书城教材教辅新课程师资培训教程-高中数学优秀课例
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第18章 函数y=Asin(ωχ+φ)的图像(1)

函数y=Asin(ωχ+φ)的图像

【教学目标】

1.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+ψ)的简图,理解A、ω、ψ的物理意义;2.掌握由函数y=sinx图像到函数y=Asin(ωx+ψ)的图像变换过程;3.通过图像变换的学习,培养学生掌握从特殊到一般,从具体到抽象的思维方法,从而达到从感性认识到理性认识的飞跃;又从一般到特殊,从抽象到具体的辩证思维方法。

【教学建议】

知识结构

重点与难点分析

本节重点是用“五点法”画函数y=Asin(ωx+ψ)的简图,以及由函数y=sinx的图像得到函数y=Asin(ωx+ψ)图像的变换过程。“五点法”作图在对图像要求不精确时经常用到,是数形结合中画图常用的方法。图像变换体现了数学的由简单到复杂的转化,由特殊到一般的化归思想,要掌握三角函数的图像变换,关键理解A、ω、ψ对图像变换所起的作用。

本节难点是当ω≠1时,函数y1=A1sin(ω1x+ψ1),y2=A2sin(ω2x+ψ2)的图像间的关系。学生在这里经常出错,教学中要帮学生尽量克服这一难点。首先要学生理解A、ω、ψ三个参数的名称、在变换过程中的作用,函数y=Asin(ωx+ψ)的图像如何通过y=sinx逐步变换得到的,A、ω、ψ三个参数对于图像有什么样的影响。变换的顺序不同ω、ψ变换的数据可能就不相同,让学生理解所的变换均是针对x而言的,关键是看x是如何变化的。

教法建议

1本节的主要内容是“五点法”画函数y=Asin(ωx+ψ)的图像,以及由函数y=sinx图像到函数y=Asin(ωx+ψ)的图像的变换过程。首先让学生理解由函数y=sinx的图像分别到函数y=Asinx,y=sinωx,y=sin(x+ψ)图像,是如何变换得到的以及参数A、ω、ψ分别对变换图像影响。讲解过程中一定要结合图像,让学生掌握变换的思路。讲解后配上适当的练习进一步熟悉变换过程。每个例题讲解图像变换的目的,在于揭示各种正弦函数图像的内在联系,而并不要求用图像变换来作图,而是为y=Asin(ωx+ψ)图像的变换奠定基础。

2由函数y=sinx图像变换到函数y=Asin(ωx+ψ)的图像过程中,变换的顺序不同可能变换的量不相同,例如先变相位,再变周期,与先变周期。再变相位,相位变换的量不同,函数y=sin2x+π3的图像可由函数y=sinx的图像上所有点向左平π3,再将所得各点的横坐标缩短到原来的12;也可先将函数y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的12,再将所得各点向左平移π6。这一不同学生很难理解,学生很容易出错,也是经常考查内容。首先给学生说明对于y=Asin(ωx+ψ)中的ω、ψ均是针对x而言的,因此在变换的过程关键就看x变换了多少,其它因素暂时不考虑。可以借助多媒体课件讲解,能起到更好的效果。

3画函数y=Asin(ωx+ψ)的简图,主要还是先找出确定曲线形状时起关键作用的五个点。要强调一下:这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点;找出它们的方法是换元法,X=ωx+ψ设,由X取0,π2,π,32π,2π来确定对应x的值。在每道例题中讲图像变化的目的,在于揭示函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与正弦曲线的关系,而不是要求按图像变化规律来画图,这样可以借助函数y=sinx的性质研究函数y=Asin(ωx+ψ)的性质。

4由于函数y=Asin(ωx+ψ)的图像在物理和工程技术的很多问题中应用都很多,所以,在引入函数y=Asin(ωx+ψ)的图像时,就可以从物理中的一些实际问题出发,即结合了实际,又体现了学以致用的思想,特别是对A、ω、ψ物理意义的理解。比如可以举物体作简谐振动时位移s与时间t的关系。

