又如，学习子集，要抓住子集的定义“集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则A叫B的子集”中的关键词“任何”、“都是”进行理解和记忆，就能收到较好的效果。这样自学，抓住关键词语进行认真分析，并努力给予透彻的解释，就能逐步掌握概念的本质特征，明确数学符号的作用和用法。一旦尝到自学的甜头，自然而然会产生自学数学的信心和兴趣。
有的同学认为，数学只有多做题目，才会提高数学水平，才会提高分析问题和解决问题的能力，教材则可读可不读，也没有什么可读之处，这其实是一种误解。这些同学往往在未弄懂概念定义之际，就匆匆忙忙模仿例题的解题步骤去做习题，结果遇到与概念密切相关的判断题、选择题，就束手无策。他们的最大毛病就是对问题只图表面，不抓实质。这样的学习方法是万万要不得的。因此，要针对学习内容，多问几个为什么，以求深入理解。如“集合”的概念，要弄清“元素”和“集合”、“集合”与“集合”的关系，“零”与“空集”有什么不同，等等。通过这样的学习，真正花精力搞清楚实质性的问题，这种努力所达到的效果，是题海战术所不能比拟的。在这样的自学过程中，使我们自身的学习逐步由被动转为主动，改变不求甚解的习惯。
2.写一点数学读书笔记
在自学数学基础知识有了一定的基础和能力后，我们可以对自己提出新的更高的要求：写一点数学读书笔记，目的是培养自己的创造性思维。这样，可以逼着自己主动去发现问题、思考问题、解决问题。同时，在这一过程中，可以将这种好习惯迁移到其他学科的学习中去。写数学读书笔记的好处是：①有利于所学知识的系统化、条理化、概括化，使所获得的知识脉络清楚、重点突出，便于记忆；②有利于提高解题能力；③有利于加深对数学知识的认识，掌握分析、归纳、整理材料、研究问题的方法；④有利于培养自己的学习兴趣，从而提高思维素质，逐步养成良好的学习习惯。
比如，学习解析几何中“直线”时，对于如何求证平面上“三点在一条直线上”，可以联系所学内容，归纳总结出以下几种方法：①用平面上求两点距离的方法来求，使｜AB｜＝｜BC｜＋｜CA｜；②用定比分点公式来求，把其中一点看作另外两点的定比分点时，在线段定比分点公式中，横坐标代入后所得出的λ值与纵坐标代入后所得出的λ值相等；③先求出任意两点的直线方程，再验证第三点在所求直线上；④任意两点连线斜率相等且过同一点，如：KAB＝KBC且两直线都过B点；⑤先求出任意两点的直线方程，再验证第三点到这条直线的距离为0。这样，能使我们对所学知识举一反三，融会贯通。这种一题多解能力的训练，不但对我们在校学习有很大的帮助，而且对我们走上社会也有很大的帮助，能促使我们遇事肯动脑，妥善地解决每一个具体问题。
3.综合培养自己的数学学习习惯
如何培养自己具有良好的数学学习习惯呢?一要从头抓起，良好的学习习惯的形成，如同古人所说“少成若天性，习惯如自然”。因此，要从头抓起，高度重视自己学习行为的规范性、科学性，要明确学习习惯的后天性和稳固性的特点，相信自己从头抓起，一定能成功。同时，提醒自己，千万不能掉以轻心，习惯无论好坏，一旦养成，就难以矫正。二要从严抓起，任何一个良好的学习习惯都要靠坚强的意志、严格的要求、长期的实践，才能逐渐养成，比如“先复习、后作业”，只有严格要求自己、严格进行训练，一丝不苟、毫无例外，才能形成自动化的行为定势。三要从点滴抓起，学习习惯是关涉整个学习的综合性的行为方式，诸如独立思考的习惯、善始善终的习惯、专心致志的习惯、循序渐进的习惯等等，都需要由少到多、由点到面、由单项到系列、由部分到整体的全方位推进。必须通过一点一滴的积累、一步一个脚印的训练，才能在多次刺激与强化的基础上变成自己的内在需要。四要从借鉴抓起，要不失时机地向自己的同学、老师学习，向周围的一切可以学习的人学习，充分借鉴他们(特别是自己的同学)的成功经验，吸取他们失败的教训，启发自己的自觉性，提高自己良好学习习惯的达成度。主要从激励抓起，要学会自我激励、自我表扬，强化自己良好的学习习惯，矫正不良的学习习惯，通过自我激励及暗示，不断巩固业已形成的良好学习习惯。
4.认识数学学习的心理障碍
在我们数学学习的过程中，常常可见到这样的情况：一些同学因为困惑、曲解或误会而产生了消极的学习心理。比如：
(1)依赖心理
数学学习中，一些同学对老师存有依赖心理，缺乏学习的主动性和创造性。其表现一是期望老师对数学问题进行归纳、概括并分门别类地一一讲述，突出学习的重点、难点和关键；二是期望老师提供详尽的解题示范，以便自己一步一步地模仿硬套。
(2)急躁心理
