对数的发现过程
16世纪的欧洲随着资本主义的迅速发展，科学和技术也一改中世纪停滞不前的局面。天文、航海、测绘、造船等行业不断向数学提出新的课题。有一个集中暴露出来令人头痛的问题是：在星体的轨道计算，船只的位置确定，大地的形貌测绘，船舶的结构设计等一系列课题中，人们所遇的数据越来越庞杂，所需的计算越来越繁难。无数的乘除、乘方、开方和其他运算，耗费了科学家们大量的极为宝贵的时间和精力。
面对这种局面，数学家们终于出来急其所难，各种门类的表格：平方表、立方表、平方根表、圆面积表等等，便应运而生，人类就这么在表格的海洋中茫然地行驶了半个多世纪，直至16世纪40年代，才迎来了希望的曙光。
公元1544年，著名的哥尼斯堡大学教授，德国数学家斯蒂费尔，在简化大数计算方面迈出了重要的一步。在《普通算术》一书中，斯蒂费尔宣布自己发现了一种有关整数的奇妙性质，他认为：“为此，人们甚至可以写出整本整本的书……”
那么，斯蒂费尔究竟发现了什么呢？原来他比较了两种数列：等比数列和等差数列。
斯蒂费尔把等比数列的各数称为“原数”，而把等差数列的对应数称为“代表者”（即后来的“指数”）。他惊奇地发现：等比数列中的两数相乘，其乘积的“代表者”，刚好等于等差数列中相应两个“代表者”之和；而等比数列中的两数相除，其商的“代表者”，也恰等于等差数列中两个“代表者”之差。斯蒂费得出的结论是：可以通过如同上面那样的比较，把乘除运算化为加减运算。
可以说斯蒂费尔已经走到了一个重大发现的边缘。因为他所讲的“代表者”y，实际上就是现在以2为底x的对数：
v＝log2x。
而使斯蒂费尔惊喜万分的整数性质就是：
log2（M·N）=log2M+log2N。
log2（MN）=log2M—log2N。
历史常常惊人地重复着这样的人和事：当发现已经降临到眼皮底下，只缘一念之差，却被轻轻错过。斯蒂费尔大约就是其中令人惋惜的一个。他困惑于自己的表格为什么可以算出16×256＝4096，却算不出更简单的16×250＝4000。他终于没能看出在离散中隐含着的连续，而是感叹于自己研究问题的“狭窄”。从而在伟大的发现面前，把脚缩了回去。
正当斯蒂费尔感慨于自己智穷力竭之际，在苏格兰的爱丁堡诞生了一位杰出人物，此人就是对数的发明人纳白尔。
纳白尔出身于贵族家庭，天资聪慧，才思敏捷，从小又受家庭的良好熏陶，十三岁便进入了圣安德鲁斯大学的一个学院学习。十六岁出国留学，学识因之大进。公元1571年，纳白尔抱志回国。先是从事于天文、机械和数学的研究，并深为复杂的计算所苦恼。公元1590年，纳白尔改弦更张，潜心于简化计算的工作。他匠心独运，终于在斯蒂费尔的足迹上，向前迈出了具有划时代意义的一步。
说来也算简单。纳白尔只不过是让任何数都找到了与它对应的“代表者”。这相当于在斯蒂费尔离散的表中，密麻麻地插进了许多的中间值，使人看去宛如无数的纬线穿行于经线之中，显示出布匹般的连续。
公元1594年，纳白尔开始精心编制可供实用的对数表。在经历了7300个日日夜夜之后，一本厚达200页的八位对数表终于诞生了。公元1614年，纳白尔发表了《关于奇妙的对数法则的说明》一书，书中论述了对数的性质，给出了有关对数表的使用规则和实例。纳白尔终于用自己20年的计算，换来了人世间无数寿命的延续。法国大数学家拉普拉斯说得好：“如果一个人的生命是拿他一生中的工作多少来衡量，那么对数的发明，等于延长了人类的寿命。”
不幸的是，纳白尔的工作虽然延长了他人的寿命，却没能使自己的生命得以延长。就在纳白尔著作发表后的第三个年头，公元1617年，这位永受后人缅怀的杰出数学家，终因劳累过度，不幸谢世。
纳白尔的对数发明颇具传奇性。当时的欧洲，代数学仍处于十分落后的状态，甚至连指数概念尚未建立。在这种情况下先提出对数概念，不能不说是一种奇迹。纳白尔的对数是从一个物理上的有趣例子引入的：两个质点A、B有相同的初速度v。质点A在线段OR上作变速运动，其速度与它到R的距离成正比；质点B做匀速直线运动。今设AR＝x，O’B＝y，试求x，y之间的关系？
纳白尔经过仔细分析后发现；质点A的瞬时末速度是一个无穷递缩等比数列：
v，v（1—1n）1，v（1—1n）2，v（1—1n）3，…v（1—1n）i，…
从而量x在变化时也可以看成是一个无穷递缩等比数列；而Y在变化时显然可以看成是一个无穷递增的等差数列：
0，v，2v，3v，4v，…，tv，…
这样一来，在变量y与变量x之间便建立起了函数关系。纳白尔把y称为x的对数，用现在的式子来写就是：
y=logIex=ln（1x）
这里符号“ln”表示“自然对数”，对数的底就是上一节故事中讲的e。这与今天课本上讲的“常用对数”有所不同，后者是以10为底的。
