y=tan2α+1tan2-tanα+1=sec2αsec2α-tanα=11-12sin2α，然后利用三角函数求值域。
【分析④】一般连续函数可以用导数法求函数在定义域内的驻点(导数为零的点)，再求极值。用导数法处理，在技巧上要求不高，且适用范围大，更应熟悉。对很多不熟悉的函数都可以采用求导法，是种常规的思路。
法④：y=-x2+1(x2-x+1)2，令y=0，得x=±1，且x＜-1时，y＜0；-1＜x＜1时，y＞0；x＞1时，y＜0；所以x=-1函数有极小值，x=1函数有极大值。所以ymax=f(1)=2，
ymin=f(-1)=23
【总结】此题最普遍的通法是判别式法法①。
我选用的例2：
a＞0，b＞0且a2+b22=1，求a1+b2的最大值。
这是一个经典的不等式问题，尽管常规方法很多，但却是学生不易解决的一个问题，所以我在课堂上用多种常规方法解决这个问题。
【分析①】观察并利用a2+b22为定值，再恰当凑出符合这一条件的不等式来求解。这是一种重要而又基本的方法。
法①：a1+b2=a2(1+b2)=2a21+b22≤2a2+1+b222=22(1+12)=342，当且仅当a2=1+b22时，即a=32，b=22，a1+b2有最大值342
【分析②】利用已知等式代入，使其转变为y关于a的解析式，利用二次函数的配方求得，也是一种重要的基本方法，但要注意a的取值范围。
法②：由已知得b2=2-2a2＞0，得0＜a2＜1，所以
y=a1+b2=a2(3-2a2)=-2(a2-34)2+98，当a=32时，最大值342
【分析③】考虑到原函数内有两次根号，以平方手段去之，再利用判别式法求解，方法也很基本。
法③：设y=a1+b2，由两边平方及代入b2=2-2a2，得y2=a2(3-2a2)，
即：2a4-3a2+y2=0，由a2是实数，所以△≥0，得y2≤98，ymax=342
【分析④】在定义域内求驻点(导数为零的点)，再求极值，用导数法处理，方便简捷，技巧要求不高，适用范围大，要求学生熟悉。
法④：y=a1+b2=a2(3-2a2)，(0＜a＜1)
y=3-4a23-2a，令y=0，则a=32，且0＜a＜32时，y＞0；32＜a＜1时，y＜0，所以a=32时，ymax=342
【总结】此题最普遍的通法是法①法②。
通过对本节课中两个值域问题的分析，使学生初步明白求值域方法的多样性，并且指出通法通解，尽量让学生知道分析问题的常规思路是如何而来。而且导数方法的运用，使对一些求复杂函数的值域问题有了一种相对简捷的统一解决方法。但也要注意，不应过分依赖求导法，使学生解决问题的能力受制于此。所以我们在培养学生通法通解的能力及思维发散性上还有待于进一步的研究和探讨。
案例6不等式与函数一例
许炳英
不等式与函数是高中数学最重要的两部分内容，把作为高中数学重要工具的不等式与作为高中数学主线的函数整合到一个系统中，资源的优化配置将使学习内容得到重组；优势互补必将提升学习效益；强强联合又会使驾御知识的层次更上一层楼。
一、整合一次函数到不等式中，简明的性质常常可使探索思路有柳暗花明又一村的感觉。
例１．已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：ab+bc+ca+1＞0
点评：设f(a)=(b+c)a+bc+1，-1＜a＜1。利用一次函数在任何闭区间上的函数图象都是一条线段，考虑区间两端点的符号就足够了这一性质，它是不等式转化为一次函数的桥梁。介绍如下：设在给定区间上的一次函数f(x)：
⑴恒大于零f(a)＞0且f(b)＞0
⑵恒小于零f(a)＜0且f(b)＜0
⑶恒正或恒负f(a)×f(b)＞0
⑷有正有负f(a)×f(b)＜0
例２．当0≤m≤3时，不是不等式x2-mx＞3x-2m+1恒成立的x的取值范围
二、整合二次函数到不等式中，函数与方程魔术般的转化可使探索思路峰回路转、跌宕起伏。
例３．已知a2+ab+ac＜0，求证：b2＞4ac
点评：①本题由所证不等式的形式联想到一元二次方程根的判别式；②为了开拓思路，本题除了函数与方程的思想外，还可用“配凑”手段来探索，但要求和技巧都很高，提示：b2=4ac+(2a+b)2-4(a2+ab+ac)＞4ac
三、由于有相应函数的强大支持，使得利用“判别式家族”中的“等”与“不等”产生不等式的解题方案浮出水面。
例４．已知实数a＞b＞c，a+b+c=1，a2+b2+c2=1，a+b与a2+b2的范围
点评：①本题与例３分别给出了构造一元二次方程的两种类型的导火索：其一是两根之和与两根之积，其二是的形式。②本题与例３的细微区别在于先有方程还是先有函数，不过从他们水乳相融的合作来看，不管是谁先出现都可构思一套完美的解题方案来。
