书城教材教辅新课程师资培训教程-高中数学优秀课例
17684500000003

第3章 弧度制(1)

弧度制

【教学目标】

1.使学生理解弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度数;2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系;3.掌握弧度制下的弧长公式,会利用弧度解决某些简单的实际问题;4.在理解弧度制定义的基础上,领会弧度制定义的合理性;5.通过学习,理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辩证统一的。

【教学建议】

关于弧度制的知识结构

弧度制弧度与角度的换算方法简单应用

关于弧度制的重点、难点分析

重点是理解弧度的意义,能正确地进行角度制与弧度制的换算;难点是弧度制的概念与角度的关系。

(1)要弄清弧度的意义。弧度制与角度制一样,只是度量角的一种方法,但由于学生有先入为主的想法,所以学起来有一定的困难,首先必须清楚弧度的概念,它与所在圆的半径大小无关。其次弧度制与角度制相比有一定的优点,一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制,而弧度制却是十进制,其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单:l=|a|·rS=12l·r=12|a|·r2

(2)两种制度的转换。利用它们的意义在弧度制下圆周角为2πrad,而角度制下圆周角为360°,所以2πrad=360°,进而得到1°=π180rad≈0.01745rad。

1rad=180π°≈57.3°=57°18′关于弧度制的教法建议(1)建议教学用实例来讲述1弧度的含义,这样便于学生对概念的理解;(2)建议在教学时,通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法是否具有优越性;(3)关于弧度与角度二者的换算,教学时应抓住:360°=2π弧度180°=π弧度这个关键,来引导学生;

(4)教学应注意强调在同一式中,所采用的单位必须一致;(5)通过例3的教学,应让学生知道,无论是利用角度制还是弧度制,都能在已知弧长和半径的情况下推出扇形面积公式,但利用弧度制来推导要简单中些。

【教学设计示例】

弧度制

教学目标

1明确引入弧度制的必要性,理解新单位制意义。

2熟练掌握角度制与弧度制的换算。

教学重点

理解弧度制引入的必要性,掌握定义,能熟练地进行角度制与弧度制的互化。

教学难点

弧度制定义的理解。

教学过程

设置情境

在角度制下,当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时,由于运算进率非十进制,总给我们带来不少困难。那么我们能否重新选择角单位,使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢?本节课就来尝试选择这种新单位。

探索研究

(1)复习角度制

我们在平面几何中研究角的度量,当时是用度做单位来度量角,1°的角是如何定义的?

规定把周角的1360作为1度的角。

我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制,在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制,它是如何定义呢?

(2)弧度制定义

我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,如图1,弧AB的长等于半径r,AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角,弧度制的单位符号是rad,读作弧度。

图1

∠AOB的弧度数=lr=rr=1.∠AOC的弧度数=lr=2rr=2

图2

提问:若弧是一个半圆,则其圆心角的弧度数是多少?若弧是一个整圆呢?

因为半圆的弧长l=πr,其圆心角的弧度数是lr=πrr=π,同理,若弧是一个整圆,其圆心角的弧度数是lr=2πrr=2π。

在0°到360°的角的弧度数x=lr必然适合不等式0≤x<2π,角的概念推广后,弧的概念也随之推广,任一正角的弧度数都是一个正数。如果圆心角表示一个负角,且它以所对的弧长l=4πr,则这个圆心角的弧度数是-lr=-4πrr=-4π,由此我们给出弧度制的定义:一般地,可以得到:正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0;角a的弧度数的绝对值|a|=lr,其中l是以角a作为圆心角时所对的弧长,r是圆的半径,这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制。

提问:为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢?即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢?

如图2,设∠a为n°(n>0)的角,圆弧MN和M1N1的长分别为l和l1,点M和M1到点O的距离(即圆半径)分别为r(r>0)和r1(r1>0),由初中学过的弧长公式可得:l=nπ180r,l1=nπ180r1,于是lr=l1r1=nπ180。上式表明,以角a为圆心角所对的弧长与其半径的比值,由∠a的大小来确定,与所取的半径大小无关,仅与角的大小有关。

因|a|=lr,可以得到l=|a|r,那么弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积,这个公式比采用角度制时相应公式l=nπr180要简单。

(3)角度制与弧度制的换算

用“弧度”与“度”去度量每一个角时,除了零角以外,所得到的量数都是不同的,但它们既然是度量同一个角的结果,二者就可以相互换算。我们已经知道若弧是一个整圆,它的圆心角是周角,其弧度数是2π,而在角度制里它是360°,因此360°=2πrad,两边除以2

∴180°=πrad等式两边同除以180

即1°=π180rad≈0.1745rad同理,把弧度换成角度。

2πrad=360°

πrad=180°

1rad=180π°≈57.30°=57°18′例1把67°30′化成弧度。

解:∵67°30′=-6712°

∴67°30′=π180rad×6712=38πrad例2把45πrad化成度。

解:45πrad=45×180°=144°同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住180°=π弧度这个关键。

下面请大家写出一些特殊角的弧度数。

角度0°30°60°120°135°270°弧度π4π25π6π2π按从左至右顺序其答案是:0、π6、45°、π3、90°、2π3、3π4、150°、180°、3π2、360°。今后我们用弧度制表示角的时候,“弧度”二字或“rad”通常省略不写,而只写相应的弧度数。例如:角a=3就表示a是3rad的角,cosπ6就表示π6rad的角的余弦,即cosπ6=cos30°=32

(4)角度制与弧度制的比较

引进弧度制后,我们应将它与角度制进行比较,同学们应明确:①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制是以“度”为单位度量角的制度;②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小,而1°是圆的360°所对的圆心角(或该弧)的大小;③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值。

图3