在数学上，对数函数的一般表示式为：
y=logax。
改写成指数形式便有：
x＝ay。
在上式中，如果把变量x看成变量y的函数，并改用常用的函数和自变量符号，则有：
y＝ax。
这样得到的函数，我们称为原函数的反函数。两个互为反函数的图像，在同一坐标系里，关于第I、III象限的角平分线为轴对称。反函数图像的这一特性，在上图中可以看得很明显。
对数是17世纪人类最重大的发现之一。在数学史上，纳白尔的对数、笛卡儿的解析几何及牛顿莱布尼兹的微积分三者齐名，被誉为“历史上最重要的数学方法”。
对数于1653年传入我国。公元1664年，我国学者薛风祚（？—1680年）编译了《天学会通》丛书。在国内，这是第一部介绍对数和对数表的著作。
不朽的功绩
斯蒂费尔的“指数”思想，实际上早在2300年前就已有过。公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德在他名著《计砂法》中，就曾研究过以下两个数列：1，10，102，103，104，105，与0，1，2，3，4，5，并发现了幂的运算与指数之间的联系。然而可惜的是，在阿基米德死后，因后继无人而湮灭了。
在斯蒂费尔发现对数后不到60年，在英吉利海峡两边的不同国度里，却几乎同时出现两位新秀：一位是纳白尔，另一位是著名天文学家开普勒的助手——瑞士钟表匠标尔格。标尔格出于天文计算的需要，他于公元1611年，制成了世界上第一张以e为底的四位对数表。
不过，纳白尔的工作是无与伦比的。他的非凡成果，惊动了一位住在伦敦的天文数学家——牛津大学教授布里格斯。布里格斯几乎陶醉于纳白尔奇特而精妙的对数理论，渴望能有机会与这位创造者见上一面。
公元1616年初夏，布里格斯去信给纳白尔，希望能有机会亲自拜访他。纳白尔久仰布里格斯大名，立即回信应允，并订下了相会的日期。不久，布里格斯便登上了前往爱丁堡的旅途。
伦敦与爱丁堡之间路遥千里，而当时最快的交通工具只有马车，虽然日夜兼程，也需要数天时间。而两位科学家却早已心驰神往，大家都极为盼望着这次会面时刻的到来。
可惜“佳期难得，好事多磨”，偏偏在这节骨眼上，布里格斯的马车中途因故抛锚。布里格斯心急如焚，却又无可奈何。此后虽则加速行程，但终因此番耽搁，以致没能如期抵达爱丁堡。
纳白尔在约定的日子里没能布里格斯的身影，焦虑和不安使这位年近古稀的老人，似乎显得更加苍老。时间过去了一天，正当纳白尔望眼欲穿之际，突然门外响起了阵阵铃声。纳白尔喜出望外，急忙向大门奔去……
当风尘仆仆的布里格斯出现在纳白尔面前时，两位初次见面的数学家，像老朋友般紧紧地握住对方的双手，嘴唇颤动着，却久久说不出话来。
在很长一段时间之后，布里格斯终于先开了口：“此番我乐于奔命，唯一的目的是想见到您本人，并想知道，是什么样的天才使您第一次发现了这个对天文学妙不可言的方法。”
这次会面使两位数学家结成了莫逆之交。布里格斯根据自己在牛津大学的讲学经验，建议纳白尔把对数的底数改为10，主张：
log101＝lg1＝0。
log1010＝lg10＝1。
这样，一个数N的对数，便可明确地分成两个部分：一部分是对数首数，只与数N的整数位数有关；另一部分是对数尾数，则由数N的有效数字确定。这就是说，若lgN＝a.××××，
则α=［lgN］0.××××=lgN—［lgN］
纳白尔对布里格斯的建议大为赞赏，认为这种以10为底的对数，对于通常的计算更为实用。就这样，纳白尔又以全部的精力投入了新对数表的制作，直至不幸逝世。他的未竟事业，由布里格斯继承了下去。经历了艰难的八年之后，公元1624年，世界上第一本14位的常用对数表终于问世。不过，布里格斯的对数表实际上并不完全，只有1~2000及90000~100000各数的对数。这一对数表的空隙部分，四年后由荷兰数学家符拉克补齐。
随着对数应用的扩大，各类密度更大、精度更高的对数表相继出现。其中有20位的、48位的、61位的、102位的；而如今雄踞位数榜首的，是亚当斯的260位对数。
同时对数表位数的增加，表格的厚度也越来越厚。四位对数表只需3页；5位对数表就要30页；而6位对数表则需182页；面对着这么一本厚达几百页表格，人们终于引起了反思。实践使他们意识到，表的位数如果多于计算量的度量精度，那么表的位数越高，造成的时间和精力的浪费也就越大。于是，在实用的指导下，人们又逐渐从高位对数表，退回到低位对数表上来。目前全世界的教科书，采用的几乎都是四位对数表，这种表的使用，读者想必是很熟悉的。
对多位对数表反思的另一个结果是更为快速计算工具的诞生。其中最常用的就是计算尺，它的标尺上的读数分为三级，因此可以读出三个有效数字。对精度要求不太高的计算，计算尺是十分方便的。
