师：若把“变式1”的结论两边同乘以3再加上a3+b3，则结论如何变化？（考察学生前后知识的连贯性）
变式2已知a，b是正数，求证4（a3+b3）≥(a+b)3（幻灯放映）
师：若把“变式1”的条件变为“a，b是负数”，则结论如何变化？
变式3已知a，b是负数，求证a3+b3≤a2b+ab2（幻灯放映）
师：能不能把“变式1”结论的“次数”提高？若不等式左边的3次改为4次，则结论如何变化？（激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生具有独立思考，勇于创新的科学精神。）
变式4已知a，b是正数，求证a4+b4≥a3b+ab3（幻灯放映）
变式5已知a，b是正数，求证a4+b4≥a2b2+a2b2（幻灯放映）
师：若不等式左边的3次改为5次，则结论如何变化？（层层深入地分析，培养学生思维的连贯性和深刻性。）
变式6已知a，b是正数，求证a5+b5≥a4b+ab4（幻灯放映）
变式7已知a，b是正数，求证a5+b5≥a3b2+a2b3（幻灯放映）
师：能不能得出一般性的结论？若a，b是正数，m，n∈N*，则结论如何变化？(使学生将所学方法获得提炼上升，从而达到触类旁通、举一反三的效果)
变式8已知a，b是正数，m，n∈N*。求证am+n+bm+n≥ambn+anbm（幻灯放映）
师：能不能把不等式的“元”增加？若将“二元”改为“三元”，则结论如何变化？（以下为下一节课“综合法”的内容，作为回家作业，自己进行探索研究。）
变式9已知a，b，c是正数，求证a3+b3+c3≥abab+bcbc+acac
变式10：已知a，b，c是正数，求证a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+a2c2
点评：通过这样的变式训练，课后的习题学生都可自己完成，相关的题用类似的方法可做出，真正做到了触类旁通、举一反三的效果。
例如课本第二册（上）P161-(2)求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac
例如课本第二册（上）P162如果a，b都是正数，且a≠b，求证a6+b6≥a4b2+a2b4
数学不仅是一种知识，而且具有丰富的思想和方法。我在教学中十分重视数学思想方法的渗透，因为数学学习不仅是数学知识的学习，而且也是数学思想方法的学习。只有注意数学思想方法的渗透，才能把数学讲懂、讲活、讲深，才能使学生头脑形成一个具有“活性”的数学知识结构，促进学生数学能力的发展。
案例9讲一题，解一类，通一法，览全局
竺欢乐
在例题教学中，若能以例题为“生长点”，将原有题目进行多方位的演变延伸，不仅可以提高学生的应变能力，还可起到“讲一题，解一类”，“通一法，览全局”的教学效果。
案例不等式章节中有一组形式上非常相似的命题：
命题1已知a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2；
命题2已知a，b是正数，且a6+b6＞a2b+ab2
对命题1和命题2进行比较，可开展如下变式教学：
变式1如果a，b是正数，那么an+bn≥an-1b+abn-1(n∈N*且n≥2)（当且仅当a=b时取“＝”号）。（证明略）
于是，命题1成了变式1中取n=3时的特款．特别地，取n=2，则有a2+b2≥2ab成立。
变式2如果a，b是正数，n∈N且n≥2，那么an+bn≥an-1b+abn-1≥an-2b2+a2bn-2≥an-3b3+a3bn-3≥…（当且仅当a＝b时取“＝”号）。（证明略）
特别地，取n=6。则有a6+b6≥a5b+ab5≥a4b2+a2b4≥a3b3+a3b3=2a3b3.该特例又包含了习题6.3第2题要证的结论。
变式3如果a，b是正数，n∈N*、p＞0，q＞0，且p+q=n，那么an+bn≥apbq+aqbp（当且仅当a=b时取“＝”号）。（证明略）
