也只能在哪儿上岸。仅此而言，别无他求。”
有位科学史家这样写道：“第谷的后面有国王，伽利略的后面有公爵，牛顿的后面有政府，但是，开普勒只有疾病和贫困。”的确，疾病、贫困，加上教会的迫害，使开普勒一生不曾得到安宁。
1623年，开普勒因出版《哥白尼太阳中心说概念》受到教会迫害，书被焚，工资被停发。
1630年，开普勒已几个月没有领到薪俸了，生活没有着落。于是他不得不亲自前往布拉格讨还皇家欠他的薪水。然而，他在去往布拉格的途中，突然发起高烧，几天后就在贫病交困中去世，终年59岁。
后来德国大哲学家黑格尔谈到这件事，曾痛心疾首地说：“开普勒是被德国饿死的。”这样一位科学史上重量级的人物，竟是在如此凄惨的境况下死去，这不能不说是当时他的祖国德国的悲哀，但这更是那个时代的悲哀。
日心说与伽利略的贡献
正当开普勒在布拉格利用第谷肉眼观测到的天文数据发现行星运动定律时，在欧洲南部的意大利，有一个人正在用自己亲手制作的望远镜指向天空，向人们展示一个比肉眼所见丰富灿烂得多的星空世界，并取得了一系列惊人的天文发现，一下子轰动了欧洲。
这个人就是伽利略。他1564年2月15日出生于意大利比萨，比开普勒大7岁。他是伟大的物理学家和天文学家，近代实验科学的奠基人之一，被称为近代力学之父。
伽利略17岁时，在比萨大学学医，以数学和物理学见长，因善于辩论闻名全校。
1585年离校回家，专心研究古代希腊人的科学著作。他发明了测定合金成分的流体静力学天平，1586年写出论文《天平》。这项成就引起了全国学术界的注意，人们称他为“当代的阿基米德”。
1589年他写了一篇论固体的重心的论文，获得新的荣誉。母校比萨大学因此聘他担任数学教授，时年仅25岁。
此后，他的生活经历了三个时期：在比萨大学任教3年(1589—1591年)；在帕多瓦大学任教18年(1592—1610年)；自1610年起，至1642年去世为止，移居佛罗伦萨，任托斯康大公爵的首席哲学家和数学家。他在力学上的贡献主要在前两个时期，而天文学上的发现和对哥白尼学说的宣传和发展则在第三时期。不过，1633年被宗教法庭定罪以后，早年的力学研究再次成为他的主要工作。
这里，我们主要介绍伽利略在天文学方面的成就和他对哥白尼日心说的宣传和发展。关于他对力学方面的贡献将在后面进行介绍。
伽利略对天文学的一大贡献是发明了望远镜。据说，望远镜最早是由荷兰一个眼镜商发现的。大约在1600年时，在立帕塞眼镜作坊里的几个童工，把两个透镜重叠起来望窗外的景物时，发现远处的景物好像近了许多。这件事传到伽利略的耳朵中，他意识到这一发现的意义和价值，就自己制造了一个比较精密的可以观察天象的望远镜，这就是世界上第一架天文望远镜。
1609年，当伽利略第一次用望远镜来巡视星空时，他惊奇地发现：月亮表面也有许多凹凸不平的山岳、盆地；木星有四个卫星围绕着运转，俨然一个“小太阳系”；银河是由无数个恒星组成的星系；金星、水星也有盈亏现象；太阳上有黑子等。
这一系列的发现轰动了当时的欧洲，对哥白尼的日心说给予有力的支持，沉重打击了经典权威所谓“月上世界，月下世界”和“地球中心”的说法。但当时的意大利仍处于教会的严酷统治之下，许多人不肯承认同《圣经》和亚里士多德、托勒密著作相违背的新思想。
伽利略的发现曾经在一个长时期内不被多数人承认，反被看成是错误的东西。帕多瓦大学的教授们不愿去看伽利略的望远镜。而比萨大学的同事们则试图用逻辑推论来证明：“伽利略是靠巫术的符咒，把新的现象从天空咒了下来。”还有的说，这肯定是玻璃产生的幻影，因为把望远镜上的玻璃取掉，就看不到月亮的凹凸和太阳的斑点了，更何况伽利略的这些东西与亚里士多德书上讲的完全相反。
