永恒运动着的世界
世界万物都在时间长河中流淌着、变化着。它们从过去变化到现在，又从现在变化到将来。静止只是暂时的，运动却是永恒的。
也许没有什么能比闪烁在天空中的繁星更能引起远古人的遐想了。他们想像在天庭上有一个如同人世间繁华的街市，有一些本身发着亮光的星宿一直忠诚地、永恒不动地守护在天宫的特定位置，为了区别于月亮和行星，人们称之为恒星。其实，恒星的称呼是不确切的，只是由于它离我们太远了，以至于它们之间的任何运动，都慢得使人一辈子感觉不出来。
北斗七星，是北天区最为明显的星座之一，在北天的夜空是很容易辨认的。大概所有的人一辈子见到的北斗七星，总是一个勺子般的形状。人的生命太短暂了，几十年的时光，对于天文数字般的岁月，是几乎可以忽略不计的。然而有幸的是：现代科学的进展，使我们有可能从容地追溯过去和精确地预测将来。经过测算，现代人可以看到人类在十万年前、现在和十万年后应该看到和可以看到的北斗七星，它们的形状是大不一样的。
不仅天在动，而且地也在动。火山的喷发、地层的断裂、冰川的推移和泥石的奔流，这一切都还只是局部的现象。更令人不可思议的是，我们脚下的大地，也像水面上的船只那样，在地幔上缓慢地漂移着。
由此可见，这个世界的一切量，都跟随着时间的变化而变化。时间是最原始的自行变化的量，其他量则是因变量。一般地说，如果在某一变化过程中有两个变量x与y，对于变量x在研究范围内的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么变量x就称为自变量，而变量y则称为因变量，或变量x的函数，记为：
y＝f（x）
“函数”一词始用于公元1692年，最早见于德国数学家莱布尼兹的著作。记号f（x）则是由瑞士数学家欧拉于公元1724年首次使用的。上面所讲的函数定义，属于德国数学家黎曼。我国于1859年引进函数概念，始见于清代数学家李善兰的译作。
一个量如果在所研究的问题中保持同一确定的数值，这样的量我们称为常量。常量并不是绝对的。如果某一变量在局部时空中，其变化是那样地微不足道，那么这样的量，在这一时空中便可以看成常量。例如读者所熟知的“三角形内角和为180°”的定理，那只是在平面上才成立的。但绝对平的面是不存在的。即使是水平面，由于地心引力的关系，也是呈球面弯曲的。然而，这丝毫没有影响广大读者，去掌握和应用平面几何的这条定理。又如北斗七星，它前十万年与后十万年的位置是大不相同的。但在近几个世纪内，我们完全可以把它看成是恒定的，甚至可以利用它来精确判定其他星体的位置。
谈“守株待兔”
《守株待兔》这则寓言已经是家喻户晓，它出自先秦著作《韩非子》，至今已经流传了二千二百多年。
两千年来，人们一直认为“待兔”不得，错在“守株”。其实，抱怨“守株”是没有道理的。问题的关键在于兔子的运动规律。如果通往大树的路是兔子所必经的，那么“守株”又将何妨？
然而世界是一个不断运动的世界。兔子的活动，在时空中划出一条千奇百怪的轨迹，希望这条轨迹能与树木在时空中的轨线再次相交，无疑是极为渺茫的。因此，这正是这位农夫无法再次成功的原因之所在。
这里有一则更为精妙的例子，可以使人们生动地看到问题的症结。
意大利文艺复兴时期的艺术大师列奥纳多·达·芬奇曾提出过一个饶有趣味的“饿狼扑兔”问题：
一只兔子正在洞穴（C）南面60米的地方（O）觅食，一只饿狼此刻正在兔子正东100米的地方（A）游荡。兔子回首间，视线猛然与饿狼贪婪的目光相撞，预感大难临头，于是急忙向自己的洞穴奔去。说时迟，那时快，恶狼见即将到口的美食就要失落，立即以一倍于兔子的速度紧盯着兔子追去。于是，狼与兔之间，展开了一场惊心动魄的生与死的追逐。问：兔子能否逃脱厄运？
有人作过以下一番计算：以O为原点，OA、OC分别为X、Y轴，以1米为单位长。则OA＝100，OC＝60。根据勾股定理，在RtAOC中，
AC=OA2+CO2=1002+602=116.6。
这意味着：倘若饿狼沿AC方向直奔兔子洞穴，那么由于兔子速度只有狼速度的一半，当饿狼到达兔穴洞口时，兔子只跑了116.6÷2＝58.3米距离，离洞口还差1.7米。这时先行到达洞口的饿狼，完全可以守在洞口，“坐等”美餐的到来。
