谎言有三种：谎言、真实的谎言、统计数字。
——本杰明·迪斯雷利
一棵树上的果子有大有小，但大部分都是中等的。
河里的石子有圆有扁，但多数属于不太圆也不太扁的。
巨人很少见，侏儒也很稀少，多数人是身高中等的普通人。
只要样本足够多，那么这个样本群体的情况就会呈现一种规律性。但这种规律却很可能被滥用……
★“数学王子”与钟形曲线
德国数学家高斯被认为是最重要的数学家，享有“数学王子”的美誉。
高斯的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲。高斯的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手等。
在整个数学史上，没有人像高斯那样早熟，比如高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债帐目的事情。
高斯自己曾说，他在草堆上学会计算。能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋。
当高斯12岁时，已经开始怀疑元素几何学中的基础证明。当他16岁时，预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学，即非欧几里德几何学。高斯的传奇、逸闻轶事可以写成厚厚一部故事集。
10马克纸币上印有天才的数学家高斯的肖像以及钟形曲线
18岁时，高斯开始专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线（正态分布曲线）。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。
钟形曲线是一根两端低中间高的曲线。高斯用它来描述科学观察中量度与误差两者的分布。
在钟形曲线上，大部分观察值都积聚于中间，曲线上的极点对统计结果影响不大。比如，对随机挑选1000个男人进行身高统计，他们的之中接近平均值的分布最多，巨人和侏儒分布最少，这种分布就符合正态分布。自然界中的很多随机变量，可以近似地用钟形曲线来描述：
一棵苹果树上的苹果有大有小，把这些苹果一一称重，会得到一条钟形曲线。
河床上布满了鹅卵石，这些石子有圆有扁，把这些鹅卵石的曲度统计出来，也会形成一条钟形曲线。
茫茫人海，总会有几个的巨人，也会有几个袖珍人，但大部分人是身高中等的普通人。
同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量、胆固醇等，呈现为正态或近似正态分布。
……
只要样本足够多，那么这个样本群体的情况就会呈现一种规律性。
★数学不会错，但数学会被用错
类似这种说法你可能听说过：
“XX效应无处不在！”
“万事万物都逃不开XX法则！”
说者如此亢奋，彷佛真的发现了一条能解释宇宙万物的绝对真理。
就连高斯自己恐怕也没有想到，自己发现的钟形曲线，会被泛滥地运用到社会生活的各个方面。
前面讲过，“统计狂人”高尔顿爵士通过研究豌豆遗传和人类世代演变，联想到了均值回归理论，这个重要理论使得钟形曲线在很多情况下具有可操作性。
阿道夫·凯特勒（1796年－1874年），比利时数学家和天文学家。
与高尔顿大约同时代，有个数学家叫凯特勒，他号称：“钟形曲线无处不在！”
凯特勒要把钟形曲线用在一切地方，他要把世界纳入他的平均哲学中。
凯特勒提出，人的特性均趋向于钟形曲线的均数或中数，越靠两极的越少。凯特勒从统计学角度出发看人，认为人的成长是会依从一套既定的法则。所以，我们可以透过统计数字，去推算一个人的发展。他还发明了身高体重比（BMI）来推算一个人的健康状况。
但凯特勒本人一点也不平均，甚至可以说是个偏执的工作狂。凯特勒对钟形曲线的痴迷达到了走火入魔的境地，他提出了“体质平均人”的概念，通过收集统计数据，他开始制造“平均”的标准。胸围、身高、新生儿体重，很少有什么逃过他的标准。
阿道夫·凯特勒又把注意力转入社会学领域，针对人们的行为模式，提出了“气质平均人”概念，凯特勒划定了偏离平均值的范围，他眼里的正常人要么在平均值左边，要么在平均值右边，而那些站在钟形曲线极左端和极右端的人则属于另类，需要惩罚。
尼古拉斯·塔勒布在其睥睨群英的作品中，对钟形曲线进行了深入批判。当然，塔勒布并非对钟形曲线进行质疑的第一人，他只是继承了亨利·庞加莱等人的思想，而这种生搬硬套钟形曲线方法论，也被人们称为“凯特勒谬误”。
高斯并没有错，高尔顿也没有错，“凯特勒才是思想史上最具有破坏性的人”。 数学不会错，但数学会被用错，在凯特勒的“传染”下，钟形曲线得以广泛用于社会领域。
★统计歧视
有人调侃，人生就像一个钟形曲线——
你5岁的时候不尿床就是成功
10岁的时候开始有自己的朋友就是成功
25岁你有自己的幸福家庭就是成功
35你依然有自己幸福的家庭就是成功
65你依然拥有好多的朋友就是成功
85你不尿床就是成功
