你知道棋盘上能放多少颗麦粒吗
在印度舍罕王时代，舍罕王发出一道命令：谁能发明一件让人娱乐，又在娱乐中使人增长知识，使人头脑变得更加聪明的东西，本王就让他终身为官，并且皇宫中的贵重物品任其挑选。这下，印度国内热闹起来了，全国上下的能工巧匠们挖空心思，发明创造了一件又一件的东西，它们被络绎不绝地送到舍罕王的面前，但是没有一件能够让国王满意。
“消失”的宰相
这天，风和日丽，舍罕王闲着无聊，就准备和大臣们到格拉察湖去钓鱼。舍罕国王忽然发现人群中少了一个人，那是宰相西萨？班？达依尔。他就问：“宰相干什么去了？”
有人回答说：“宰相大人因为宫中有一件事没处理好，正在那里琢磨呢。”
于是，舍罕国王没有追问下去，和大臣们来到了湖边。
春日暖暖，垂柳依依。一阵微风吹来，湖面泛起阵阵涟漪，在阳光的照射下，闪烁出钻石般的光芒。不时有鱼儿跃出水面，银光闪闪。
面对此般美景，舍罕国王心旷神怡，龙心大悦。这时，有人来报：宰相达依尔飞马来到。
心情极佳的舍罕王忙传宰相进见。
达依尔匆匆下马，来到舍罕王的面前禀道：“陛下，为臣在家中琢磨了许多天，终于发明了象棋，不知大王满意否？”
舍罕王一听此言，连忙说道：“什么象棋，赶快拿来看看。”
宰相的小小要求
宰相达依尔有着超人的智慧和聪明的头脑，尤其喜爱发明创造以及严密的数学推理。他发明的象棋是国际象棋，整个棋盘是由64个小方格组成的正方形。
国际象棋共32个棋子，每方各16个，它包括王一枚、王后一枚、仕两枚、马两枚、车两枚、卒八枚。双方的棋子在格内移动，以消灭对方的王为胜。
听了宰相的介绍后，国王高兴极了，连忙招呼其他大臣与他对弈，一时间，马腾蹄、卒拱动、车急驰，不一会儿，舍罕王大胜。
心情极佳的舍罕王于是打算重赏自己的宰相，赏官吧，除自己外，宰相已是最高级别，不能再赏了，再赏只好自己让位了，只有赏财物。他向宰相说：“爱卿，官是不能赏的了，你想要些什么宝贝呢？”
宰相“扑通”跪在国王面前说：“陛下，为臣别无他求，只请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给二粒，第三格内给四粒，第四格内给八粒。总之，每一格内都比前一格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒都赏给我，我就心满意足了。”
填不满的棋盘
国王说了话，正有些后悔，要是宰相开口要自己也喜欢的宝贝就糟了，没想到宰相的胃口并不大，于是国王忙不迭地应允了：“爱卿，你所求并不多啊，你当然会如愿以偿的。”
国王心里为自己对这样一件奇妙的发明所许下的慷慨赏诺不致破费太多而暗喜，便令人把一袋麦子拿到宝座前。
计数麦粒的工作开始。第一格放一粒，第二格两粒……还不到第20格，袋子已经空了。接着一袋又一袋的麦子搬了进来，又空袋出去。很快，京城里的全部小麦都摆完了，棋盘还没摆满。但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，开始是人扛，后来是马车拉，再后来，干脆一个粮库也填不满一个小格。很快就可以看出，即便拿来全印度的粮食，国王也兑现不了他对宰相许下的诺言。
聪明反被聪明误
上面这个例子实际上是一个等比数列。让我们来算一算这位宰相要多少麦粒：
1＋2＋4＋8＋……＋263
=18446711073709551615（粒）
这个数字不像宇宙间的原子总数那样大，但也够可观的了。1公斤小麦约有18万粒，照这个数，那就得给宰相拿来100万亿公斤才行。
这位宰相所要求的，竟是全世界在2000年内所生产的全部小麦！这样一来，舍罕王觉得自己金言一出，又不能兑现，怎么办？一大臣献计，找个原因杀他的头。宰相西萨·班·达依尔的头就这样被献上数学的祭坛。看来，有时候聪明反被聪明误。不过，这也反映了古印度数学的发达。
鸡兔同笼问题的解法
《镜花缘》是我国的著名小说，是清代学者李汝珍所著。在这本书里，李汝珍写了100个才女，她们多才多艺，有的精通琴棋书画，有的擅长医学星相，有的专于音韵算法……
其中有一位精通算学的才女“矶花仙子”，名叫米兰芬，书中描绘了她计算灯数的故事。
米兰芬算灯
宗伯府的女主人卞宝云邀请才女们到府中的小鳌山楼上观灯。楼上楼下彩灯流光溢彩，绚丽多姿。灯上装饰着五彩缤纷的灯球，犹如繁星点点，难断其数。卞宝云请才女米兰芬算一算楼上楼下灯的盏数。她告诉米兰芬，楼上灯形状有两种：一种灯是上面3个大球，下缀6个小球；一种灯是上面3个大球下面18个小球。楼下的灯也有两种，一种是1个大球缀2个小球，一种是1个大球缀4个小球。知道楼上有大灯球396个，小灯球1440个，楼下有大灯球360个，小灯球1200个。问楼上楼下的四种灯各有多少盏？