以上计算好像天衣无缝，结论只能是兔子厄运难逃。可实际上这是错误的。饿狼不可能未卜先知兔子会直奔洞穴，所以它也不能直奔兔穴洞口去“坐守”。它的策略只能是死死盯住运动中的兔子，这样它本身也就运动成一条曲线，这条曲线可以用解析的方法推导出来：
Y=130x32—10x12+2003。
根据公式可知：当x＝0时，带入上式得到y＝200/3。这意味着，如若北边没有兔子洞，那么当兔子跑到离原点200/3米的B点时，恰被饿狼逮住。然而幸运的是，兔子洞离原点仅有60米，此时此刻兔子早已安然进洞了。
随着“饿狼扑兔”谜底的解开，“守株待兔”问题好像明朗了。可是后来又有人提出异议，对《守株待兔》故事的真实性表示怀疑，机灵的兔子怎么会自己撞到偌大的树桩上去？它那两只精灵的大眼睛干什么去了？
说得不无道理。不过要说清楚这一点，还得从眼睛的功能谈起。眼睛的视觉功能是有趣的：一只眼睛能够看清周围的物体，但却无法准确判断眼睛与物体之间的距离。下面的实验可以证实这一点。
两只手各拿一支削尖了的铅笔，然后闭上一只眼睛，让两支笔的笔尖从远到近，对准靠拢。这时，你会发现一种奇怪的现象：任你怎么集中注意力，两支笔尖总是交错而过。然而，如若你睁着双眼，要想对准笔尖，那是很容易做到的。
由此可见：用两只眼看，能准确判断物体的位置，而用一只眼看却不能。那么，为什么用两只眼睛便能判定物体的准确位置呢？
原来，同一物体在人的两只眼睛中看出来的图像是不一样的，它们之间存在一定的角度差。大脑通过经验分析，将两副平面图合成一副立体的图像。为了证明这一点，你可以把两副从分别从两个差距较小的角度拍摄的图片摆在面前，然后两眼凝视图中央空隙的地方，如此集中精力几秒钟。无须很久，你的眼前便会看见一副立体的图案，与原物体毫无二致。
现在大家再回到“守株待兔”这个问题上来。读者仔细观察一下便会发现，人眼与兔眼的位置是不相同的：人的两眼长在前方，相距很近，而兔的两眼却长在头的两侧。又根据测定，兔子每只眼睛可见视野为189°30’，而人的每只眼睛可见视野约166°。不过，由于人的两眼长在前面，因此两眼同时能看到的视野有124°左右。在这一区域内的物体，人眼能精确判定其位置。而兔眼虽说能看到周围的任何东西，但两眼重合视野只有19°，其中前方10°，后方9°。因此兔子只有在很小的视区内才能准确判断物体的远近。纵然兔子对来自四方的威胁都能敏锐地感觉，但对鼻子底下的东西却完全看不到。所以兔子撞树的事情是可以理解的，况且它在惊慌失措的奔命中呢。
对闭眼打转问题的探讨
公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对闭眼打转的问题进行了深入的研究。他收集了大量事例后分析说：“这一切都是由于人自身两条腿在作怪。长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长一段微不足道的距离。而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子。”
现在大家来研究一下x与y之间的函数关系：假定某个两脚踏线间相隔为d。很明显，当人在打圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆。设该人平均步长为1。那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程。
2π（y+d2）—2π（y—d2）=2πd。
另一方面，这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，即：
2πd=（2πy21）·x。
化简得y=2dlx。
对一般的人，d＝0.1米，1＝0.7米，代入得（单位米）：y=0.14x。这就是所求的迷路人打圈子的半径公式。现在设迷路人两脚差为0.1毫米，仅此微小的差异，就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子。
上述公式中变量x，y之间的关系，在数学上称为反比例函数关系。所谓反比例函数，局势形如y＝k/x（k为常量）这样的函数。它的图像是两条弯曲的曲线，数学上称为“等边双曲线”，它在工业、国防、科技等领域都很有用。
下面大家再来看一个有趣的游戏：