欧拉出生在瑞士的名城巴塞尔，他的父亲是一个牧师，对数学很有研究。在父亲的影响下，他从小就对数学发生了浓厚的兴趣，不满10岁就开始自学《代数学》，这本书连学校里的老师都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔做个记号，事后再找人请教。可是，这样一个学生却不讨老师的喜欢，刚上小学时竟被学校开除了。
欧拉读的是教会学校。有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星。老师回答不上来，就煞有介事地对欧拉说：“天上有多少颗星星无关紧要，只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。”
欧拉不满意老师的解答，又问道：“既然是上帝亲自把星星一颗一颗地放在天幕上，他为什么忘记了星星的数目呢？上帝会不会太粗心了呢？”
老师涨红了脸，不知如何回答才好。在欧拉生活的那个年代，对上帝是绝对不能怀疑的，老师认为欧拉小小年纪就敢对万能的上帝提出怀疑，这怎么得了，就把他赶回家去。
这么聪明的孩子不读书实在太可惜了，父亲想办法让小欧拉认识了大数学家伯努利。在他的推荐下，13岁的欧拉成了巴塞尔大学的大学生，也是当时所有瑞士大学中年龄最小的学生，一时引起轰动。
伯努利的授课方法很特别，他没有教材，也不发给学生课本，每次上课只是给出一些问题，让学生自己去看书找资料，下个星期把答案交上来。看过答案后，伯努利与学生讨论一番，再给新的问题。这样的学习方法，就连欧拉都觉得非常吃力，只有勤奋用功才勉强赶得上。三年下来，伯努利的学生只剩下欧拉与他的儿子但以理·伯努利，后来，但以理·伯努利成为一位着名的流体动力学专家。1724年，欧拉获得了神学硕士学位。有了这个文凭，他就可以到教会谋个差事。父亲不希望欧拉专门从事数学研究，在当时整个欧洲大陆，这种人是找不到工作的。这一天，伯努利亲自来拜访欧拉的父亲，实际上是来给欧拉说情，他认为欧拉一定会成为数学界最明亮的一颗彗星。欧拉的父亲为难地说：“他受的神学教育怎么办？”伯努利回答道：“数学不会抖落他身上的任何虔敬信仰，你看着吧，有一天他会成为数学界的神学家！”
伯努利的预言很快就成了现实。1727年，欧拉用数学解法计算出了一艘大轮船的结构设计，以此参加欧洲科学竞赛。这个作品给巴黎科学院的科学家们出了一个难题：一个在神学院里专攻古希伯来文的学生，竟有如此超强的数学解析能力，实在是百年难得一见，不把竞赛的首奖颁给他，显得太没有眼光了；但是，一个来自群山之国瑞士的人，一生中从未见过大海，更没见过轮船，竟以轮船设计获得首奖，这个消息若是传出去，一定会成为笑柄。巴黎科学院的科学家们左右为难，只得决定当年没有首奖，只把佳作奖颁给了欧拉。从这个时候开始，父亲不再反对欧拉研究数学了。
隔了一年，欧拉再次让巴黎科学院的科学家们感到头疼。他用数学方法证明了耳膜结构与声波的共振，而他不是医学教授，也没有见过耳膜。这一次，巴黎科学院把首奖颁给他。在以后的12年里，他连获12次首奖，用的都是他的“数学怪招”。
1726年，19岁的欧拉大学毕业，在瑞士没有找到合适的工作。这时候，俄国科学院刚刚在圣彼得堡建立，正在四处搜罗人才。已经应聘在圣彼得堡工作的但以理·伯努利深知欧拉的才能，在他的引荐下，欧拉离开了自己的祖国，来到圣彼得堡。然而，就在这一年，女皇叶卡捷琳娜一世驾崩，俄国陷入了长期的血腥内战中，凡是外国人都受到秘密警察的监视。对于欧拉这样的数学家来说，这也许是因祸得福，没有社交，没有会议，没有世俗的干扰，他所能做的只是专心致志地在他的数学王国里遨游。后来，瑞士政府把欧拉在这15年中写成的作品结成全集，足足有100巨册。
在这段日子里，欧拉曾用自己发明的方法，解决了一个天文学上的难题（计算彗星轨道）。为此他整整计算了三天三夜，结果因工作过度得了眼病，右眼不幸失明，这时他才28岁。
欧拉能够取得伟大的成就，在很大程度上取决于他的天才，这主要表现他惊人的记忆力和罕见的心算能力上。有一次，他的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位。他们俩谁对谁错呢？欧拉用心算的方法把全部运算做了一遍，居然把错误找了出来。欧拉的长子后来回忆道：“父亲为我们念书，我们觉得太好听了，请父亲再念一遍，父亲就把书本合上，从第一行讲到最后一行。”欧拉到了晚年，还能够一字不差地复述出年轻时代所做笔记的内容。
欧拉还有一个本事，那就是从不受嘈杂和喧闹的干扰。他在家里常常一面哄孩子，给孩子讲故事，一面思考他的数学问题。有了什么想法，就顺手写在孩子吃饭的围兜上、给孩子擦嘴巴的纸巾上，事后一整理，便是一篇出色的论文。
1740年，俄国国内的局势逐渐平静下来，这时欧拉的数学名声已经传遍整个欧洲大陆。普鲁士国王腓特烈大帝特聘他为宫廷数学家，并兼任公主安哈特-笛莎的老师。
1766年，女皇叶卡捷琳娜二世亲自出面恳请欧拉重回圣彼得堡。谁料想过了不久，他的左眼也出现视力衰退，最后完全失明。在完全失明之前，他还能朦朦胧胧地看见东西，便抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上把他发现的公式写来，然后口述其内容，由他的学生笔录下来。
1771年，圣彼得堡着起一场大火，殃及欧拉的住宅，瞎眼的欧拉被围困在火海中，一个仆人冲入火场把他背出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬。遭遇这样的打击，欧拉并没有屈服，他坚定地说：“如果命运是块顽石，那我就化做大锤，把它砸个粉碎！”他花了一年的时间，口述了所有被烧掉的论文并做了修订。
1783年9月18日，法国人蒙高尔费兄弟进行第二次热气球升空试验。当天下午，欧拉邀请好友聚餐，庆祝他计算的气球上升公式得到证明。那时天王星刚发现不久，饭后欧拉就躲开众人去计算天王星的运行轨道，还和他的孙子玩了一会儿。就在他喝完茶后，突然他手中的烟斗跌落到地上，老人的口中喃喃地说：“我要死了！”随后闭上了眼睛，这位与黑暗搏斗了17年之久的数学家永远“停止了计算”。
科学家逸闻
无法回答
有一次，俄国女皇邀请法国哲学家狄德罗访问她的宫殿，狄德罗编过法国百科全书，号称自己无所不知，他一个劲儿地向大臣们宣传无神论，女皇有些生气了，就让欧拉去对付这位哲学家。第二天，欧拉朝狄德罗走去，一本正经地问道：“先生，因为（a b）n/n=x，所以上帝存在，对不对？”狄德罗困惑得不知怎样回答才好，羞愧地离开俄国。