书城教材教辅新课程师资培训教程-高中数学优秀课例
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第5章 任意角的三角函数(1)

任意角的三角函数

【教学目标】

(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;(2)了解余切、正割、余割的定义;掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号;(3)掌握公式一,会运用它们把求任意角的正弦、余弦、正切函数值分别转化为求0°到360°的这三种三角函数值;(4)通过树立映射的观点,建立正确理解三角函数是以实数为自变量的函数的能力;(5)体会同一角的三角函数值,不因在其终边上取点的变化而变化,从而启示在研究问题时,要能在千变万化中,抓住事物的本质属性,不被表面现象所迷惑。

【教学建议】

重点、难点分析

重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义及在各象限内的符号和定义域,诱导公式一;难点是用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值。

(1)定义中的六个比值yr,xr……,等,与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角的大小有关;它们都可以看作以角为自变量,以比值为函数值的函数,分别称为正弦函数,余弦函数等。

(2)三角函数在各象限内的符号,是根据三角函数的定义,终边上的点的坐标符号来确定的,十分重要,在今后的学习中经常用到。

(3)定义域也是根据三角函数的定义,要求其有意义,即分母不为0而得到角的取值范围。

(4)诱导公式(一)也是利用任意三角函数的定义,结合终边相同的角定义得出,即终边相同的角的同名三角函数值相等:f(k·360°+α)=f(α)。

(5)三角函数线是表示一个角三角函数值的几何方法,它们的大小即长度等于α的三角函数值的符号。特别注意的是它们均有方向,即起点和终点,记法:当两个端点都在x轴上时,以原点为起点(余弦线),当两个端点有一个在轴上时,以轴上的点为起点(正弦线、余弦线),特别是正弦线和正切线在后面三角函数的图像中,用来作出正弦曲线和正切曲线,所以必须清楚其意义。

关于任意角的三角函数的教法建议

(1)由三角函数的定义可知,若已知角α终边上一点,便可求出其各三角函数值,或通过三角函数定义,可知其二求其一。

三角函数的符号与角所在象限有关,采用上图来记忆。

(2)必须讲清并强调yr,xr

,yx,xy,rx

,ry这六个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关,只与角的大小有关,即它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数。

(3)教学中应注意,语言要准确严密。首先“六种函数统称为三角函数”这句话,说明不是这六种函数的函数,都不能说是三角函数。

(4)教学中,应当引导学生深刻认识三角函数符号的含义。如,sina这个符号,它表示yr,即角a的正弦,不能把sina看成sin与a的乘积,犹如f(x)不能看成f与(x)的乘积一样,离开了自变量a,符号sin就没有意义了。同时也应注意,每个函数记号的第一个字母“S”或“C”或“t”都不能大写,不能让学生养成写“Sina”、“Cosa”等习惯。

【教学设计示例】

任意角的三角函数

教学目标

1通过对初中锐角三角函数定义的回忆,掌握任意角三角函数的定义法,并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值。

2掌握已知角a终边上一点坐标,求四个三角函数值。(即给角求值问题)

教学重点

任意角的三角函数的定义。

教学难点

任意角的三角函数的定义,正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示。

教学用具

直尺、圆规、投影仪。

教学步骤

设置情境

角的范围已经推广,那么对任一角a是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢?本节课就来讨论这一问题。

探索研究

(1)复习回忆锐角三角函数

我们已经学习过锐角三角函数,知道它们都是以锐角a为自变量,以比值为函数值,定义了角a的正弦、余弦、正切、余切的三角函数,本节课我们研究当角a是一个任意角时,其三角函数的定义及其几何表示。

(2)任意角的三角函数定义

如图1,设a是任意角,a的终边上任意一点P的坐标是(x,y)当角a在第一、二、三、四象限时的情形,它与原点的距离为r,则r=|x|2+|y|2=x2+y2>0。

定义:①比值yr叫做a的正弦,记作sina,即sina=yr。

②比值xr叫做a的余弦,记作cosa,即cosa=xr。

图1

③比值yx叫做a的正切,记作tana,即tana=yx。

同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件提问:对于确定的角a,这三个比值的大小和P点在角a的终边上的位置是否有关呢?

利用三角形相似的知识,可以得出对于角a,这三个比值的大小与P点在角a的终边上的位置无关,只与角a的大小有关。

请同学们观察当a=π2+kπ(k∈Z)时,a的终边在y轴上,此时终边上任一点P的横坐标x都等于0,所以tana=yx无意义,除此之外,对于确定的角a,上面三个比值都是惟一确定的。把上面定义中三个比的前项、后项交换,那么得到另外三个定义。

④比值xy叫做a的余切,记作ctga,则ctga=xy。

⑤比值rx叫做a的正割,记作seca,则seca=rx。

⑥比值ry叫做a的余割,记作csca,

则csca=ry。

图2

可以看出:当a=kπ(k∈Z)时,a的终边在x轴上,这时P的纵坐标y都等于0,所以ctga=xy与csca=ry的值不存在,当a=π2+kπ(k∈Z)时,seca=rx的值不存在,除此之外,对于确定的角a,比值xy,rx,ry分别是一个确定的实数,所以我们把正弦、余弦,正切、余切,正割及余割都看成是以角为自变量,以比值为函数值的函数,以上六种函数统称三角函数。

(3)三角函数是以实数为自变量的函数

对于确定的角a,如图2所示,sina,cosa,tana分别对应的比值各是一个确定的实数,因此,正弦,余弦,正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,当采用弧度制来度量角时,每一个确定的角有惟一确定的弧度数,这是一个实数,所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量,以比值为函数值的函数。

即:实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)

(4)三角函数的一种几何表示

利用单位圆有关的有向线段,作出正弦线,余弦线,正切线,如下图3。

图3

设任意角a的顶点在原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y)过P作x轴的垂线,垂足为M;过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与角a的终边(当a为第一、四象限时)或其反向延长线(当a为第二、三象限时)相交于T,当角a的终边不在坐标轴上时,我们把OM,MP都看成带有方向的线段,这种带方向的线段叫有向线段。由正弦、余弦、正切函数的定义有:sina=yr=y1=y=MPcosa=xr=x1=x=OM

tana=yx=MPOM=ATOA=AT这几条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT叫做角a的正弦线、余弦线、正切线。当角a的终边在x轴上时,正弦线、正切线分别变成一个点;当角a的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在。

图4

(5)例题讲评

例1已知角a的终边经过P(-2,-3)求a的六个三角函数值(如图4)。

解:∵x=-2y=-3

∴r=(-2)2+(-3)2=13

sina=yr=-313

=-31313

cosa=xr=-213=-21313

tana=yx=-3-2=32

ctga=xy=-2-3=23

seca=rx=13-2=-132

csca=ry=13-3=-133

提问:若将P(-2,-3)改为P(-2a,-3a)(a≠0)如何求a的六个三角函数值呢?(分a>0,a<0,两种情形讨论)

例2求下列各角的六个三角函数值

(1)π;(2)3π2;(3)2π。