计算尺的前身是纳白尔算筹，它是纳白尔于公元1617年发明的。那是在一些长方形的板片上刻写数码，对起来进行乘除、乘方、开方运算。纳白尔算筹于公元1645年由我国学者汤若望引进国内，当时国内学者对此兴趣颇高。这种算筹目前北京故宫博物馆仍然藏有数套。
对数表和计算尺源出同宗，但优劣各异：精度高的速度慢；速度快的精度低。是否存在得兼两者长处的计算工具呢？几个世纪来，科学家们用自己的聪明才智，进行着努力的探索。
公元1642年，法国数学家帕斯卡制造出了世界上第一台加法计算机，率先向这个难题提出挑战。
公元1677年，著名的德国数学家莱布尼兹发明了乘法计算机。
公元1847年，俄国工程师奥涅尔研制成了世界上第一部功能完善的手摇计算机。
我国人工计算机的研制工作起于清初康熙年间。公元1685年至公元1722年期间我国自行制造的原始手摇计算机，至今仍有十台，保存于故宫博物馆。
世界上第一台电子计算机，是公元1946年，在美籍匈牙利数学家冯·诺依曼领导下制成的。它标志着人类开始走进一个新的时代——电子时代。今天，电子计算机已经更新了好几代，面目远非半个多世纪前所能相比，各式各样先进的电子计算工具，也早已替代了计算尺和对数表。然而，对数表的发明和它在历史上的功绩，将永远被历史所铭记。
指数函数的威力
美国著名的科学家，避雷针的发明人，本杰明·富兰克林一生为科学和民主革命而工作，他死后留下的财产只有1000英镑。令人惊讶的是，他竟留下了一份分配几百万英镑财产的遗嘱。这份有趣的遗嘱是这样写的：
“……1000英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这1000英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息。这款子过了100年增加到131000英镑。我希望，那时候用100000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31000英镑拿去继续生息100年。在第二个100年末了，这笔款增加到4061000英镑，其中1061000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3000000英镑让马萨诸州的公众来管理。过此之后，我可不敢多作主张了。”
富兰克林，留下区区的1000英镑，竟立了百万富翁般的遗嘱，莫非昏了头脑？让我们按照富兰克林非凡的设想实际计算一下。请看面的计算：
b1=A1ao=1+5%；
b2=A2ao=（1+5%）2；
b3=A3ao=（1+5%）3；
从而bn=Anao=（1+5%）n。
上式是函数y＝ax的特例，此时a＝1.05。在数学上把形如y＝ax的函数称为指数函数，其中a约定为大于0且不等于1的常量。
上图画出了指数函数y＝2x，y＝10x，y＝（1/2）x的图像，从图像容易看出：当底a大于1时，指数函数是递增的，而且越增越快；反之，当底a小于1时，指数函数递减。让我们观察故事中bn＝1.05n值的变化，不难算得：
当x＝1时，b1＝1.05；
当x＝2时，b2＝1.103；
当x＝3时，b3＝1.158；
当x＝100时，b100＝131.501。
这意味着，上面的故事中，在头一个100年末富兰克林的财产应当增加到A100=1000×1.05100=131501（英镑）
这比富兰克林遗嘱中写的还多出501英镑哩。在第二个100年末，他拥有的财产就更多了。
A’100=131501×1.05100=4142421（英镑）
可见富兰克林的遗嘱在科学上是站得住脚的。由此可见，指数函数的威力。
历史上因此而吃了亏的不乏其人，大名鼎鼎的拿破仑就是其中的一位。公元1797年，当拿破仑参观国立卢森堡小学的时候，赠送了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺说，只要法兰西共和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征。此后，由于火与剑的征战，拿破仑忘却了这一诺言。当时间的长河向前推进了近一个世纪之后，公元1894年，卢森堡王国郑重向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”，要求法国政府在拿破仑的声誉和1375596法郎的债款中，二者选取其一。这笔高达百万法郎的巨款，就是三个金路易的本金，以5%的年利率，在长达97年的指数效应下的产物。这一历史公案使法国政府陷入极为难堪的局面，因为只要法兰西共和国继续存在，此案将永无了结的一天。
不过，指数效应更多是积极的方面。