特别地，取p=q=12，则有a+b≥2·a12b12=2ab。此即§6.2均值不等式定理的等价形式。
评析通过本例的变式教学，层层深入，步步引伸，引导学生揭示问题的一般规律，从而帮助学生认识相关知识的“亲缘”关系，形成一条知识链，达到举一反三，触类旁通的教学功效。
案例10一道函数最值题的讲解
徐丽英
在高三的复习课中讲解例题是整堂课的中心。但平时由于时间的紧张，一堂课下来就是教师的45分钟“个人表演”。那就变成“满堂灌”，只是教师“推销”自己的想法，把学生的思维纳入自己预先设计的轨道，让他们一味地接受。这样做的结果是学生的学习没有主见、没有个性，学习被动，依赖性强，不利于学生探究能力、创新能力的培养。因此，在例题的讲解中要多变化，应该为学生提供宽松、广阔的思维空间，使学生主动参与到问题的发现、讨论和解决等活动上来。
下面是高三复习课中一道例题的讲解案例：
例题求函数y=sinx2+2sinx(0＜x＜π)的最小值。
(教师先让学生思考，然后提问)
学生A：利用不等式y=sinx2+2sinx≥2sinx2·2sinx=2。
（下面已经有同学是惊讶的表情）
教师：哦，利用不等式能解决这个问题。其他同学有想法吗？
（教师提问惊讶的同学）
学生B：因为sinx≠2，所以等号取不到，这样解错了。
教师：非常正确，不等式中一证，二定，三等号，其中三等号最容易忘记同学们在解题特别要小心。那么，这题是不是不能用不等式做呀？
（学生A又举手了）
教师；好，A同学你自己来订正。
学生A（胸有成竹）：那么只要拆一下：y=sinx2+2sinx=12sinx+1sinx+3sinx≥2sinx·1sinx+3sinx+122+3sinx≥12(2+3)=52（学生A微笑地坐下了）
教师：A同学说得很好。这里不仅用了不等式，还有用了sinx∈(0，1］，要3sinx最小有sinx=1，故这两个不等号均在sinx=1时取等号，正确。
学生C：那我不是用不等式，怎么答案也是2，又错哪里？
教师：好，C同学有困难，让我们一起来帮帮他。你说说你的想法。
学生C：用判别式法，令sinx=t，则t＞0。y=t2+2t，即t2-2yt+4=0。
Δ=4y2-16≥0，又y＞0，所以y≥2。
（过一会儿，学生D举手）
学生D：由于t≠2，y的值不能取到2。
教师：好，举出反例，说明C同学的方法中有错误了，但就算去掉2，答案也不是y＞2。那肯定还有问题。
学生C：受D同学的启发，我知道错哪里了，没有考虑的t=sinx∈(0，1］的范围，但我还不知道怎么解决？
学生E（数学基础较好）：可令f(t)=t2-2yt+4，使方程t2-2yt+4=0
在(0，1］内有解。则讨论：（1）在(0，1］内仅有一解，必须f(0)·f(1)≤0，解得y≥52
（2）在(0，1］内有两解，结合二次函数图象可知，满足要求的y值不存在。
综合，y的最小值为52。
教师：解得漂亮，完全正确。事实上，是对方程根的分布讨论，相信C同学的困难没有了。看来此题得到圆满的解决了？还有没有方法呢？
学生F：令sinx=t，则0＜t≤1，函数y=t2+2t=12t+4t在(0，1］上递减，当t=1时，y的最小值为52。
教师：太好了，F同学把我要说的方法说了。事实上同学们把我要说的已全部说了，就是这三个方法。我无话可说了，也下课了。
学生是主体教师是主导，在这节课中充分体现了这点，收到较好效果。
案例11一题多变一例
严华峰
一道好的例题，往往包含许多知识点和重要解题思想。如果教师仅仅是因题论题，学生对知识点的掌握不深刻，应变性也较差。如何使学生更好地掌握知识点和提高解题能力，是例题讲解的最终目的。除了精选例题，在讲解例题时，如果能对例题进行多变化，往往可以达到举一反三的效果，学生的应变力和分析能力也得以显著提高。
例如：已知点P是椭圆x216+y212=1上一点，F(2，0)A(43，2)，求｜PA｜+2｜PF｜的最小值，并求此时点P的坐标。
