教与学的关系问题是进行教学设计时必须考虑的首要问题。教与学的关系实质上就是师生的关系处理，即如何处理教师、学生在课堂学习中的地位，因为这个问题决定着教学方法的选择、教学的组织形式等。我们的案例中要充分体现学生的自主性、活动性、探究性，这就要求课堂教学应是民主、平等的，教师将从知识的权威、传授者转变为学习活动的设计者、组织者、促进者，教师的教必须围绕学生的学来展开，为学而教！我国伟大教育家陶行知先生说：“教的法子就是学的法子，学的法子就是教的法子。”教师和学生一样作为研究者进行学习，有利于教师发现学生学习过程中的问题，及时进行个别辅导，或者进行集体评价、反馈；有利于激发学生思维的火花，培养学生的个性。现代数学教学要求教师从教知识转变为导知识，从主动型转向主导型；要求学生从被动接受知识转变为主动学习知识，从被动接受型转向为主动投入型；体现教与学的和谐统一，能真正发挥教师的主导性和学生学习的主体性。
从学习的角度来看，教学组织形式是教学设计关注的一个重要问题。由于学生之间的个性差异，学生自主建构的方式、速度和深度是不一样的，这种认知的差异性是客观存在的，我们不要努力去消灭它，而要努力地利用它，因为这种差异之间具有鲜明的个性特点和很强的互补性，教师应当鼓励学生按自己的认知方式主动建构。教师应根据学生学习的需要，个别指导或者引导学生进行交流、讨论。我们相信通过非传统的教学模式学生可以建构起一些知识，同时我们也相信有些知识学生不能很顺利地构建起来，我们还相信不同的学生建构起的知识是不一样的，因此应非常注重学生之间的交流、评价和反馈，通过资源共享，检查、落实教学目标。
同时我们要注意问题解决的教学模式。教师通过精心设计教学程序，指导学生通过课题质疑法、因果质疑法、联想质疑法、方法质疑法、比较质疑法、批判质疑法等方法与学生自我设问、学生之间设问、师生之间设问等方式提出问题，培养学生提出问题的能力，促使学生由过去的机械接受向主动探索发展。
让学生在教师指导下独立探索。先由教师启发引导(例如演示或介绍理解类似概念的过程)，然后让学生自己去分析；探索过程中教师要适时提示，帮助学生沿概念框架逐步攀升。它有独立发现法、归纳类比法、打破定式法、发明操作法等方法。学生始终处于主动探索、主动思考、主动建构意义的认知主体位置，但是又离不开教师事先所作的、精心的教学设计和在协作学习过程中画龙点睛的引导；教师在整个教学过程中说的话很少，但是对学生建构意义的帮助却很大，充分体现了教师指导作用与学生主体作用的结合。
6.教学流程图
7.课堂教学设计说明
本节课属于新授课型。应主要把握下述几个方面。
①有良好的铺垫。数学教学的过程，实质上就是原有认知结构不断地同化或顺应的能动过程。学生原有的认知结构，始终是关系迁移功能的一个关键的因素。为了有效迁移和建构，就应认真寻找和了解学生的原认知，及时组织改造和唤起这些关键因素，为学习新的知识提供基础。主要要做到三个方面的铺垫：（1）知识性铺垫。（2）技能性铺垫。（3）原理性铺垫。
②抓住新知识的导入点。新课导入就是在新旧问题之间架起一座“认知桥梁”，从而顺利实现迁移。导入时要寻求新旧问题的最短距离，要瞄准新旧关系的最佳方位，要把握新旧转换的最精确表达。
③新授课的重点是新授。新授是一堂课的重要环节，也是学生思维最活跃、最紧张、最有效的认知高潮。因此，新授过程应确保在教学中的最佳时域进行。要让学生有观察、动手、表达、思考、交流、表现等时机，让学生真正成为学习的主人，主动地和生动地进行认知建构。
8.对于探究性案例教学的几点思考
①有利于激发学生数学学习的浓厚兴趣。引入新课的实例来源于生活实践，有情节，有细节，容易引起学生的探究心理，形成多种认知矛盾，使学生在学习过程中成为学习的主体，展开独立的学习活动，进行相互之间观点的交流、切磋与争鸣，取长补短，相互促进提高。学习并不能被看成孤立的个体行为，而是“学习共同体”的共同行为，只有让学生进行积极的、自觉的学习，才能使整个教学过程产生所期望的效果。
②有利于提高学生分析问题与解决问题的能力。探究性的案例教学是一种动态的开放式的教学方式。学生的心理一旦形成了“自我实现需要”（马斯洛），就会为实现自己需要的满足而努力开发自己的潜能。这时他们的思维之火就会熊熊燃烧，就会想方设法置疑释疑，使自己分析问题与解决问题的能力得到提高。
③有利于促使学生学会沟通与合作。现代科学技术的发展都是人们合作探索的结果。社会人文精神的弘扬也把乐于合作、善于合作作为重要的基石。探究性案例教学的过程通常要经过小组、集体合作思维的撞击，在合作中相互沟通，在沟通中增进合作，从而学会尊重他人，关心他人。
