在数学史上有三大发明是值得大讲特讲的，一是解析几何的发明；二是微积分的发明；三是群论的发明。解析几何的发明标志着数学已从常量数学时期进入变量数学时期。
笛卡儿，1596年3月31日生于法国的一个小城，从小喜爱科学。8岁时进入一所教会学校，在那里他认识了一些好朋友，经常在一起谈天说地，试图探索世界的奥秘。其中有一位就是梅森（后来，也是有名的数学家）。毕业后，进入普瓦界大学读法律，20岁时大学毕业去巴黎当律师。当时有种风气，有志之士不是致力于宗教就是献身于军事。也许，笛卡儿不满于法国的政治状态，1617年，他到了荷兰投入奥伦茨的部队，当了一名士兵。
有一天笛卡儿在街上散步，被路旁一张海报所吸引。可是他不懂荷兰文，只能从大家的议论中听出，好像是有关解数学题的挑战书，便请教旁边的中年人，巧得很，此人就是当时有名的别克曼教授。教授告诉他：“这可是一道难题啊，你有兴趣吗？”想不到，笛卡儿没有用多少时间就求得解答，别克曼大为惊奇。从此，笛卡儿开始在别克曼指导下认真研究数学。
这段时期，与其说笛卡儿是个士兵，还不如说他是一名攻读数学的研究生。他终日沉迷在深思之中，考虑哲学和数理问题。日有所思，夜有所梦，一天晚上（这时，他在慕尼黑附近的军营中）他接连做了几个梦。传说他梦见一只黑色的苍蝇疾飞着，眼前留下了苍蝇飞过的痕迹，时而是直线，时而是曲线，时而又停下来留下一个黑点。笛卡儿从梦中惊醒，他意识到直线和曲线均可由点的运动而成，笛卡儿在回忆录中写道：“第二天，我开始懂得这惊人发现的基本原理”，这就是指他得到建立解析几何的线索。
1621年，笛卡儿终于脱离军队，返回法国。他回到巴黎后，重遇好朋友梅森等人，参加了他们的数学集团。因为不满于法国的环境，到了1628年，他又移居荷兰，潜心研究哲学及数学，埋头写作20年之久。1649年笛卡儿被邀请去瑞典做女皇的教师，数月后，因患肺炎而离开人间。
笛卡儿是一位杰出的近代哲学家和近代生物学奠基人，又是出色的物理学家和数学家。他努力寻求发现真理的方法，把方法论作为一切工作的首要对象，他于1628年写成第一部哲学著作《思想的指导法则》，1634年写成第二部著作《世界体系》，1637年他出版了《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，其中有一个附录是《几何学》，这就是现今解析几何的起点。
当时，“几何学”一词，并不专指现在的“几何”而言，它和“数学”是同义语。正像我国古代“算术”和“数学”是同义语一样。
《几何学》共分三卷。第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体与“超立体”的作图。
笛卡儿的中心思想是要建立起一种普遍的数学，使算术、代数和几何统一起来。他从古代已知的天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系。进一步考虑二元方程F（x，y）＝0的性质，满足这方程的x、y值无穷多，当x变化时y值也跟着改变，x、y不同的数值所确定的平面上许多不同的点，便构成了一条曲线。这样，一个方程就可以通过几何的直观方法去处理；反过来可以离开几何图形用代数的方法研究曲线的性质，具有某种性质的点相互间有某种关系，这种关系可用一个方程来表示，这就是解析几何的基本思想。
解析几何传入我国是19世纪的事。1859年李善兰与伟烈亚力合译的《代微积拾级》，是我国第一本解析几何的译本，也是第一本微积分的译本。其中“代”就是指“代数几何”，意思是指用代数方法研究几何，这是解析几何的最初译名。1935年《数学名词》出版后，才确定“解析几何学”这名词，一直沿用至今。
变量的思想是由笛卡儿引入的，但他没有使用变量这一术语。他在《几何学》一书中称一些量为“未知和未定的量”，就相当于现在的变量。
笛卡儿《几何学》第二卷中有这样一个例子：
如图，设直尺GL的一端固定在G点上，可以绕G点旋转。AK⊥GA，有一个三角板CKB的边BK贴在AK直线上，上下移动。使直尺通过三角板BK边上的固定点L，求GL与三角板CK边（或延长线）交点C的轨迹。
笛卡儿选择直线AB作为度量点的位置的标准，以A作为始点（用现代的术语来说就是以AB作坐标轴，A点作为坐标原点）。
作NL∥CB∥GA。他写道：“因为CB和BA是两个未知和未定的量，分别命它们为y和x”。
又命GA=a，KL=b，NL=c。因c∶b=y∶BK，故BK=bcy，BL=bcy-b，AL=x+bcy-b。
又CB∶BL=y∶（bcy-b）=GA∶AL＝a∶（x+bcy-b），故abcy-ab=xy+bcy2-by，所以求的轨迹方程是y2=cy-cxby+ay-ac。
笛卡儿说这是一条双曲线。
这里我们可以看到笛卡儿是怎样引入变量的。
在数学上使用“变量”这个词，最早是约翰·贝努利，变量也叫变数，汉语“变数”这个词，是李善兰最先使用的，他在《代微积拾级》的译本中说：“代数以甲、乙、丙、丁诸元代已知数，以天、地、人、物诸元代未知数。微分积分以甲、乙、丙、丁诸元代常数，以天、地、人、物诸元代变数。”
恩格斯对笛卡儿的工作给予极高的评价，他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入数学……”
解析几何的发明，直接刺激微积分的发明，极大地推动了科学发展。法国大革命以后，笛卡儿的遗物被送进法国历史生物馆。