曾有记载说，19世纪爱丁堡的音乐教授奥克利爵士去过一个农场。他听到一头猪叫，就马上喊：“升G调！”有人跑到钢琴那里一弹，果然是升G调。我对双胞胎拥有的天生能力和思考模式，也有这样的看法：想都没想就浮现在脑海。而且我还忍不住觉得这一切挺富有喜剧色彩的。
有一次，火柴盒从桌上掉下来，散了一地。“111。”他们两个不约而同地说，然后约翰低声说，“37。”迈克尔重复一次，约翰又说一次，然后停下来。我去数这些火柴的数量，花了一些时间，才发现真的是111根。
“你们怎么能算得这么快？”我问。“我们没有算，”他们说，“我们看到了111。”
约翰神父说数字神童达思也有这样的能力，一箩筐桃子倒出来，他可以立即说出183或79，而事实上也真的是这个数目。他的智商也不高，也没去数桃子，却在瞬间看到一整堆的数目。
“为什么你们要说‘37’，而且说了三遍？”我问这对双胞胎。他们异口同声地回答：“37，37，37--111。”
如果是这样的话，我就更不解了。如果他们是在瞬间看到111这个画面，再也不会比奥克利的升G调更特别（因为那就像是某种对数字的绝对感觉）。但他们却没用任何方法，甚至不知道除法是什么东西，还能将111除以3。我原先不是观察到，他们连最简单的算术都不会，也不懂（或似懂非懂）什么是乘法和除法吗？然而现在，他们却能够自动地把一个多位数除以三。
“你们怎么算出数来的？”我非常急切地问。他们绞尽脑汁，想用贫乏的词语给我讲清楚，不过或许根本没有恰当的词语来形容他们的情况，因为他们不是算出来的，而是在瞬间看到的。约翰做了一个姿势，两根指头和大拇指同时伸出，这似乎在说，他们自然而然就把数字分成三等份，或者它们是自动变成相等的三份的。对于我的惊讶，他们看上去也很惊讶，好像觉得我视力有点儿问题；而约翰的姿势也表现出非凡的直接感应力。我对自己说，有没有可能，他们绕过概念和抽象的方法，直接看到事物的某些属性，具体地感觉和体验到事物的本质？而且不仅仅是孤立的（像整个111），而是相关联的质感？或许在某种类似的状况下，他们也会像奥克利爵士那样，说出三分之一或五分之一这样的话来。
通过看见事件和日期，我开始觉得，他们真的能在脑中升起一张巨大的记忆景象，一幅很大（也许是无限大）的风景画，每样东西无论是孤立的还是有联系的，都能在里面找到。他们随口而出的这些“资料”，体现出来的主要是单独而非有关联的内容。然而，这个奇特的视觉能力非常具体，与概念无关，他们不是可以凭借这种能力去看到视觉关系、形势关系或形式之间的关系，且不会因为事情简单或重要而受影响吗？如果他们能一眼看到整个111，他们难道不会一眼看到（以一种与智商无关的、完全感官上的方式，去观察、识别、联想和比较）有关数字的巨大复杂的形式与图像？这是种可笑甚至无能的表现。我想到博尔赫斯笔下的富内斯：
我们能一眼看到桌上的三个杯子，在富内斯眼里则是组成葡萄藤的所有叶茎和果子……黑板上画的圆、直角与菱形，这些我们一眼就能认出来；艾瑞诺同样能够认出小马浓密的马鬃、山坡上的牛群……我不知他能看到天上有多少星星？
是否，特别喜欢数字且悟性很好的双胞胎可以一眼看出111这个数，同样也能从心中看见由数字组成的叶子、青茎、果实还有葡萄藤？这是一个奇怪，或许说荒谬、几乎不可能的想法--但他们让我觉得如此奇特，难以置信。据我所知，这只不过是他们能力当中很小的一部分而已。
我思考着这件事，但是怎么也想不通，后来就把它忘掉了。直到我偶然间遇上一个自发的、神奇的情境。
神秘的数字对话
这一次他俩坐在一个角落，脸上挂着神秘莫测的微笑。我以前从未见过他们那样笑，好像正在享受着某种奇怪的安宁和乐趣。我静静地靠过去，以免打扰他们。他们看起来投入到了单纯的数字对话之中。约翰说一个六位数，迈克尔会意地点头微笑，看上去在品味那个数字；然后轮到迈克尔，也说了另一个六位数字，这回是约翰领受，并觉得非常满意。乍看起来他们像两个品酒师在分享人间的极品佳酿。我静静地坐在那里，没让他们看见，百思不得其解。
他们在做什么？究竟发生了什么？我一无所知。那可能是一种游戏，既紧张又严肃，就像宁静的冥想，带着几乎神圣的热情。我从未在其他平常的游戏当中看到这番景象，他俩的样子也非我向来看到的那样（一对动个不停、精神涣散的双胞胎）。我对他们说出的数字没有任何感觉，而他们却乐此不疲，双方在交流中沉思、品尝、分享。
