书城教材教辅新课程师资培训教程-高中数学优秀课例
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第20章 函数y=Asin(ωχ+φ)的图像(3)

D.2kπ,2kπ+π6(k∈Z)

12函数f(x)=Msin(ωx+ψ)(ω>0)在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(ωx+ψ)在[a,b]上A.是增函数B.是减函数

C.可以取得最大值MD.可以取得最小值-M二、填空题13正弦函数f(x)=Asin(ωx+ψ)+k的定义域为R,周期为23π,初相为π6,值域为[-1,3],则f(x)=。

14函数y=12sin2x-π3,当x=时,取最小值。

15将函数y=sinx的图像上各点向右平移π6个单位,再把横坐标缩小到原来的一半,然后把纵坐标伸长到原来的5倍,最后把整个图像向下平移4个单位,则所得图像的解析式为。

16关于函数f(x)=4sin2x+π3(x∈Z),有下列命题①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍;②y=f(x)的表达式可改写成y=cos2x-π6;③y=f(x)的图像关于点-π6,0对称;④y=f(x)的图像关于直线x=-π6对称。

其中正确命题的序号为。

三、解答题

17求函数y=12sinπ4-23x的单调区间。

18已知函数y=Asin(ωx+ψ)+k(A>0,ω>0,|ω|<π)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为π2,其图像的一条对称轴为x=π3。求该函数的解析式。

19如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+ψ)+b。

(1)求这段时间的最大温差;

(2)写出这段曲线的函数解析式。

20已知函数y=3sin2x-3cos2x。

(1)用“五点法”作函数图像;

(2)说出此图像与正弦曲线y=sinx之间的关系;(3)求函数的周期、振幅、初相;(4)指出函数的单调区间。

21受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐。在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋。某港口水的深度y(米)是时间t(0<t<24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据:t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

经长期观察,y=f(t)曲线可以近似地看做函数y=Asinωt+k的图像。

(1)根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似表达式。

(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米。如果该船想在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?

【参考答案】

一、选择题

1C 2B 3D 5D 6A 7D 8B 9A 10A 11C 12C二、填空题132sin3x+23x+1

14kπ-π12(k∈Z)

15y=5sin2x-π6x-4

16②、③

三、解答题

17它的减区间即函数。y=12sin23x-π4x的增区间,由2kπ-π2≤23x-π4≤2kπ+π2,得3kπ-38π≤x≤3kπ+98π(k∈Z),即减区间为3kπ+38π,3kπ+98π(k∈Z),同样可求增区间为3kπ+98π,3kπ+218π(k∈Z)。

18由题意A+k=4,-A+k=0,∴A=2,k=2

又T=2πω=π2,∴ω=4,

∴y=2sin24x+ω+2

∵x=π3是它的一条对称轴,∴sin=43π+ω=±1,∴43π+ω=kπ+π2(k∈Z)

从而ω=kπ-56π(k∈Z)

∵|ω|<π,∴ω=π6或ω=-56π故该函数的解析式为y=2sin4x+π6x+2,y=2sin4x-56π+2

19(1)由题中图所示,这段时间的最大温差是30-10=20(℃)

(2)图中从6时到14时的图像是函数y=Asin(ωx+ψ)+b的半个周期的图像,∴12×2πω=14-6,解得ω=π8。

由图示,A=12(30-10)=10,b=12(30+10)=20

这时y=10sinπ8x+ψ+20将x=6,y=10代入上式,可得ψ=3π4

综上,所求解析式为y=10sinπ8x+3π4+20,x∈[6,14]。

20y=3sin2x-3cos2x=3(sin2x-3cos2x)=23sin2x-π3,(1)由2x-π3=0、π2、π、32π、2π求出x=π6、5π12、2π3、11π12、7π6。(可以看到0、π2、π、32π、2π间隔π2、π6、312π、23π、1112π、76π间隔π4,所以不需要解五个方程分别求x。)

xπ65π122π31112π76π2x-π30π2π32π2πy0230-230

在同一坐标系中,作出π6,0、512π,23、23π,0、1112π,-23、76π,0五个点,并用光滑曲线连接起来。

(2)∵y=23sin2x-π3,

∴首先将y=sinx,x∈R的图像所有点向右平移π3个单位;再把所得的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变);最后把所得的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的23倍(横坐标不变),从而得到y=232x-π3,x∈R的图像,这就是此函数的图像与正弦曲线之间的关系。

(3)周期T=76π-π6=π(也可以依据公式T=2πω,ω=2来求);振幅A=23;依定义ωx+ψ叫相位,x=0时的ψ叫做初相,所以初相应该是-π3。

(4)由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z。

由2kπ+π2≤2x-π3≤2kπ+3π2,k∈Z得kπ+5π12≤x≤kπ+1112π,k∈Z。

∴原函数单调增区间为kπ-π12,kπ+5π12,k∈Z;单调减区间为kπ+5π12,kπ+1112π,k∈Z。

21(1)由数据知函数f(t)的周期T=12,振幅A=3,k=10,y=3sinπ6t+10。

(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米。

3sinπ6t+10≥11.5,sinπ6t≥12,2kπ+π6≤π6t≤2kπ+5π6,(k∈Z)

12k+1≤t≤12k+5(k∈Z)。

在同一天内,取k=0或1,1≤t≤5或13≤t≤17,∴该船最早能在凌晨1时进港,下午17时出港,在港口最多停留16小时。