被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费尔玛，对质数（即素数）作过长时期的研究。他曾提出猜想：当n为非负整数时，形如f（n）＝22n+1的数一定是质数。后来，欧拉指出当n=5时，f（5）=225+1是合数，因此费尔玛的这个猜想是错误的。
判别一个数是不是质数，常用试除法。这种方法做起来很麻烦，有时用因式分解的方法反而省事，以f（5）=225+1为例：
f（5）=225+1=232+1＝［2（27）］4+1
＝16（27）4+1
＝（5×3+1）（27）4+1
＝（27×5-54+1）（27）4+1
＝（1+27×5）（27）4+1-（27×5）4
＝（1+27×5）（27）4+〔1-（27×5）2〕〔1+（27×5）2〕
＝（1+27×5）（27）4+（1+27×5）（1-27×5）〔1+（27×5）2〕
＝（1+27×5）{（27）4+（1-27×5）〔1+（27×5）2〕｝
＝641×6700417。
说明n=5时，f（5）是合数。
后来，人们就把f（n）＝22n十1形式的数叫“费尔玛数”。
说来也奇怪，费尔玛生前验算了前5个费尔玛数f（0）=220+1=2+1＝3，f（2）=222+1=16+1＝17，f（3）=223+1=256+1＝257，f（4）=224=65537，结果个个都是质数。但是从费尔玛没有验算过的第6个费尔玛数开始，数学家再也没有找到哪个费尔玛数是质数。现在人们找到的最大费尔玛数是f（1945）＝221945+1，其位数多达1010584位，这可是个“超级”天文数字，当然它也不是质数。
在寻找质数规律上作出重大贡献的，还有17世纪法国数学家、天主教的神父梅森。梅森从小热爱科学，23岁进了修道院，后来当了神父。当时欧洲的学术杂志很少，数学家通过书信往来，交流信息，讨论问题。梅森和同时代的最伟大的数学家保持着经常的通信联系。梅森写了很多信件，将平日收集到的资料分寄给欧洲各地的数学家，然后整理寄回来的信，再作交流。梅森长年做此工作，对当时科学的发展起了重要作用，作出了很大贡献。梅森被誉为“有定期数学杂志之前数学概念的交换站”。
神父梅森于1644年发表了《物理数学随感》，其中提出了著名的“梅森数”。梅森数的形式为2p+1。梅森整理出11个p值，使得梅森数2p-1成为质数。这11个p值是2，3，5，7，13，17，19，31，67，127和257。你仔细观察这11个数不难发现，它们都是质数。不久人们证明了：如果梅森数是质数，那么p一定是质数。但是要注意，这个结论的逆命题可不成立，即p是质数，2p-1不一定是质数，比如211-1＝2047＝23×89，它是一个合数。
梅森虽然提出了11个p值可以使梅森数成为质数，但是他对这11个p值并没有全部进行验证，一个主要原因是数字太大，难于分解。当p＝2，3，5，7，13，17，19时，相应的梅森数为3，7，31，127，8191，131071，524287。由于这些数比较小，人们已经验证出它们都是质数。
1772年，65岁双目失明多年的数学家欧拉，用高超的心算能力证明了p＝31的梅森数是质数：
231-1＝2147483647。
还剩下p=67，127，257三个相应的梅森数是不是质数？长期无人论证。梅森去世250年之后，1903年在纽约举行的数学学术会议上，数学家科勒教授做了一次十分精彩的学术报告。
他走上讲坛却一言不发，拿起粉笔在黑板上迅速写出：
267-1＝193707721×761838257287。
然后就走回自己的座位。开始时会场里鸦雀无声，没过多久全场响起了经久不息的掌声。参加会议的数学家纷纷向科勒教授祝贺，祝贺他证明了第9个梅森数并不是质数，而是合数！
1914年，梅森提出的第10个数被证明是质数，它是一个有39位的数：
2127-1＝170141183460469231731687303715884105727。
1952年借助计算机的帮助，证明梅森提的第11个数不是质数，是合数。这样，梅森提出的11个质数中，只有9个是对的。
1978年年底，美国加利福尼亚大学的两个学生尼克尔和诺尔，利用电子计算机证明了221701-1是质数；
1979年，美国计算机科学家斯洛温斯基证明了244497-1是质数；
1983年1月又发现了286243-1是质数。到1983年为止，一共找到了28个梅森数是质数。