那些数字有什么意义吗？回家的路上我总在想：这些数字有什么现实意义或宇宙景象么？或者就像兄弟姐妹间有时候会造出一些没有意义的“密语”，那只是他们自己古怪的暗号？我开车回家的时候，想到了卢瑞亚提到的双胞胎莱莎和尤拉，这对双胞胎的脑部受损与语言功能受损状况都一模一样；她们会像婴儿一样，用原始的、只有她们才懂的语言来游戏和聊天。约翰和迈克尔只言片语都不曾说，只会不断地向对方扔出数字。这些只是博尔赫斯式或富内斯式的数字，抑或是数字编队，还是只有双胞胎才懂的马鬃、星座或数字格式，或某种数字暗号？
一回到家，我就抽出几张古老的权数、因数、对数和质数的对照表。这几张表是我小时候心血来潮、独自思考留下的产物。那时候我也是满脑子的数字，爱和数字打交道，对数字有特殊的狂热。我有个预感，后来得到了证实。双胞胎彼此交换的所有的六位数字都是质数。他们是不是曾经看过，或也有一本像这样的书，还是他们自己，就像他们“看”到111或三个37那样，以一种大家想不到的方法找到质数？当然，他们算不出来，因为他们根本不会计算。
质数天才
隔天，我带着一本珍藏的质数书回到病房。我又发现他们在一起做他们的数字沟通，不过这回我什么都没说，只是静静地加入其中。刚开始他们停了一下，不过看我没有打扰，就又继续他们的六位数质数游戏。几分钟之后我决定加入，试探性地说出一个八位数质数。他俩突然静下来转向我，表现出强烈的关注--或许是迷惑的表情吧。这样停了好长时间，差不多持续了半分钟或更久：这是我认识他们以来最长的一次停顿。然后两人突然间同时笑了。
经过某种难以想象的内在测试之后，他们突然发现我的八位数是质数，对此他们显得非常开心，变得加倍高兴：第一是因为我引入了一种好玩的新游戏，他们以前从没有接触过这样的质数；第二是因为我已经看懂了他们在做什么，而且我也喜欢、欣赏这个游戏，愿意加入到他们之中。
因为两人世界出现了第三个人，所以他们稍稍分开点，给我这个新玩伴腾出位置。然后，总是走在前面的约翰想了很长一段时间，大概花了五分钟吧，说出一个九位数质数。我不敢动，大气也不敢喘。接着他的兄弟迈克尔也花了差不多的时间提出一个类似的数字。下面轮到我。我偷瞄了一眼书，狡猾地从书里抄出一个十位数质数。
同样的情况再度发生，这一次他们思考和冥想的时间更久。接着，约翰经过一番神奇的内在思考，提出一个十二位数质数，这一次我无处可查、答不出来了，因为据我所知，这本书已经非常难得，却也只出到十位数质数。但是迈克尔还是接下去了，虽然他花了五分钟才想出来。一个小时之后，双胞胎已经在交换二十位数的质数了。至少我认为那是质数，因为已然无处可查。1966年那个时期，除非能够动用大型计算机，再没有更可靠的检验方式了。即使有的话也是困难重重，因为不管用什么数学公式，计算首先就是个大问题。到了这个阶段的质数，根本不存在简单的计算方法，但是双胞胎却是照做无碍。（见后记）
我又再一次想到几年前在麦尔斯的《人类的人格》上读到的有关达思的事情：
我所认识的达思（可能是这类神童中最成功的一个）几乎不懂数学……然而他花了十二年做的因数与质数表，其中所载数字的数目超过七百万，将近八百万。按照一般人的寿命，没有机器的帮助，没人能完成这样的工作。
迈尔斯总结说，达思可能是世上唯一一个过不了艾斯桥，却对数学做出巨大贡献的人。
迈尔斯没有说清楚的是，达思是通过什么方法来完成他的表格的；还有，他是否也像双胞胎一样通过“数字观看”实验，能够看到这些大质数。
数字交响曲
我在双胞胎住的那个病房区有办公室，所以观察起来并不困难。当我在一边静静地观察双胞胎时，我看到他们做过其他无数的数字游戏和交流活动。它们的本质是什么，我既无法确定，也猜不透。
不过看上去，他们正在处理“真实”的属性或本质。没有规律的事情（例如随机数字）无法给他们带来快乐。他们需要对自己的数字有“感觉”。也许同样的道理，音乐家也需要和谐。我想到智障的马丁（见本书），虽然由于智力缺陷，缺乏对概念的理解，但是在巴赫安详华美的音乐殿堂中，能够判断和找到终极和谐的世界秩序。
“任何一个内在协调的人，”布朗爵士写道，“都会在和谐中找到快乐……和造物主深邃的思想。这其中存在比耳朵能听到的更多的神性；这是一堂关于整个世界的意向之课……恰好构成上帝耳中睿智的声音……这样的灵魂……是和谐的，对音乐有着最亲密的认同感。”
在《生命的线索》一书中，沃罕把他所谓的“图像”精神状态与计算作了绝对的区分，同时预料到会有人反对这样的区分法。
