唐初作为“算学”教科书的十部算书,除了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《缀术》以外,在中国数学史上甚有影响的还有《孙子算经》、《张邱建算经》和《缉古算经》等三部。其余的三部,即《五曹算经》、《五经算术》和《夏候阳算经》则影响较小。下面,对前面没有提及的算书作补充介绍。
《孙子算经》
约成书于4、5世纪,作者履历和编写年代都不清楚,现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则,卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法,都是考证的绝好资料。书中载市易、田域、仓窖、兽禽、营造、赋役、测望、军旅等各类算题64问,大都浅近易晓,但不少问题趣味性强,解题方法独特,对后世有很大的影响。例如,“鸡兔同笼问题”、“出门望九堤问题”、“妇人荡杯问题”都是流传世界的数学趣题。
对数学发展影响最大的是“物不知数问题”。
这种算法在国外到15世纪才发现。《大明历》中运用数学的地方很多,其中最出色的是关于“上元积年”的推求。
一部历法,需要规定一个起算点,中国古代天文历算家称这个起算点为历元,或上元,并把从上元到所求年累计的年数叫做上元积年。确定了历年和积年,就可以根据各项天文周期(回归年、朔望月、交点月等)来推算朔置闰,计算节气、交食……,整个历法乃得安排。古代历法特别注重上元,所以上元积年的推算,成为古人治历的重要内容。
祖冲之制《大明历》时,为了使其准确性有较大的提高,对上元的选择提出了更高的要求。他除了上述冬至、朔旦时刻外,还把日、月、五大行星的位置同时加以考察,寻求它们“同出一元”的时间,即以所谓日月合璧,五星联珠,月亮恰好经其近地点和升交点时作为上元。这样,祖冲之就为自己设置了一个复杂的计算系统,它相当于求解一个由十一个同余式组成的同余式组,为了解决这个问题,祖冲之又很巧妙地选用了一些特殊的数据,先消去一些方程,使减少同余式,从而求出上元积年x来。
上元积年的推算虽非起始祖冲之,一次同余式理论也非他所创造,但是由于祖冲之的工作,使得这一理论大大深化了,并被数学家们作专门的研究。《孙子算经》里的“物不知数问题”及其解法,很可能就是依据那时天文学家的上元积年编制出来的。