为了使学生更透彻地掌握利用圆锥曲线的定义法解题和更好地提高解题能力，我设计了以下几个变式：
变式1已知点P是双曲线x24-y25=1上一点，F(3，0)，A(4，1)，求｜PA｜+23｜PF｜的最小值，并求此时点P的坐标。
变式2已知点P是抛物线y2=4x上一点，F(1，0)，A(3，2)，求｜PA｜+｜PA｜的最小值，并求此时点P的坐标。
变式3已知点P是椭圆x225+y29=1上一点，A(4，0)，B(2，2)，求｜PA｜+｜PF｜的最小值，并求此时点P的坐标。
通过对变式1、2的分析，学生能够掌握，解决这类题型要借助于圆锥曲线的第二定义，把到焦点的距离｜PF｜转化为到准线的距离d，利用三点共线求解，并能够注意到｜PF｜前的系数是1e；由变式3的分析，解决这类问题要借助于圆锥曲线的第一定义，把到焦点的距离｜PF｜转化为到另一个焦点的距离，利用三角形三边的关系求解。通过例题讲解的多变化，可以达到较好的教学效果。
案例12四种发散，八个变式
徐国平
数学上的新思维、新理论和新方法往往来源于发散思维。在平时的教学中如果能够适时、适度地就讲解的例题进行发散，不仅可以激发学生的学习兴趣，而且还可以培养学生的创新能力。下面就一道例题的讲解过程进行方法发散、条件发散、结论发散以及综合发散。
例：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c(其中c为定值)且满足sinA+sinB=2sinC，求顶点A的轨迹。
如图26建立直角坐标系：A(-c2，0)，B(c2，0)，设C(x，y)
由于sinA+sinB=2sinC，∴a+b=2c为定值。
根据椭圆定义：点C(x，y)的轨迹是以A，B为焦点，长轴长等于2c的椭圆(除去x轴上的两个交点)。
1.方法发散
利用图27：设C(x，y)，由于sinA+sinB=2sinC，∴a+b=2c为定值。
即(x+c2)2+y2+(x-c2)2+y2=2c，化简得C点轨迹方程：x2c2+y23=1(y≠0)
2.条件发散
变式1△ABC中，∠A、∠B、∠C中的对边长分别为a、b、c(其中c为定值)且满足a+b=2c，求顶点C的轨迹。
变式2在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c(其中c为定值)且满足△ABC的周长为定值l(l＞2c))，求顶点C的轨迹。
变式3已知⊙A：(x+c2)2+y2=4c2，点B坐标为(c2，0)，P为⊙A上任一点，且PB的垂直平分线交PA于点C，求点C的轨迹。
提示：结论为椭圆(除去两点)。如图27，连结BC，
PA=2cPC+AC=2cBC+AC=2ca+b=2c。
3.结论发散
变式4△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c(其中c为定值)且满足2(sinB-sinA)=sinC或2(b-a)=c，求顶点C的轨迹。
提示：2(sinB-sinA)=sinC2(b-a)=cb-a=12c为定值，由双曲线定义可知顶点C的轨迹是一支双曲线。如何改变条件使结论变为两支双曲线呢？(变式5)
变式5在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c(其中c为定值)且满足2｜sinB-sinA｜=sinC或2｜b-a｜=c，求顶点C的轨迹。
4.综合发散
变式6在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c(其中c为定值)AC与BC所在直线的斜率积为-1或AC·BC=0)，求顶点C的轨迹。
提示：结论为圆。
变式7在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c(其中c为定值)，给出定点F(0，4)，点C到F的距离与到直线AB的距离相等，求顶点C的轨迹。
