书城教材教辅新课程师资培训教程-高中数学优秀课例
17684500000008

第8章 正弦、余弦的诱导公式(1)

正弦、余弦的诱导公式

【教学目标】

(1)理解诱导公式的推导方法,掌握正弦、余弦的诱导公式;(2)能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦值,以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明;(3)通过对公式的运用,提高三角恒等变形的能力和渗透化归数学思想,提高分析问题、解决问题的能力;(4)通过诱导公式的学习和应用,感受事物之间的普通联系规律,运用化归原理,揭示事物的本质属性,培养学生的唯物史观。

【教学建议】

余弦的诱导公式的知识结构

单位圆和三角函数的定义

正弦、余弦的四组诱导公式(公式二、三、四、五)任意角的正弦、余弦值分别转化为锐角的正弦、余弦值关于正弦、余弦的诱导公式的重点、难点分析重点是四组诱导公式和诱导公式一的综合运用;难点是运用诱导公式求三角函数值,化简或证明三角函数式。

公式的推导过程主要利用了单位圆和三角函数的定义。在应用过程中,首先将负角或大于360°的角利用公式一化为0°~360°之间,若设定α为一锐角。则:90°<θ<180°θ=180°-α180°<θ<270°θ=180°+α

270°<θ<360°θ=360°-α

若-90°<θ<0°,则θ=-α。

当然,角实际上对任意的角均适用,但求值时最多的是使为锐角的情况。

关于正弦、余弦的诱导公式的教法建议

(1)诱导公式的记忆。对教材中的五组同名三角函数的公式:180°±α与α,360°±α与α,-α与α的同名三角函数可用“函数名不变,符号看象限”来概括记忆。同时,也可根据情况,补充另外四组90°±α与α,270°±α与α的三角函数公式。总之,九组诱导公式给出了k·90°±α(k=1,2,3,4)与α的三角函数之间的关系,可用口诀“奇变偶不变,符号看象限”来记忆。其中“奇偶”是指k取1,2,3,4中的奇数与偶数时,“看”是一方面将α看成锐角时,k·90°±α所在象限,另一方面是看公式左端函数的符号,其中α可以是任意角,只不过为了记忆的方便,将α看做锐角。

(2)关于化归的一般步骤,教材中列举了一个方框图,教学时可依据方框图的顺序补充一个例题加以具体说明。

如,求sin(-945°)的值。则有sin(-945°)=-sin945°=-sin(2×360°+225°)。=

-sin225°=-sin(180°+45°)=-(-sin45°)=sin45°=22。

(3)教材中的五组诱导公式里的角,正文中均是用角度表示的,在教学中,可引导学生用弧度表示诱导公式中的角,以适应不同角度量制下诱导公式的运用。

【教学设计示例】

正弦、余弦的诱导公式

教学目标

1掌握诱导公式及其推演时过程。

2会应用诱导公式,进行简单的求值或化简。

教学重点

理解并掌握诱导公式。

教学难点

运用诱导公式求三角函数值,化简或证明三角函数式。

教学用具

三角板、圆规、投影仪。

教学过程

设置情境

我们已经学过了诱导公式一:sin(α+k·360°)=sinα,cos(α+k·360°)=cosα,tan(α+k·360°)=tanα,(k∈Z),有了它就可以把任意角的三角函数求值问题,转化为0°~360°间角的三角函数值问题。那么能否再把0°~360°间的角的三角函数求值,继续化为我们熟悉的0°~90°间的角的三角函数求值问题呢?如果能的话,那么任意角的三角函数求值,都可以化归为锐角三角函数求值,并通过查表方法而得到最终解决,本课就来讨论这一问题。

探索研究

(1)出示下列投影内容

设0°≤α≤90°,对于任意一个0°到360°的角β,以下四种情形中有且仅有一种成立。

β=α,当β∈[0°,90°]

180°-α,当β∈[90°,180]

180°+α,当β∈[180°,270°]360°-α,当β∈[270°,360°]首先讨论180°+α,其次讨论-α,180°-α以及360°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系,为了使讨论更具一般性,这里假定α为任意角。

图1

(2)学习诱导公式二、三的推导过程。

已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),请同学们思考回答点P关于x轴、y轴、原点对称的三个点的坐标间的关系。

点P(x,y)关于x轴对称点P1(x,-y),关于y轴对称点P2(-x,y),关于原点对称点P3(-x,-y)(可利用演示课件)。

图1由于a角的终边与单位圆交于P(x,y),则180°+a的终边就是角a终边的反向延长线,角180°+a的终边与单位圆的交点为P′,则P′是与P关于O对称的点。所以P′(-x,-y),又因单位圆半径r=1,由正弦函数、余弦函数定义,可得sinα=yr=ycosa=xr=x

sin(180°+α)=-yr=-y

cos(180°+α)=-xr=-x

于是得到一组公式(公式二)

sin(180°+α)=-sinα

cos(180°+α)=-cosa

图2(也可利用演示课件)

我们再来研究角α与-α的三角函数值之间的关系,如图2,利用单位圆作出任意角α与单位圆相交于点P(x,y),角-α的终边与单位圆相交于点P′,这两个角的终边关于x轴对称,所以P′(x,-y)

∵r=1

∴sin(-α)=-y=-sina

cos(-α)=x=cosa

于是又得到一组公式(公式三)

sin(-α)=-sina

cos(-α)=cosa

例1求下列三角函数值:

(1)sin225°(2)cos(-1290°);(3)sin-1110π;(4)cos(-240°12′)。

解:(1)sin225°=sin(180°+45°)

=-sin45°=-22

(2)cos(-1290°)=cos1290°=cos(3×360°+210°)

=cos210°=cos(180°+30°)

=-cos30°=-32

(3)sin-1110π=-sin1110π=-sinπ+110π=sin110π=sin18°=0.3090

(4)cos(-240°12′)=cos240°12′=cos(180°+60°12′)

=-cos60°12′=-0.4970

例2化简:cos(180°+α)·sin(α+360°)sin(-a-180°)·cos(-180°-a)

解:∵sin(-a-180°)=sin[-(180°+a)]=-sin(180°+a)

=-(-sina)=sina

cos(-180°-a)=cos[-(-180°+a)]=cos(180°+a)

=-cosa