有些人可能会驳斥说，所有的计算都不是图像，其理由是，当人们计算的时候，通常是看着纸上的题目进行运算。但这不构成反证，因为这种情况并不是计算本身，而只是计算的表象；我们计算的是数，但看见的是代表数的数字形状。
另一方面，莱布尼茨则对数字与音乐作了很有趣的类比：“我们从音乐中得到的乐趣仍来源于计算，只不过这些计算是无意识的罢了；音乐也不过是无意识的数学。”
目前我们能肯定的是，这种说法正好符合双胞胎的情况。其他人是不是也这样呢？作曲家托赫的孙子劳伦斯告诉我，托赫听到一长串的数字能够马上记下来，他的方法是将那串数字转化成音符；他自己还创作了一段与数字相通的音乐。巴克斯顿是一个最笨拙最顽强的心算家，他对数字与计算有着十足甚至狂热的激情（用他自己的话说，计算会让他沉醉），他会把音乐与戏曲“转化”成数字。一个和巴克斯顿同时代的人在1754年做了如下的记录：“音乐播放时，他把注意力集中在音阶上；在一段美妙的音乐结束之后，他说，这段音乐中数不清的声音让他神魂颠倒。他去听一位叫加瑞克的先生的演讲，竟然只是为了计算他讲话的字数，而且还说自己算得很准。”
这是一对非常极端却恰好相反的例子：音乐家把数字变成音乐，而心算家把音乐变成数字。人们很少能找到比这更对立的观点和心智模式了。
这对双胞胎虽然对数字有过人的感觉，但完全不会计算。在这一点上，我相信他们应该不像巴克斯顿，而比较像托赫。他们并没有将数字转换成音乐（这一点我们正常人难以想象），而是用他们自己的方式去感受数字的形式与调子，就好比组成自然的形式是多种多样的。他们不是心算家，他们通过“图像”进行计算。他们神奇地创造充满数字的世界，召唤出奇异的数字景象，悠游于巨幅的数字空间，并深深地乐在其中。我相信，双胞胎拥有最卓越的想象力，他们不会因为只有数字而变得单调。他们不像心算家那样“操纵”无图的数字，而是直接看到巨大的自然景观。
是否还有类似的图像化例子呢？我想某些科学家身上也存在过。例如，门捷列夫把元素符号写在卡片上随身携带，直到完全记熟，熟到这些元素在他眼中不再是一堆聚合物，而是熟悉的面孔。这时他所见的元素就是图像式的，是有外表的活生生的脸，这些脸孔彼此相属，就像家庭中的一份子，而它们整个合起来按着周期排列就构成了整个宇宙的脸孔。这样的科学脑袋基本就是图像式的，把一切本然都看成脸孔与景象，也许有可能是音乐。虽然充满了感官上的感受，这种内在的视觉实际上与生理现象有密不可分的关系。如果把它从心理还原到生理，就产生了另一个层次的存在。（“哲学家寻求聆听内在世界发出的交响乐，”尼采写道，“然后以概念的形式将它们再次表现出来。”）双胞胎的智商虽然低，却能够听见这个世界的交响曲。只不过我猜测，他们完全是以数字的形式听见的。
生活在数字天堂
无论一个人的IQ如何，他的灵魂都是和谐的，而对于物理学家和数学家而言，和谐的知觉主要体现在智力上。但同时我也无法想象，有些智力能和知觉分离。事实上，“知觉”一词存在着双重意义，它既是理性的，在某种意义上又是个人的。因为，若事物跟个人没有关系，这人就不会感觉和发现它们是合理的。所以巴赫伟大的音乐为马丁构成了一种象形的世界和影像的宇宙，这个空间独一无二，深受热爱。马丁也深切地感受到这些，并且对巴赫有种父亲般的敬爱。
我相信双胞胎拥有的也不只是怪异的“能力”，而是一种和谐的知觉，这种知觉或许与音乐的知觉类似。有人可能会很自然地说那是“毕达哥拉斯式的知觉”，奇怪的不是他们具有这样的知觉，而是这样的知觉如此罕见。不论IQ高低，一个人的灵魂都是和谐的，而且可能所有的心灵都需要去寻找，去感受那终极的和谐或秩序。数学被称为“科学的王后”，数学家永远感受到数字的高深莫测，而数字也神秘地铸成了这个世界。罗素自传的前言将这一点表达得非常好：
我以同样的热情寻求知识，我盼望了解人的内心世界，我想知道为何星光闪耀。我也试着了解毕达哥拉斯定理为何控制了涨潮。
把双胞胎这两个智力低下者拿来与罗素这样的智者相比是有点怪，我也觉得不恰当。双胞胎完全活在一个数字的思想领域中，他们对于闪耀的星光或人的内心没有什么兴趣；但我相信对于他们而言，数字绝不只是数字，它们具备了深远的意义，甚至说数字就是意义，蕴涵着整个世界。
他们不像大部分心算家那样用肤浅的态度对待数字。对于计算，他们既没兴趣也没能力，更无法理解。他们只不过是数字的沉思者，怀着敬畏之心面对数字。对他们来说，数字是神圣、饱含深意的，就像音乐之于马丁，是他们了解上帝的方式。