有些同学急功近利、急于求成、盲目下笔，往往导致解题出错。一是未弄清题意，未认真读题、审题，也未弄清哪些是已知条件、哪些是未知条件，哪些是直接条件、哪些是间接条件，甚至要回答什么问题，也未搞清，就匆匆忙忙解题；二是未进行条件选择，没有从贮存的记忆材料中去提取题设问题所需要的材料进行对比、筛选，就急于猜解题方案和盲目尝试解题；三是被题设假象蒙蔽，未能采用多层次的抽象、概括、判断和准确的逻辑推理；四是忽视对数学问题解题后的整体思考、回顾和反思，包括该数学问题解题方案是否正确，是否最佳，是否可找出另外的方案，该方案有什么独到之处，能否推广和迁移等等。
(3)定势心理
在长时期的数学学习过程中，在习惯性的学习程序中，我们往往会形成一个比较稳固的习惯性思考和解答数学问题的程序化、意向化、规律化的个性思维策略的连续系统——解决数学问题所遵循的某种思维格式和惯性。这是我们数学知识的积累，解题经验、技能的汇聚，一方面有利于我们按照一定的程序思考数学问题，比较顺利地求得一般同类数学问题的最终答案，但另一方面，这种定势思维也会带来负面影响，容易使我们的思维向固定模式发展，解题适应能力提高缓慢，分析问题和解决问题的能力得不到应有的提高等等。
(4)心理偏重结论
偏重结论，忽视过程，是我们数学学习过程中常见的问题。我们同学之间在数学学习、解题过程中，相互交流往往停留在对答案、比分数上，很少有同学就数学问题过程进行深层次的讨论，也很少有同学对解题方法进行创造性的研究，至于思维的变式、问题的变式，更是难于涉及。因此，在我们的数学学习中，对定义、公式、定理、法则的来龙去脉往往不清楚，对知识的理解不透彻，很少从本质上去认识数学问题，无法形成正确、准确的概念，难以深刻领会有关结论。这样做的直接后果是我们的智慧得不到启迪，思维的方法和习惯得不到训练和养成，观察、分析、综合等等能力得不到提高。
还有诸如自卑心理、自谅心理、迷惘心理、厌学心理、封闭心理等等，都在不同程度上影响、制约、阻碍我们学习数学的积极性和主动性，使我们数学学习的效率降低、效益减少、效果欠佳，学习质量、学习能力得不到应有的提高。
5.学会消除数学学习的心理障碍
首先，要改变过去的不良学习习惯与方法，做到重基础、重实际、重过程、重方法。重基础，就是认真学习教材，根据大纲和教材来把握知识点，突出重点和难点，尤其要搞清楚教学内容的知识结构体系及各自在结构体系中的地位和作用。重实际，要在老师和同学的帮助下，真正把握自己的学习、生活、兴趣爱好、特长优势、学习策略、一般水平等等，使自己对自己有一个切合实际的了解；在学习数学的过程中，要努力联系与之相关的生产、生活实际；还要加强实际应用，在理论学习中初步体验数学的实用价值。重过程，只有在数学学习过程中，才能学习方法和训练技能，这比掌握知识更为重要。所谓过程，一要揭示数学问题的提出或产生过程；二要揭示新旧知识的衔接、联系和区别；三要揭示解决问题的思维过程和思维方法；四要对解题思路、解题方法、解题规律进行概括和总结。重方法，数学方法是在数学活动中解决数学问题的具体途径、手段和方式的总称。要主动接受老师和同学的帮助，在如何阅读数学教材、审题答题上进行知识体系的概括总结，进行自我检查和自我评定，对解题过程和数学知识体系、技能训练进行回顾和反思等等，从而不断提高自己的数学学习水平。
其次，把握学科价值取向，明确学习目标。要充分认识数学的悠久历史；把握数学与各门学科之间的关系，特别要明白数学在自然科学中的地位和作用；要明白数学在社会主义现代化建设与现代科学技术发展中的地位和作用；明白当前的数学学习与自己今后进一步学习及能力提高的关系，从而增强克服数学学习心理障碍的信心、决心与恒心，主动积极地投入到数学学习中去。要在老师的指导下，确定自己的奋斗目标与努力方向。目标既要有长期的，又要有短期的；既要有总体的，又要有部分的；既要有超前的，又要有现实的。这样，在一个适度的目标引领下，使自己的学习充满前进的动力与活力。
第三，要人到、心到。在学习过程中，个人的所想、所疑、所难、所错、所忘、所会、所乐，都要入脑进心，注意用老师和同学的思路来诱发自己的思路，用老师和同学的智慧来启迪自己的智慧，用老师和同学的情感来激发自己的情感。在和老师、同学的共同学习中，不断调节自己的意志、完善自己的个性，使数学学习过程，成为自身的精神解放过程。
三、提高数学运算能力的有效方法
数学运算贯穿于数学学习的全过程，数学学习过程的任何方面都有数学运算的参与。数学运算能力是一种综合因素的复合体。数学运算能力的培养一定要结合运算的特点和规律进行。苏霍姆林斯基说：“我们对学生运算的要求，不仅在于正确，还要训练学生思维的简捷和合理。”培养运算能力，要在运算的正确性、简捷性、合理性、灵活性等方面下功夫，即在运算品质上下功夫。
1.培养运算的灵活性
让我们先看一个例子：