类似这种玩笑话并无害处，但有些人却以科学之名，推销自己的思想，就变得可怕了。
凯特勒的幽灵还在徘徊，十多年前，曾有一本名为《钟形曲线》（The Bell Curve）的书热闹了一阵子，该书的副标题是“美国生活中的智力和阶级结构”。
此书是美国哈佛大学心理学家理查德·J·哈瑞斯坦与政治科学家查尔斯·莫瑞合作完成的。该书主要内容包括四部分：
1.基于智力基础的社会分层现象日益明显。
2.智商与各种社会的、经济地位之间存在明显的相关性。
3. IQ美国不同种族之间所形成的社会的与经济的贡献中的作用。
4.这个了不起的发现对于美国的教育和社会政策就会产生哪些影响。
书名之所以称作“钟形曲线”，主要是基于IQ得分的钟形的正态分布。
在书中，作者以大量的智力测量结果论证，人的智力是先天遗传决定的，不同的种族具有不同的智力水平，这种观点自然会引起不少争议。这本哗众取宠的作品，为种族歧视提供了理论基础，也被种族主义者奉为宝典。
★将军里面挑瘸子
GE公司前CEO杰克·韦尔奇最值得自我吹嘘的管理秘诀就是“活力曲线”，其实质是强制正态分布。
杰克·韦尔奇的活力曲线
在这个钟形曲线里，韦尔奇将业绩排在前面的20%的员工划为A类，中间的70%的员工划为B类，业绩排在后面的10%的员工划为C类。C类是必须裁掉的对象。
韦尔奇以科学的名义进行奖惩，一直以钟形曲线的法则推行末位淘汰制，从不间歇，所以叫做活力曲线。
强制正态分布绩效评估法
这种绩效评估的原理，是按照事物的“两头小、中间大”的正态分布规律，先确定好各等级在被评价员工总数所占的比例，然后按照每个员工绩效的优劣程度，强制列入其中的一级。
但问题是，假如低素质员工淘汰完了以后，就要在中等和优良员工里硬要挑一些低素质员工来淘汰了。最极端的情形可能是“将军里面挑瘸子”。 就好比满分是100分，全部成绩都在90分以上，也要把90分那位淘汰下来。
韦尔奇很幸运，他在任的时候GE股票猛涨。但GE的成功，不代表他所有的做法都是对的。当韦尔奇成为明星经理人后，他的办法得以传播。强制钟形曲线管理法，在社会上热过一阵子后，基本上销声匿迹了。
★幂率曲线
19世末叶，“共产主义的幽灵，在欧洲徘徊”。
此时，有一位叫帕累托的意大利经济学家发现，财富分配也是不均的。帕累托被称做“资本主义的马克思”，他指出：英格兰财富的80%，掌握在了20%的人口手里。许多其他国家和地方也是如此。帕累托由此得出一个结论：财富分配和人口结构之间，存在着一种可以估算的比率。帕累托称之为“关键少数定律”，也就是现在所谓的“二八法则”。
类似帕累托的这种财富曲线，叫作幂律 （Power Law） 曲线。
我们再以图书销售为例，把图书的图书的销售排名作为横轴，销售量作为纵轴， 我们就会得到类似下面这个销售曲线。
在这张幂率曲线图上，排名前二十的图书，占据了全部销售额的八成。
幂律的典型是二八法则，实际上幂律正是从它开始的发现。意大利经济学家帕累托发现，在财富的分配上存在着幂律分布，即百分之二十的人掌握着百分之八十的社会财富。
有人将这一法则延伸，80％的工作由20％的人完成；或者80％的工作只产生20％的结果，反之亦然。
“二八法则”也遭遇了惊人的滥用，比如被墨索里尼拿去，为其法西斯主义做合理化解释。
★分清“中庸先生”与“极端先生”
天气、豌豆的直径、身体指标等属于平均事件，是按照钟形曲线分布的（姑且称之为“中庸先生”），所以，就算这辈子你看不到一个身高为5米的家伙，也没什么值得稀奇的。
财富数量、图书销量、网站访问量等属于极端事件，遵从的是所谓的幂律曲线（姑且称之为“平均先生”）。
比如，屋子里有100个随机选取的人，世界上个子最高的人走进去之后，这些人的平均身高并不会发生太大的变化。但如果比尔·盖茨走了进去，在场所有人的平均财富将会显著增加。
如果说钟形曲线是一位性格温和“中庸先生”的话，幂率曲线就是一位性格狂野的“极端先生”。
对自然问题，多问问“中庸先生”比较擅长；社会问题，尤其是金钱问题，我 “极端先生”的意见更为靠谱。
中庸先生信奉“天之道”，极端先生信奉“人之道”。
在中庸先生那里，充满了金色的平均主义，谁也不会比谁高出多少。
在极端先生那里，一个数字就足以瓦解你所有的平均值，一次亏损就可以抹平你100多年的积累。
我们唯一应记住的是：道可道，非常道。真理只能证伪，不能证实。面对这个复杂的世界，没有任何一个万能公式，更没有放之四海而皆准的教条。
★钟形乌托邦
钟形曲线并非放之四海而皆准，但很多人觉得“钟形曲线无所不在”。 钟形曲线为何这么受欢迎？
钟形曲线的魅力在于它分布得很对称，很和谐，很中庸，很民主，容易掌握，让人感觉是温和又可以预测的。收集了足够的数据之后，模式就会自动显现。这符合懒人的胃口，我们不妨把这种理想叫做“钟形乌托邦”。
理解幂率曲线，可以帮助我们和中庸的钟形曲线保持距离。但幂率曲线是位“极端先生”，从来就不像钟形曲线这位“中庸先生”那么受欢迎，
钟形曲线是一位温和的中庸先生，幂率曲线是一位狂暴的极端先生。