角的概念的推广
【教学目标】
1.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；2.能在0°和360°范围内，找出与此范围外每一个已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合；3.能树立运动变化的观点，深刻理解推广后的角的概念；4.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律提示生活中的空间形式和数量关系。
【教学建议】
一、关于角的概念的推广的重点、难点分析
本节的重点是任意角的概念和象限角的概念；难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
建立直角平面坐标系的前提是：角的顶点和坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合。在这个前提下角的终边落在第几象限就称为第几象限的角，若终边落在坐标轴上，称为坐标轴上的角。
二、关于角的概念的推广的教法建议
（1）建议通过实例帮助建立任意角的概念，如用扳手拧螺母；车轮转动辐条形成的角，特别是钟表的指针转动，因为正角、负角是依据逆时针和顺时针来定义的。也就是用运动的观点来讲述角的概念的推广实际意义。
（2）正角与负角的规定是出于习惯，就和正数、负数规定一样。建议讲正角和负角的教学时对比正数、负数进行教学。
（3）角的概念推广后，建议引导学生辨别“锐角”、“0°～90°的角”、“小于90°的角”、“第一象限角”这些容易混淆的概念。
【教学设计示例】
角的概念的推广
教学目标
1理解引入大于360°角和负角的意义。
2理解并掌握正、负、零角的定义。
3掌握终边相同角的表示法。
4理解象限角的概念、意义及其表示方法。
重点难点
1理解并掌握正、负、零角的定义。
2掌握终边相同角的表示法。
教学过程
设置情境
设置实例（1）用扳手拧螺母（课件）；（2）跳水运动员身体旋转（视频）。说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握0°～360°角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法。
探索研究
（一）正角、负角、零角概念
1一条射线由原来位置OA，绕着它的端点O，按逆时针方向旋转转到OB形成的角规定为正角，如图中角a；把按顺时针方向旋转所形成的角规定为负角，如图中的β；射线没作任何旋转时，我们认为它这时也形成了一个角，并把这个角规定为零角，与初中所学角概念一样，OA、OB，点O分别叫该角的始边、终边、角顶点。
2如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在x轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为轴上角。
3我们作出390°，-330°，及30°三个角，易知，它们的终边相同。还可以看出，β=30°＋k·360°，k∈Z的终边也是与30°角终边重合的，而且可以理解，与30°角终边相同的角，连同30°在内，可以构成一个集合，记作S=β|β=30°＋k·360°，k∈Z。一般地，我们把所有与角a终边相同的角，连同角a在内的一切角，记成β=a＋k·360°，k∈Z或写成集合S=β|β=a＋k·360°，k∈Z形式。
（二）例题分析
例1在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）-120°；（2）660°；（3）-950°08′。
解：（1）∵-120°=240°-360°∴与-120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角；（2）∵660°=300°＋360°∴与660°终边相同的角是300°，它是第四象限的角；（3）-950°08′=129°52′-3×360°所以与-950°08′角终边相同的角是129°52′，它是第二象限角。
总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以360°，按通常除去进行；负的角度除以360°，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值。
例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来：（1）70°；（2）-21°；（3）463°14′。
解：（1）S=β|β=70°＋k·360°，k∈ZS中适合-360°≤β＜720°的元素是70°-1×360°=-290°70°＋0×360°=70°……70°＋1×360°=430°（2）S=β|β=-21°＋k·360°，k∈Z满足条件的元素是-21°＋1×360°=339°-21°＋2×360°=600°（3）S=β|β=463°14′＋k·360°，k∈ZS中适合元素是463°14′-2×360°=-256°46′463°14′-1×360°=103°14′463°14′-0×360°=463°14′说明：与角a终边相同的角，连同a在内可记为β=a＋k·360°，k∈Z这里（1）k∈Z；（2）a是任意角；（3）k·360°与a之间是“＋”连接，如k·360°-30°应看做（-30）＋k·360°；（4）终边相同角不一定相等，但相等的角终边必相同，终边相同的角有无数个，它们彼此相差360°的整数倍；（5）检查两角a1，a2终边是否相同，只要看a1-a2360是否为整数。
例3用集合表示：
（1）第三象限角的集合。
（2）终边落在y轴右侧的角的集合。
解：（1）在0°～360°中，第三象限角范围为180°＜a＜270°，而与每个a角终边相同的角可记为a＋k·360°，k∈Z，故该范围中每个角适合k·360°＋180°＜a＜k·360°＋270°，k∈Z，故第三象限角集合为a|k·360°＋180°＜a＜k·360°＋270°，k∈Z。
（2）在-180°～180°中，y轴右侧的角可记为-90°＜a＜90°，同样把该范围“旋转”k·360°后，得-90°＋k·360°＜a＜90°＋k·360°，k∈Z，故y轴右侧角的集合为a|k·360°-90°＜a＜k·360°＋90°，k∈Z。
说明：一个角按顺、逆时针旋转k·360°（k∈Z）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺、逆时针旋转k·360°（k∈Z）角后，所得“区间”仍与原区间重叠。
【总结提炼】
判断一个角a是第几象限角，只要把a改写成a′＋k·360°，k∈Z 0°≤a′＜360°，那么a′在第几象限，a就是第几象限角，若角a与角β适合关系：a-β=（2k）·180°，k∈Z，则a、β终边相同；若角a与β适合关系：a-β=（2k＋1）·180°，k∈Z，则a、β终边互为反向延长线。判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：a′＋k·360°，k∈Z这种模式（0°≤a′＜360°），然后只要考查a′的相关问题即可。另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法。
课时作业
1在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同角，并指出它们是哪个象限角（1）-265°（2）1185°14′（3）-843°10′（4）2903°15′2写出终边在x轴上的角的集合（用0°～360°的角表示）
3写出与-1050°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-360°≤y＜360°的元素y写出来。
4时针走过3小时20分，则分钟所转过的角的度数为，时针所转过的角的度数为。
5写出终边在直线y=x上的角的集合，并给出集合中介于-180°和180°之间的角。
6角a是180°～360°中的一个角，若角5a与a角有相同始边，且又有相同终边，则角a=。
【参考答案】
1（1）95°（2）105°14′（3）236°50′（4）23°15′2a|a=k·180°，k∈Z3a|a=-1050°＋k·360°，k∈Z30°或-330°4-1200°，-100°5a|a=45°＋k·180°，k∈Z，45°或-135°6270°【习题精选】
一、填空题