哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，是1742年由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想：A、任何一个大于6的偶数都可以表示成两个素数之和。B、任何一个大于9的奇数都可以表示成三个素数之和。所谓素数是指除1与自身外没有其他因子的自然数，如2，3，5，7，11……除2之外都是奇素数。显然由A可以推出B。从1742年至今，已累积了不少资料，说明这一猜想是对的。这就是哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的关注。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
1900年在巴黎召开的第二届国际数学大会上，希尔伯特在他的著名演讲中，为20世纪数学家提出了23个问题，哥德巴赫猜想A是问题8的一部分。1912年在剑桥召开的第五届国际数学大会上，兰多在他的演讲中，将猜想A作为素数论四个难题之一，加以推荐。1921年，哈迪在哥本哈根数学会的讲演中称A的困难程度“是可以与数学中任何未解决的问题相比拟的”。
哥德巴赫问题是个难解之题，其基本重要性不难了解。众所周知，每个自然数都可以惟一分解成素数乘积，这称为算术基本定理，是数学的基石之一，那么自然数分解成素数相加的规律是什么？这就是哥德巴赫猜想描述的内容。
我国数学家王元和潘承洞都作过有价值的研究。1966年，我国数学家陈景润用他自己的转换原理加上以前的方法证明了（1＋2）。这个结果是达到（1＋1）前的最后一站，虽然已过去了三十多年，但仍处于世界领先地位。估计在相当长的时间之内仍会处于领先水平。
四色猜想问题
四色猜想问题是世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英四色猜想多年一直是困扰数学家的难题。国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里在进行地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。
20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，陈景润经过多年努力，在哥德巴赫猜想研究的问题上已逼近顶峰。有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对“四色猜想”证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。
困惑数学家350年的费马大定理
17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马（1601～1665）。
这道题是这样的：当n>；2时，Xn＋Yn=Zn没有正整数解。在数学上它被称为“费马大定理”。为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过。但是300多年过去了，至今既未获得最终证明，也未被推翻。即使用现代的电子计算机也只能证明：当n小于等于4100万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公布结果，于是留下了这个数学难题中少有的千古之谜。
关于费马大定理也有不少小插曲，德国人保罗·沃尔夫斯凯尔为费马大定理设立专项基金即是其中之一。按照人们的一般说法，沃尔夫斯凯尔因为失恋而试图结束自己的生命。在他认为一切就绪，准备于某日午夜准时开枪自尽前的一段时间里，发现了一篇关于费马大定理的论文。碰巧的是，沃尔夫斯凯尔本人是一个数学爱好者，不知不觉中竟沉湎于论文中，结果错过了原定的自杀时间。之后，沃尔夫斯凯尔放弃了自杀的念头，并在死前留下遗嘱，把一大笔财富作为奖给第一个证明费马大定理的人，有效期到2007年。
美国普林斯顿大学教授安德鲁-怀尔斯经过7年的潜心研究，于1993年公布了他对费马大定理的证明。他的证明在1995年得到确认并最终获得了沃尔夫斯凯尔留下的奖金。怀尔斯的证明长达一百多页，其中涉及许多最新的数学知识，目前在世界范围内能看懂的人也屈指可数。因此出现了这样的争议：有人认为这不可能是当年费马所想到的证明，应该还有一种比这简单的证明未被发现；但也有许多人倾向于认为当年的费马其实毫无发现，或者只是想到了一个错误的方法。
数学六大强国
第二次世界大战前后，由于希特勒迫害犹太人和打击进步知识分子，美国借机网罗人才，大批欧洲的优秀数学家云集美国，美国数学获得了空前的兴盛，成为世界的数学中心。本世纪中叶，冯·诺伊曼和维纳是美国两个最重要的数学家，他们的影响不仅在数学，而且遍及整个科学领域。日本数学受美国影响，也涌现出一批出类拔萃的数学家。在第三世界，如中国、印度、埃及、巴西等国也开始了数学现代化进程，并逐步赶上，但尚未能臻于一流水平。据国际数学家联盟的排名，当代数学研究处于最高水平的是美、俄、法、德、英、日六个国家。
数学新领域
初等数论的新发展
数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布，以及数论函数等内容，统称初等数论。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。欧几里德证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓“欧几里德算法”。我国古代在数论方面亦有杰出贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”，正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王。”可见高斯对数论的高度评价。
由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开辟了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时促进了数论的发展。
希腊数学家欧几里德的《几何原本》的一页。现代科技发展的基石——微积分学
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引人了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学方法来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。
德国的莱布尼茨是一个博学多才的学者。1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，菜布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。微积分是与应用数学联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程是为了从万有引力定律导出开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。
20世纪的横断性学科——控制论
控制论是研究各类系统的调节和控制规律的科学。它是自动控制、通讯技术、计算机科学、数理逻辑、神经生理学、统计力学、行为科学等多种科学技术相互渗透形成的一门横断性学科。它研究生物体和机器以及各种不同基质系统的通讯和控制的过程，探讨它们共同具有的信息交换、反馈调节、自组织、自适应的原理和改善系统行为、使系统稳定运行的机制，从而形成了一大套适用于各门科学的概念、模型、原理和方法。1948年维纳的《控制论》出版，宣告了这门科学的诞生。维纳在他的《控制论》一书的副标题上标明，控制论是“关于在动物和机器中控制和通讯的科学”。
控制论的研究表明，无论自动机器，还是神经系统、生命系统，以至经济系统、社会系统，都可以看作是一个自动控制系统。整个控制过程就是一个信息流通的过程，控制就是通过信息的传输、变换、加工、处理来实现的。
控制论得到广泛应用的第一个时期为20世纪50年代，是经典控制论时期。这个时期的代表著作有我国著名科学家钱学森1945年在美国发表的《工程控制论》。第二个时期是60年代的现代控制论时期。导弹系统、人造恒星、生物系统研究的发展，使控制论的重点从单变量控制到多变量控制，从自动调节向最优控制，由线性系统向非线性系统转变。第三时期是20世纪70年代后的大系统理论时期。控制论由工程控制论、生物控制论向经济控制论、社会控制论发展。控制论具有十分重要的理论意义和实践意义，它体现了现代科学整体化发展趋势，为现代科学技术提供了新的思路和科学方法。
几何学的新分支拓扑学
几何拓扑学是19世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在18世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占有重要的地位。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展的重要问题。
拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形。
拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支：一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学；另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑学。现在，这两个分支又有统一的趋势。
拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用。
数学应用中诞生的运筹学
第二次世界大战以来，由于技术和工业的迅速发展，带动了数学向应用方向的发展。运筹学的诞生是这方面最突出的例子，它包括以下四个主要分支：