〔例3〕求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。
解法一：
sin10°sin30°sin50°sin70°
＝12sin10°〔－12(cos120°－cos20°）〕
＝－14sin10°(－12－cos20°)
＝18sin10°＋14sin10°cos20°
＝18sin10°＋14·12〔sin30°－sin10°〕
＝18sin10°＋116－18sin10°
＝116
解法二：
sin10°sin30°sin50°sin70°
＝sin30°·cos20°·cos40°·cos80°
＝12·2sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°
＝12·sin40°cos40°cos80°2sin20°
＝14·sin80°cos80°2sin20°＝18·sin160°2sin20°
＝116·sin20°sin20°＝116
由此可以看出，解法一是一种常规的通用方法。解法二是非常规解法，要创造条件，连续应用二倍角正弦公式。使用这种解法，就需要运算的灵活性。
运算的灵活性不仅与学生认知结构有关，与思维的灵活性也有很大关系。另外，对运算对象观察得越深刻运算也会越灵活。因此，要培养运算的灵活性，就要在其他方面下功夫，这就是灵活性表现在运算之中。
2.通过化简培养运算的简捷性
运算的简捷性即是表现运算过程简捷迅速，这同样需要思维的灵活性与观察的深刻性。
〔例4〕设m≠n，m·n≠0，a>1，
x＝(a＋a2－1)2mnm－n
试化简(x1m＋x1n)2－4a2x1m＋1n
解：由x＝(a＋a2－1)2mnm－n，得
a＋a2－1＝xm－n2mn(1)
a－a2－1＝1a＋a2－1＝xn－m2mn(2)
把(1)与(2)相加，得
a＝12(xm－n2mn＋xn－m2mn)于是，原式＝(x1m＋x1n)2－(xm－n2mn＋xn－m2mn2)·xm＋nmn
＝(x1m＋x1n)2－(xm－n2mn·xm＋n2mn＋xn－m2mn·xm＋n2mn)2
＝(x1m＋x1n)2－(x1m＋x1n)2＝0
此式的化简，如果从原式出发，把x的表达式代入原式之中，计算起来既麻烦，又冗长。按上述方法用x表达a，一下子使原式的化简简单化了，从而使化简的步骤大大缩短了。这便是运算简捷的很典型的例子。
在化简过程中，关键在于运算者对条件与结论间的关系的深刻性观察，发现只要用x来表示a＋a2－1后，就会出现x的指数的特殊性，又考虑到a－a2－1与a＋a2－1的倒数关系，于是马上出现a的表达式，从而使原式很顺利地利用指数特殊性而简捷地得出结果。
3.通过优化算法培养运算的合理性
运算的合理性是指运算过程要符合运算律的要求等的特性。
〔例5〕在正方体ABCD—A1B1C1D1中(图3-3)，E、F分别是BB1、CD的中点，且已知AA1＝2，求三棱锥F—A1ED1的体积。(1997年高考试题)
图3-3
合理的算法是将顶点下移到AB的中点M后，将顶点及底面进行更换后计算。
解：取AB中点M，连MF。
∵MF∥A1D1
∴MF∥面A1ED1
∴F点到面A1ED1的距离等于M点到面A1ED1的距离。
∴VF－A1ED1＝VM－A1ED1(同底等高)
∵VM－A1ED1＝VD1－A1ME(换底)
而VD1－A1ME＝13S△A1ME·A1D1＝13×(4－2－12)×2＝1
∴VF－A1ED1＝VM－A1ED1＝VD1－A1ME＝1
而不恰当的算法是将三棱锥F—A1ED1的一个面的面积及相应的高算出来，再用体积公式求出体积，而面积及相应的高是很不容易计算的。
合理性的运算实际上是寻找一种优化的算法，使算法简便，并且能直接地达到目的。
〔例6〕求1＋2＋3＋…＋99＋100。
选择(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝5050的算法既合理，又简捷。这是高水平运算的典型例子。
4.全面提高运算的准确性
运算的准确性是运算的首要要求。没有准确性，就没有运算能力可言。因此，提高运算能力，准确性是运算能力的必要条件。
运算的准确性就是表现在运算过程中不出错。它也需要多方面因素的相互作用。例如，a2＝a，这是对算术根意义不明确而造成的错误。又如，x－1x＋1>1x－1>x＋1，是由于对不等式性质的未能掌握而造成的错误，等等。
要使运算达到准确，不仅要在数式运算方面达到熟练程度，还要有数学各种能力的配合，只有从全方位上提高，才能使数学运算能力训练达到预期的目的。
四、提高数学观察能力的有效途径