当然，在欧洲还是有许多人相信和支持伽利略的。其中就有开普勒。由于在意大利许多人不相信伽利略的观测结果，伽利略曾在1610年8月19日给开普勒的信中气愤地说：“对于这些人来说，真理用不着到自然中去寻找，而是从古人著作中追求。”
伽利略与开普勒是同时代的人，也是好朋友。据说他是在看了开普勒赠阅的《宇宙的神秘》一书，开始相信日心说的。而他做出了新的望远镜总要赠送开普勒一架。在他们之间还曾发生过一个与土星光环有关的有趣故事。
伽利略通过望远镜看到了土星的光环，但由于当时的望远镜分辨率不高，伽利略觉得似乎土星两侧各有一颗“伴星”。他想公布自己的发现，又怕弄错了闹笑话。
当时的科学界流行一种既可保证发现的优先权，又能防止犯错误的方法，那就是把自己的发现用拉丁文写成一句话，然后把字母顺序打乱排列，成为秘语，再公布出来，等这个发现被证实后，重新把字母顺序调整回来，正式公布自己的发现。在这期间如果有别人做出了同样的发现，则可依据此秘语保护自己发现的优先权。
于是，伽利略把自己的发现依此法用拉丁文公布出来。内容如下：
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开普勒看到后，对此秘语极感兴趣，非常想知道伽利略用望远镜究竟看到了什么。
于是，每天闲下来开普勒就颠来倒去地摆弄这条秘语中的字母，希望解开这个谜。他曾有一个奇特的猜想，认为地球有一颗卫星，木星有四颗卫星，那么公转轨道位于地球与木星之间的火星应该有两颗卫星。他推测伽利略一定是发现了火星的两颗卫星！开普勒终于破译了伽利略的秘语。他把秘语去掉两个字母后，凑成了一句话：
“Salve，umbistineum gemiatum Malrtia proles”——“向你致敬，火星的双生子”。
开普勒高兴极了，看来伽利略证实了他的猜想。然而，不久之后伽利略认为自己的发现已确凿无疑，于是公布了自己的谜底。伽利略也是去掉了两个字母，谜底为：
“Altissimum Dlanetam tergeminum observavi”——“我看见最高的星有三颗”。
当时发现土星是离太阳最远的行星，因此说土星是最高的行星。开普勒空欢喜一场。不过，今天我们知道火星确实有两颗卫星，这一点开普勒倒是猜对了。
1610年和1613年，伽利略分别出版了《星际使者》和《关于太阳黑子的书信》这两本书。其中《星际使者》出版后立即引起轰动，初版500本很快被抢购一空。欧洲各地纷纷来信，要求买书。开普勒对《星际使者》给予高度评价，并要求允许他在法兰克福翻印一版。
《星际使者》的畅销，使伽利略成为整个欧洲的著名人物。人们惊叹：“哥伦布发现了新大陆，伽利略发现了新宇宙。”因此，后人又称伽利略为“天空哥伦布”。
在这两本书中，伽利略公布了他用望远镜观测到的一系列发现。还宣告他观测到了行星“绕着太阳运行”。这一切有力地推动了哥白尼日心说的传播。
1616年，感觉受到威胁的罗马教廷终于把哥白尼的《天体运行论》列为禁书，并且警告伽利略必须放弃哥白尼学说，不得为它辩护，否则将受到监禁处分。这就是罗马教皇保罗五世下达的著名的“1616禁令”。
1632年，伽利略出版了《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》一书。该书是科学史上的名著，伽利略花了8年才完成。此书在表面上保持中立，但实际上却为哥白尼体系辩护，并多次对教皇和主教隐含嘲讽，远远超出了仅以数学假设进行讨论的范围。
《对话》出版后6个月，便被罗马教廷查禁，认为作者公然违背“1616禁令”。1633年2月，宗教法庭把伽利略传到罗马，并强迫他在“悔过书”上签了字，最后判决伽利略终身监禁，并且禁止出版和重印他的一切著作。