四、对于一般的函数而言，单调性与有界性本来就是以不等式的形式给出的，把函数的单调性和有界性应用到不等式中，螺旋式上升的思维可以使解题的能力跃上一个新高度。
案例7一道高考题的思路
竺欢乐
在数学课例、习题教学时，解题思路的形成是解决问题的重要环节，分析思路应遵循学生的认知特点。运用“技巧”解题，固然能使解题过程简洁、漂亮，但也会使问题变得“扑朔迷离”，缺乏自然，分析思路常规化能使学生主体参与、积极思考，很好地迎合教学要面对全体学生的教学要求。
案例2002年江苏高考卷22题的第（2）小题是这样的：
已知a＞0，函数f(x)=ax-bx2。当b＞1时，证明：对任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2b。
我先向学生介绍了标准答案给出的解题思路：
思路1：
【必要性】∵对任意的x∈［0，1］，都有|f(x)|≤1，∴-1≤f(1)，即a+b≤-1，得a≤b-1；又∵b＞1，∴1b∈［0，1］，∴f(1b)，即a·1b-1≤1，得a≤26，∴b-1≤a≤2b。
【充分性】∵b＞1，a≥b-1，，∴对任意的x∈［0，1］，有ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-X-1，
即ax-bx2≥-1；又∵b＞1，a≤2b，∴又有ax-bx2≤2ax-bx2≤bx-bx2≤1。即ax-bx2≤1，
∴-1≤f(x)≤1，即|f(x)|≤1。
片刻之后，有学生在窃窃私语：“技巧性太强了”，语气中充满了一种听天由命，“凭运气”的感觉。于是，我顺势发问：本题还有没有其他的解题思路？
进而揭示如下常规思路：
思路2：∵b＞1＞0，∴函数f(x)=ax-bx2的图象开口向下，其对称轴为x=a2b。
下面对轴的位置进行讨论，进而证明
【必要性】若a2b≥2b，即，则f(x)在区间\[0，1]上单调递增。欲使|f(x)|≤1，必须，f(1)≤1，即a-b≤1。∵b＞1，∴a-b≤2a≤b+1＜b+b=2b，即a＜b。这与a≥2B矛盾。
所以只有0＜a2b＜1，其对称轴为x=a2b介于区间\[0，1]之间，结合图象知，欲使|f(x)|≤1，必须f(0)=0≥-1
f(a2b)=a24b≤1a≤2ba≥b-1b-1≤a≤2b
f(1)=a-b≥-1。
【充分性】若b-1≤a≤2b，则函数f(x)=ax-bx2的图象的对称轴x=a2b介于区间（0，1）之间，且f(0)=0≥-1
f(a2b)=a24b≤1，
f(1)=a-b≥-1，图40
同样结合图象知，对任意的x∈［0，1］，有|f(x)|≤1成立。
【评析】“思路1”运用了“特值法”、“放缩法”等思想方法，构思巧妙，方法独到，但整个解题过程很难引起学生的共鸣，不易激起学生思维的火花；“思路2”运用的是函数思想、数形结合的思想以及分类讨论的思想，这些正是要求学生掌握的重要的数学思想方法，学生容易接受，能起到举一反三的例题教学功效。
课后反馈，全班约有90%的同学接受并掌握了“思路2”，约有30%的同学表示对两种分析思路都能接受，其中更多的还是倾向于“思路2”。
案例8第二余弦定理的证题思路
郑雪华
很多数学问题当回头去看时往往会发现有一些“新、奇、特、简”的解决办法，但对学生来说，特别是在考试的过程中，第一反映往往是常规思路。
在解斜三角形的教学过程中，有这样一个问题：
在△ABC中，求证：a=bcosC+ccosB（第二余弦定理）
显然由从简到繁的原则，应该从右至左。
思路一：在解斜三角形的问题中，看到角的余弦，自然想到余弦定理，由余弦定理的变形式把cosC，cosB用三边来表示即可获证。
思路二：在解斜三角形的问题中，经常会碰到已知中既有边又有角的条件，常规思路之一就是边角化一。即用正、余弦定理化成统一的边或角的条件。分析所证式子的特点是出现边的一次幂，由正弦定理的表达式特征，从而把b=2RsinB，c=2RsinC代入右边即可。
思路三：解斜三角形归根到底还是平面几何的问题，由平面向量的知识体系特征联想用向量知识求解。再由右式出现角的余弦，回顾向量知识点，向量的数量积与其有关。
由abcosC+accosB=CB·CA+BC·BA=BC2=a2即得。
思路四：向量中除了数量积还有投影与角的余弦有关。
在△ABC中，有BA+AC=BC
关于向量的射影定理有：在同一轴上，
BA的射影+AC的射影=BC的射影
即：|BA|cosB+|AC|cosC=|BC|cos0，即得证明。
案例9你相信每个学生都有探究潜能吗？
张谦谦
题目：过点P(2，1)引一条直线L，使它与x轴、y轴分别交于A、B两点，若｜PA｜·｜PB｜=42，求直线L的方程。
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