④有利于培养学生的综合素质。探究性案例教学改变着单一通道的知识传递方式，使学生的学习有了更大的自主发挥空间，师生之间有了更多的信息传递、情感交流和意向沟通。在探究性学习过程中，学生不仅需要理解，而且还需要表达和交流，有利于形成一个和谐的教学环境。
⑤有利于实现教与学的统一。数学教学是教师与学生围绕着数学教材这一“教学文本”进行的对话过程。在教学过程中，教与学是不能分离的，教学需要“沟通”与“合作”，这说明教学最明显的表征是师生互动，教学相长。让学生参与学习过程，教师负有引导的责任。让学生进入问题情境是关键之一。探究性案例提供了广泛的问题情境和自由的思考空间，学生对问题的思考有较大的发挥余地，能较好的体现学生的主体作用。
三、学生访谈
1.问卷调查
时间：2004年10月20日下午第四节课
地点：教室
人员：全班学生
调查目的：了解学生在第一时间对此课的感性认识。
调查问卷：
（1）上课时，你紧张吗？
A．紧张B.不紧张
（2）在此节课的学习活动中，你拥有成就感吗？
A．拥有B.不拥有
（3）你对整堂课的学习气氛感到满意吗？
A．很满意B.较满意
C.不满意
（4）你认为合作学习的时间充分吗？
A．充分B.不充分
（5）小组合作的形式对你有帮助吗？
A．很有帮助B.有一点帮助C.没有帮助
（6）你认为你有提出疑问或发表意见的机会吗？
A．有B.没有
（7）你认为你对这堂课所学的知识印象深刻吗？
A．深刻B.还可以C.很深刻
（8）你敢于发表你自己对这堂课内容的看法吗？
A．敢B.不敢
（9）你认为此节课对你养成良好的学习习惯有帮助吗？
A．有B.没有
（10）你是否认为此节课有利于你对数学基本思想方法的理解和掌握？
A．是B.否
2.学生座谈
时间：2004年10月20日下午第四节课
地点：办公室
人员：用抽签的方法随机抽取了部分学生。
主持人：数学课代表
会议记录：班长，学习委员
主持人：老师今天用“登山”这一实例引入新课，大家感觉怎样？
学生1：以前上过的很多数学课，包括物理、化学这些理科类的课程，一上来就把概念或知识点告诉我们，虽然很直接，但我大多是识记，容易过后就忘，印象不深，但今天老师给我们讲的二面角的概念，我敢保证今后，甚至是很长时间以后也不会忘记，因为今天的引入我印象深刻。
主持人：上课时，老师让大家提了很多问题，大家感觉如何？
学生2：以前啊总是老师向我们提问题，每当老师提问的时候，我总是紧张的要命，眼睛不敢向老师看，就怕提问我，怕回答错误，因此上课的情绪也不好，影响听课。但今天我不怕了，让我们自己提问，可以遵循我们自己的思路，而且这些问题有助于我思考，使我上课更专心。
主持人：大家再谈谈对小组合作学习的看法。
学生3：我们小组讨论的很激烈，也很充分。
学生4：课堂上好象有点乱。
学生5：我倒不这么认为。我认为大家都很投入，都很有兴趣，才会讨论热烈。
学生6：我觉得小组合作非常好，以前如果让我独自在大家面前回答问题，我放不开的，现在大家一起畅所欲言，发表自己的意见与想法，觉得很自然，一点也不拘束。
学生7：我原来不太喜欢数学。认为它太抽象，太枯燥，不太有实用价值，但今天老师的课改变了我的想法，我今天提的一个问题也被采纳了，我真的很高兴。虽然我现在的数学成绩不太理想，但我相信通过努力我的数学成绩一定会提高的，因为我发现我是能学好数学的。
（限于篇幅，上述是谈话的一个片段）
四、课后记
1.基础知识检测结果及分析
知识点经分解统计并制表如下：
二面角的概念二面角的平面角的概念半平面公共棱二面角的范围二面角平面角的定义二面角面角的作法学生1√√√√√学生2√√√√√学生3√√√学生4√√学生5√√√√√学生6√√√√√学生7√√√√学生8√√√√√注：“√”表示有此项。
结果分析：把两个概念分拆成5个知识点，8个学生的平均识别率3340=825%，最高识别率为100%，最低识别率为37.5%。结果表明培养学生的创新能力与实践能力，要以务实三基为基础，对于学生的基本知识与基本技能是决不能放松的。
2.问卷调查的结果及分析
从调查结果来看，学生从整体上对此节课是乐于接受的，对此我感到很欣慰，但仍有许多问题值得我们警惕。比如：有些学生认为还没有拥有成就感，所以我们对学生当前最近发展区的估计与问题设计的梯度是否欠妥？有的学生认为合作学习还不够充分，我们能否更合理更科学的安排时间或对某些学生进行更有针对性的辅导？或者可以进行更合理的分组。还有一些学生认为老师在上课时还没有关注到他们，我们是否可以再博爱一些？…我相信，只要通过努力，我们一定可以做得更好的。