米兰芬说：“以楼下论，将小灯球数折半，得600，减去大灯球数360，可知缀4个小灯球的灯数为240，用360减240得120，可知缀2个小灯球的灯数为120。此用‘鸡兔同笼’之法。”用同样的方法算楼上灯数：“以1440折半，得720，720－396=324，324÷6＝54。得缀18个小灯球的灯数为54。用396－54×3＝234，234÷3＝78。即得缀6个小灯球的灯数为78。”
《孙子算经》里的数学题
米兰芬“噼里啪啦”这么一算，是不是把你给搞糊涂了？她所说的是什么样的算法？
在我国唐代曾流行一部算书《孙子算经》，这本书里记载了这样一则有趣题目：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各多少？”
简单点来说，就是说一个笼子里关有鸡和兔，数头呢有35个，数脚呢是94只，问鸡和兔各有多少只？
如果我们现在来做，多半是使用二元一次方程。而孙子的算法却妙不可言。他设想鸡兔的脚统统减小一半，鸡变成“金鸡独立”，兔变成后两条腿站着，来个高难度的“恭喜发财”。这样一来，那么现在笼子里的脚就变成94除2得47了。假设笼子里全是鸡，这时数鸡时，每只鸡都是一头一脚（另一脚缩起来了），所以35只鸡应该有35只脚，现有47只脚，多出了12只，这多出的脚是哪来的呢？原来每只兔子都要多数1只脚，这多出的12只脚自然就是12只兔子的了。这样一来，用35减去12，得出的23就是鸡的数目。
鸡兔同笼问题的解法
你能理解米兰芬的算法了吗！比如说楼下的灯，1个大球下缀2个小球，就相当于“一只鸡有两只脚”；1个大球下缀4个小球就相当于“一只兔有四只脚”。所以，用“鸡兔同笼”之法就算清楚了。下面再教给你一个口诀：鸡有两只脚，兔有四只脚。
先数头和身，再按鸡分脚。
能指挥数字的人
诺伯特·维纳不仅是20世纪著名的数学家，而且是信息论的先驱和控制论的奠基人，对现代计算、通讯、自动化技术、分子和生物等前沿学科都有着极为广泛的影响。
18岁的科学博士
维纳是当之无愧的神童。从小就智力超常，据其自传《昔日神童》记述，他3岁时就能读写，7岁时就能阅读和理解但丁与达尔文的著作，14岁时就大学毕业了。过了几年，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士。
独具特色的回答
在隆重的博士学位的授予仪式上，执行主席看到维纳一脸稚气，不由十分惊讶，好奇地询问：“阁下今年多少岁？”维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，而岁数的四次方是个六位数，把这两个数合起来看，它们正好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了。而且既不重复，也没有漏掉哪位数。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”
维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他出的这道妙题深深地吸引住了。整个会场上的人，都在议论他的年龄问题。
简单的回答，复杂的解法
这个问题有趣，不难，但要解答它倒真需要一些数字的“灵感”。
从两位数的立方来看，21的立方等于9261，是个四位数，符合维纳的第一个要求，而22的立方等于10648，已经是五位数了，比22更大的数，其立方只会更大，肯定不符合要求，所以维纳的年龄肯定小于22岁。再来看第二个条件，这个数字的四次方是个六位数，通过计算，17的四次方等于83521，是个五位数，比17小的数字也不符合要求，而18的四次方是一个六位数，符合第二个条件。
因此，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个。
我们来看第三个条件：把这两个数合起来看，它们正好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了。而且既不重复，也没有漏掉哪位数。
剩下的工作就是“一一筛选”了。20的立方是8000，有3个重复数字0，不合题意。19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都有数字重复，不合题意，所以这些数应该被“开除”出去。于是，最后只剩下一个数字18，它是不是正确答案呢？
谜题大揭底
你看，18的立方等于5832，四次方等于104976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合！请看，从0到9，十个数字是不是都服服帖帖地向维纳朝拜呢？维纳说的话可一点也不假。