函数y=Asin(ωx+ψ)的图像(第一课时)

教学具准备

直尺、投影仪。

教学目标

掌握由y=sinxy=Asinxy=Asinωx教学过程设置情境

函数y=Asin(ωx+ψ)(A、ω、ψ是常数)广泛应用于物理和工程技术上、例如,物体作简谐振动时,位移s与时间t的关系,交流电中电流强度i与时间t的关系等,都可用这类函数来表示。我们知道,图像是函数的最直观的模型,如何作出这类函数的图像呢?下面我们先从函数y=Asinx与y=sinx的简图的作法学起。(板书课题)-函数y=Asinx与y=sinx的图像。

探索研究

(可借助多媒体)

(1)函数y=Asinx与y=sinx的图像的联系例1画出函数y=2sinx及y=12sinx(x∈R)的简图。

解:函数y=2sinx及y=12sinx的周期均为2π,我们先作[0,2π]上的简图。

列表并描点作图(图1)

x0π2π3π22πsinx010-102sinx020-2012sinx0120-121

图1

利用这两个函数的周期性,我们可以把它们在[0,2π]上的简图向左、右分别扩展,从而得到它们的简图。

y=2sinx的图像与的y=sinx图像之间有何联系?请一位同学说出y=2sinx的值域和最值。

生:y=2sinx的图像可以看做是把y=sinx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的。y=2sinx,x∈R的值域是[-2,2],最大值是2,最小值是-2。

师:y=12sinx的图像与y=sinx的图像有何联系?并请你说出y=12sinx的值域和最值。

生:y=12sinx的图像可以看做是把y=sinx的图像上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍,(横坐标不变)而得到的,y=12sinx,x∈R的值域是-12,12,最大值是12,最小值是-12。

师:由例1中y=2sinx、,y=12sinx与y=sinx的图像的联系,我们来探求函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图像与y=sinx的图像之间的联系。

函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图像可以看做是把y=sinx的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到,这种变换称为振幅变换,它是由A的变化而引起的A,y=Asinx叫做函数的振幅。y=Asinx,x∈R的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A。

(2)函数y=sinωx与y=sinx的图像的联系例2作函数y=sin2x及y=sin12x的简图。

解:函数y=sinωx的周期T=sin2π2=π,因此,我们先来作x∈[0,π]时函数的简图。

x0π4π23π4π2x0π2π3π22πsin2x010-10

函数y=sin12x的周期,因此,T=sin2π12=π我们先作x∈[0,4π]时函数的简图。

x0π2π3π4π12x0π2π3π22πsin12x010-10

描点作图(图2)

图2

师:利用函数的周期性,我们可将上面的简图向左、右扩展,得出y=sin2x,x∈R及y=sin12x,x∈R的简图。

请同学们观察函数y=sin2x与y=sinx的图像间的联系及y=sin12x与y=sinx的图像间的联系。

生:在函数y=sin2x,x∈[0,π]的图像上,横坐标为x02(x0∈[0,π])的点的纵坐标同y=sinx上横坐标为x0的点的纵坐标相等,因此y=sin2x的图像可以看做是把y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)而得到的。

同样,y=sin12x的图像可以看做把y=sinx的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)而得到的。

师:由例2中,y=sin2x、y=sin12x与y=sinx的图像的联系,请你探求函数y=sinωx(ω>0且ω≠1)的图像与y=sinx之间在联系。

生:函数y=sinωx(ω>0且ω≠1)的图像,可以看做是把y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的。这种变换称为周期变换,它是由ω的变化而引起的,ω与周期T的关系为T=2πω。

演练反馈

1画出下列函数在长为一周期的闭区间上的简图(1)y=sin32x,x∈R(2)y=sin4x2函数y=sin32x,x∈R的周期是什么?它的图像与正弦曲线有什么联系。