案例24地球、西瓜皮与环境
石亮
教师：同学们，今天是3月26日，请问昨天（3月25日）是一个什么日子？
学生众答：安吉生态日！
教师：对！是安吉第2个生态日。新世纪将是安吉人民保护环境、建设生态家园的世纪。同时也是人类拯救地球开始采取切实可行的实际行动的世纪。为纪念并庆祝这一节日，我们今天研究一个关于地球的问题。
1.引例（计算机演示）：
1993年4月7日，中国东方航空公司的MU583航班喷气客机，从上海（A）飞往美国洛杉矶（B），因受强气流影响，被迫在美国阿拉斯加州阿留申群岛（C）的某空军基地紧急降落。经过紧急处置，除60名伤员仍留在阿拉斯加的安克雷奇医院中之外，其余173名旅客已于4月9日到达洛杉矶。（用FLASH软件制作演示文稿：世界政区图及客机动画模型，略）。
学生观察后提出问题：从世界地图（平面）上看似乎沿北纬300°的圆“直行”最近，可为什么从上海飞往洛杉矶的飞机会迫降在东北方向的阿拉斯加呢？这岂不是在绕远道吗？
老师：同学们，生活中处处有数学，就看我们是否有发现的眼睛了。对于这一现象我们该做何解释呢？我们能用数学的观点给出一个合理、科学的解释吗？进而，我们能把这个问题一般化吗？
（回答多种多样，但最终统一到选择航线的主要标准是什么？——行程尽可能短。问题的一般化——球面上两地间的最短路线是什么？）
师：那么，怎样的航线可能最短呢？
生1：可能沿纬线圈走短些。
生2：不对，从上海飞往洛杉矶的飞机绕道东北方向的阿拉斯加这一现象，可以说明沿纬线圈走不是最短。
生3：对地球上任意两点来说，并不是都有同一纬线经过它们，所以沿纬线圈走不可能总是最短。
师：非常好！同学们的讨论说明这是一个值得研究的问题。即，到底什么是球面上两点间的最短路线？目前还不知道，那么，能否想起与这个问题类似而已经研究过的问题吗？
生4：蚂蚁在正方体的表面上从一个顶点爬行到相对顶点的最短路线问题。
生5：在圆锥、圆台侧面上爬行也可提出类似的问题。
生6：上述问题的解决方法是相同的，都是将空间图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，使问题获解。
师：非常好！对我们的问题有帮助吗？
生7：把球面展成平面图形
生8：球面不能展成平面图形！
师：有这方面的经验吗？
生9：吃剩下的西瓜皮无论怎样切，它总是展不平。
师：对，球面是不可展的，这一点与多面体、圆柱、圆锥、圆台有本质的不同。那么，这些问题的解决方法对我们现在的问题一点帮助也没有吗？
学生10：有！前面那几个“最短路线”都是“平面曲线”它类似于直线，因此，可猜想球面上两点间最短的路线也是一条类似于“直线段”的曲线，即可能是某个平面与球面的交线，也就是一条特殊的圆弧。
师：好极了，经验和直觉都告诉我们，球面上两点间最短的路线应是一条特殊的圆弧。而在球面上经过两点的圆弧有无数多条，哪一条最短？同学们，数学是一种活动，不仅应该动脑，也应该动手，请同学们以小组为单位，动手探索球面上两点间的最短路线，并给出你的猜想。
上面的新课引入过程注重了新课引入的趣味化，是学生带有兴趣地参与并自己总结概括出球面上两点的最短距离的实质。
案例25球的表面积
李萍
多媒体播放录像：清晨叶面上的露珠；溅落的水银；由滴管口缓慢流出的不是连续的而是液滴；翻砂车间翻砂浇铸时溅出的铁水也总是形成许多大小不一的球形弹珠……在我们的生活中有许多这样的例子，为什么他们都是球形的呢？为什么不是正方体或者是圆柱呢？也许大家会想到物理中所说的是因为表面张力引起的原因，那么我们数学中对这种现象有没有其他的解释呢？其实呢可以解释成：“一滴水为了保护自己有限的生命，防止被蒸发，要尽量的减少与空气的接触面，所以它总是以最小的表面积的形式出现。”那么如何去求一个球体的表面积呢，为什么在同样体积之下水滴会选择做个圆形的球呢？那让我们一起来探讨这个问题吧……
分析：新课的导入采取有趣形象多样灵活的导入方法，从而营造和谐轻松愉快的教学氛围，引发学生的共鸣和思考，使之心驰神往，快速地进入到“学习的主人”的角色，对提高学习效率大有帮助。
案例26奖金的分配
陆剑钢
一、案例背景
学习最大的动力莫过于兴趣，用趣味性的问题情境作为教学的引入，是激发起学生学习兴趣最直接的方式。浓厚的兴趣是学习的催化剂，是开发学生智力、提高成绩的关键。笔者班中一个学生最近发生的变化，让笔者深有感触。
二、案例实录
1．（“随机事件的概率”第一课时教学片段）