我国在先秦产生了无穷小分割的若干命题。随着人们认识水平的逐步提高,至南北朝时期,无穷小分割思想已经基本成熟,并被数学家刘徽运用到数学证明中。
我国古代的无穷小分割思想不仅是我国古典数学成就之一,而且包含着深刻的哲学道理,在人们发现、分析和解决实际问题的过程中,发挥了积极作用。
刘徽在人类历史上首次将无穷小分割引入数学证明,是古代无穷小分割思想在数学中最精彩的体现。
相传很久以前,黄河里有一位河神,人们叫他河伯。河伯站在黄河岸上。望着滚滚的浪涛由西而来,又奔腾跳跃向东流去,兴奋地说:“黄河真大呀,世上没有哪条河能和它相比。我就是最大的水神啊!”
有人告诉他:“你的话不对,在黄河的东面有个地方叫渤海,那才真叫大呢!”河伯说:“我就不信,渤海再大,它能大得过黄河吗?”那人说:“别说一条黄河,就是几条黄河的水流进渤海,也装不满它。”河伯固执地说:“我没见过渤海,我不信。”那人无可奈何,告诉他:“有机会你去看看渤海,就明白我的话了。”秋天到了,连日的暴雨使大大小小的河流都注入黄河,黄河的河面更加宽阔了,隔河望去,对岸的牛马都分不清。这一下,河伯更得意了,以为天下最壮观的景色都在自己这里,他在自得之余,想起了有人跟他提起的渤海,于是决定去那里看看。
河伯顺着流水往东走,到了渤海,脸朝东望去,看不到水边。只见大海烟波浩渺,直接天际,不由得内心受到极大震撼。
河伯早已收起了欣喜的脸色,望着海洋,对着渤海叹息道:“如今我看见您的广阔无边,我如果不是来到您的家门前,那就危险了,因为我将永远被明白大道理的人所讥笑。”
渤海神闻听河伯这样说,知道他提高了认识,就打算解答他的一些疑问。
其中有一段是这样的。
河伯问:“世间议论的人们总是说:‘最细小的东西没有形体可寻,最巨大的东西不可限定范围’。这样的话是真实可信的吗?”
渤海神回答:“从细小的角度看庞大的东西不可能全面,从巨大的角度看细小的东西不可能真切。精细,是小中之小;庞大,是大中之大。大小虽不同却各有各的合宜之处,这是事物固有的态势。”
“所谓精细与粗大,仅限于有形的东西,至于没有形体的事物,是不能用计算数量的办法来分的;而不可限定范围的东西,更不是用数量能够精确计算的。”
上述故事选自被称为“天下第一奇书”的《庄子》的《秋水》篇,这篇文章是人们公认的《庄子》书中第一段文字。因为此篇最得庄周汪洋恣肆而行云流水之妙。
其实,这段对话中说的至精无形、无形不能分的思想,可以看作是作者借河神和海神的对话,阐述了当时的无穷小分割思想。
早在我国先秦时期、西周时期数学家的商高也曾与周公讨论过圆与方的关系。在《周髀算经》中,商高回答周公旦的问话中说得一清二楚。
圆既然出于方,为什么圆又归不了方呢?是世人没有弄清“圆出于方”的原理,而错误地定出了圆周率而造成的。
商高“方圆之法”,即求圆于方的方法,渗透着辩证思维。“万物周事而圆方用焉”,意思是说,要认识世界可用圆方之法;“大匠造制而规矩设焉”,意思是说,生产者要制造物品必然用规矩。
可见“圆方”包容着对现实天地的空间形式和数量关系的认识,而“数之法出于圆方”,就是在说数学研究对象就是“圆方”,即天地,数学方法来之于“圆方”。亦即数学方法源于对自然界的认识。
“毁方而为圆,破圆而为方”,意思是说,圆与方这对矛盾,通过“毁”与“破”是可以互相转化的。认为“方中有圆”或“圆中有方”,就是在说“圆”与“方”是对立的统一体。
这就是商高的“圆方说”。它强调了数学思维要灵活应用,从而揭示出人的智力、人的数学思维在学习数学中的作用。认识了圆,人们也就开始了有关于圆的种种计算,特别是计算圆的面积。
战国时期的“百家争鸣”也促进了数学的发展,尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。
名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同,他们提出“矩不正,不可为方;规不正,不可为圆”,认为圆可以无限分割。
墨家则认为,名来源于物,名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义,例如圆、方、平、直、次、端等。
墨家不同意圆可以无限分割的命题,提出一个“非半”的命题来进行反驳:将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点。
名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列,墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论,对我国古代数学理论的发展是很有意义的。
汉司马迁《史记·酷吏列传》以“破觚而为圜”比喻汉废除秦的刑法。破觚为圆含有朴素的无穷小分割思想,大约是司马迁从工匠加工圆形器物化方为圆、化直为曲的实践中总结出来的。
上述这些关于“分割”的命题,对后来数学中的无穷小分割思想有深刻影响。
我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”,也就是我们现在所熟悉的这个公式。
为了证明这个公式,魏晋时期数学家刘徽撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇1800余字的注记。这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”。
刘徽用“差幂”对割到192边形的数据进行再加工,通过简单的运算,竟可以得到3072边形的高精度结果,附加的计算量几乎可以忽略不计。这一点是古代无穷小分割思想在数学中最精彩的体现。
刘徽在人类历史上首次将无穷小分割引入数学证明,成为人类文明史中不朽的篇章。