3说明如何由y=sinxy=sin2x;由y=sinxy=sin12x。

【参考答案】

1

2周期是3π,把y=sinx的图像上每个点的横坐标伸长23倍(纵坐标不变)即得y=sin32x的图像。

3y=sinx的图像沿x轴方向压缩12得y=sin2x的图像(纵坐标不变);把y=sinx的图像上纵坐标缩短12倍(横坐标不变),即得y=sin12x的图像。

【总结提炼】

(1)用“五点法”作y=Asinx或y=sinωx的简图时,先要确定周期,再将周期四等份,找出五个关键点:0,π4,π2,3π4,π,然后再列表、描点、作光滑曲线连接五个点。

(2)y=Asinx的图像可以看做是把正弦曲线y=sinx图像经过振幅变换而得到。

(3)函数y=sinωx的图像可以看作是把y=sinx实施周期变换而得。

(4)作图时,要注意坐标轴刻度,x轴是实数轴,角一律用弧度制。

板书设计

1函数y=Asinx与y=sinx的图像联系例1联系2函数y=sinωx与y=sinx的图像的联系例2联系小结:演练反馈总结提炼函数y=Asin(ωx+ψ)的图像(第二课时)

教学具准备

直尺、投影仪。

教学目标

1掌握由y=sinxy=sin(x+ψ)的变化过程,理解由y=sinx到y=Asin(ωx+ψ)的变换步骤。

2利用平移、伸缩变换方法,作函数y=Asin(ωx+ψ)图像。

教学过程

设置情境

师:上节课,我们学习了如何由y=sinx的图像通过变换得到y=Asinx和y=sinωx的图像,请同学复述一下变换的具体过程。

生:将y=sinx的图像通过振幅变换便得到y=Asinx的图像将y=sinx的图像通过周期变换就得到y=sinωx的图像师:今天这节课,我们将继续学习如何由y=sinx的图像通过变换手段分别得到y=sin(x+ψ)及y=Asin(ωx+ψ)的图像,(板书课题:函数y=sin(x+ψ)和y=Asin(ωx+ψ)的图像)

探索研究

(1)如何由y=sinx的图像通过变换得到y=sin(x+ψ)的图像例1画出函数y=sinx+π3,x∈R,y=sinx-π4,x∈R的简图师:由上一节画余弦函数的图像可知,函数y=cosx=sinx+π2,x∈R的图像可以看做把正弦曲线上所有的点向左平行移动π2个单位长度而得到。

同学们能否用类比的方法由y=sinx的图像得到y=sinx+π3和y=sinx-π4的图像。

生:从y=sinx的图像向左平移π2个单位长度而得到y=sinx+π2,即y=cosx的图像得到启发,我们只要把正弦曲线上所有的点向左平行移动π3个单位长度,就可以得到y=sinx+π3的图像,如把正弦曲线上所有的点向右平移π4个单位长度,就可以得到y=sinx-π4的图像。

函数y=sinx,x∈[0,2π]

y=sinx+π3,x∈-π3,5π3

y=sinx-π4,x∈π4,9π4

在一个周期内的图像如图1所示:(用叠放投影胶片,依次叠放三个函数图像)

师:我们已经学过并且知道y=f(x)与y=f(x±a)图像是一种左、右平移关系,从例1中你能得到y=sin(x+ψ)与y=sinx的图像之间的联系吗?

生:函数y=sin(x+ψ),x∈R(其中φ≠0)的图像可以看做把y=sinx的图像上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动φ个单位长度而得到的,这种变换叫做平移变换。

(2)如何由y=sinx的图像通过变换得到y=Asin(ωx+ψ)的图像例2画出函数y=3sin2x+π3,x∈R的简图。

解:函数y=3sin2x+π3的周期T=2π2=π,我们先画出它的长度为一个周期的闭区间上的简图。

x-π6π12π37π125π62x+π30π2π3π22π3sin2x+π3030-30

描点,连线得图2

图2

利用函数的周期性,我们可以把它在-π6,5π6上的简图向左、右分别扩展,从而得到它的简图。(用依次叠放投影片的方法投影展示上图)