提示：结论为抛物线。
变式8已知⊙A：(x+c2)2+y2=c24，点B坐标为(c2，0)P为⊙A上任一点，且PB的垂直平分线交PA(或其延长线)于点C，求顶点C的轨迹。
提示：结论为双曲线。
BC=PCBC=PA+ACBC-AC=PA=c2，由双曲线的定义可知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的左支双曲线。
想一想：如何改变题目条件，使结论变为两支双曲线？
从以上的过程来看，在教学中如果对一道例题进行充分的酝酿与思考，就可以变形出很多不同类型的题目，不仅丰富了课堂教学的内容，同时也将各种知识有机地交织在一起，使学生学有所得，学有所思，长期下去，学生的综合素质(尤其是创新能力)得到明显的提高，这样学生既学得轻松，又学得踏实。
案例13一题多解，激起学生的探究意识
潘新强
美国著名数学教育家G·波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”事实上，对于课本中的例题、习题，教师若善于引导学生探究问题的各个方面，对于培养学生的创新意识和探究能力，都将大有裨益。下面结合一道课本习题的教学，谈谈自己的点滴体会。
高中《数学》第二册（上）复习参考题八第6题：在椭圆x245+y220=1上求一点，使它与两焦点的连线互相垂直。
解答此题并不困难，学生很快有如下解法：
解法1：设点P(x，y)。
∵F1(-5，0)，F2(5，0)，PF1⊥PF2，
∴yx+5·yx-5=-1
即x2+y2=25①
又点PD椭圆上，∴x245+y220=1②
联立①、②，解得点P的坐标为(3，4)、(3，-4)、(-3，4)、(-3，-4)。
运用一题多解的形式，强化知识点间的横向联系，激起学生的探究意识。
在学生用前面解法1解好该题后，教师应不失时机接着提问：能不能从不同角度来考虑这个问题？还有其他不同解法吗？经过学生思考探索后，可总结出还有如下四种解法。
解法2：（向量法）设点P(x，y)。由题设知F1(-5，0)、F2(5，0)，则
F1P=(x+5，y)，F2P=(x-5，y)。
∵F1P⊥F2P
∴P点在以F1F2为直径的圆上，即x2+y2=25，以下同解法1。
解法3：(应用焦半径公式)设点P(x，y)。
∵a=35，e=53，则
｜PF1｜=a+ex=35+53x，
｜PF2｜=a-ex=35-53x，
∵PF1⊥F1F2，｜PF1｜2=100，可得x=±3，以下同解法1。
解法4：(面积法)设点P(x，y)，则S△F1PF2=12｜F1F2｜·｜y｜。
由椭圆定义知｜PF1｜+｜PF2｜=65，∴｜PF1｜2+｜PF2｜2+2｜PF1｜·｜PF2｜=180，又｜PF1｜2+｜PF2｜2=100∴｜PF1｜·｜PF2｜=40，∴S△F1PF2=12｜PF1｜·｜PF1｜·｜PF2｜=20。∴｜y｜=S△F1PF2｜F1F2｜=4，y=±4，以下同解法1。
一道题目，经这样的的处理后，明显地将单纯的做题讲题，提升到对多方面知识的运用与巩固，把学生引入一个更宽广的知识和思维领域。学生们很感兴趣，激起了探究问题的热情，效果很好。
我们在教学中可经常运用一题多解、一题多变、一题多改等变式教学，将知识点横向联系或纵向深入挖掘知识内涵，引导学生自主探索，焕发学生探究的热情。勇于创新，促进学生思维的发散迁移，挖掘学生探究问题的潜能。提高学生解决问题的能力，享受探究成果带来的成功体验，养成勇于探究问题的良好习惯。
案例14多解与多变
顾炜
案例背景：
教材中的例题给出的解法是有限的，如果我们对所有例题只限于课本的解法，不作深入研究，不求解法有新的突破，例题教学中不敢于开拓创新，这只能使学生的思想僵化，死套模式，陷入机械学习的泥坑。把教材中的例题、习题讲得精一点、深一点，探求题型的变通，无疑对学生的发散思维，培养学生的创造能力是大有裨益的。
案例描述：