出类拔萃的“建筑师”
生物的进化，积数亿年的优胜劣汰。仍能繁衍至今的，往往包含着“最经济原则”的启迪。出类拔萃的“建筑师”蜜蜂建造的蜂窝，大概是最使人心悦诚服的实例。
如果你细细的观察蜂窝的立体截面图，你可以清楚地看到：虽然蜂窝的横断面是由正六边形组成，但蜂房并非正六棱柱，房底系由三个菱形拼成。为了想像得更加具体一点：拿来一枝正六棱柱的铅笔，未削之前，铅笔一端的形状是一个的正六边形ABCDEF，通过AC，一刀切下一角，然后沿着AC把切下的那一角翻到顶面上去；过AE、CD各切同样一角，同AC一般翻转上去，便堆成了蜂房那样形状。而蜂窝则是由这样的蜂房底部和底部相接而成的。
蜂房为什么是正六边形的？因为周长一定的所有图形中圆的面积最大，然而圆是不能铺满平面的，因此不得不让位给正多边形。那么，究竟有多少种正多边形能够铺满平面呢？读者只需注意到，这样的正多边形内角必能拼成一个周角，就容易明白：这样的正多边形只能有三个，即正三角形、正方形和正六边形。从下表可以看出，以上三种图形中正六边形是最经济的一种。
但是，蜂房底部的构造就不那么一目了然了。
18世纪初，法国学者马拉尔琪曾实测了蜂房底部的菱形，得出一个令人惊异的有趣结论：拼成蜂房底部的每个菱形蜡板，钝角都等于109°28’，锐角则等于70°32’，如下图。
不久，马拉尔琪的发现传到了另一位法国人列奥缪拉的耳朵里。列奥缪拉是一名物理学家，他想，蜂房底部的结构，大概应该是最节省材料的。然而列奥缪拉却没有理出个头绪，只好去请教巴黎科学院院士，瑞士数学家克尼格。克尼格经过精心计算，得出了更加令人震惊的结果：根据理论上的计算，建造同样大小的容积，而用材料最少的蜂房，其底部菱形的两角应是109°26’和70°34’。这与实测的结果仅差2’。
人们对克尼格的计算技巧和聪明才智倍加赞赏，同时认为蜜蜂在这样细小的构筑上仅仅误差2’是不足为奇的。
然而，一个偶然的事故，证明了蜜蜂确实是出类拔萃的，建造的房穴是毫厘不差的。一艘船只因用克尼格用过的对数表确定方位，不幸遇难。在调查事件起因时，发现船上用过的那张对数表竟然有些地方印错了。这件事引起了一位著名的苏格兰数学家马克劳林的注意。公元1743年，马克劳林重新计算了最经济的蜂房结构，得出菱形钝角应为109°28’，锐角为70°32’，与马拉尔琪的实测结果丝毫不差。克尼格由于对数表的差误，算错了2’。
读者一定很想了解克尼格和马克劳林的计算。不过两个半世纪来，人们已经找到了许多有别于他们的更加简便的算法。
那大家先把问题先作一番简化。本节开头讲过，蜂房底部的构造可以看成是把正六棱柱切去三个角，然后翻转到顶面堆砌而成。这样的图形显然没有改变原来正六棱柱的体积，现在问题的症结是：翻转后的表面积是增加呢还是减少？
不妨假定正六棱柱边长为1，切去三个角的高为x，很显然，经过切割翻转后的蜂房模型，比起原正六棱柱来说，表面积少了一个面积为332的顶面和六个直角遍尝为1，X的小直角三角形（图中阴影部分为一个小直角三角形）；但却多了三个边长为1+x2，又一条对角线为3的菱形面积。由于菱形面积S，可以很容易地计算出So=3·（1+x2）—322=123·1+4x2。
这样，表面积的增加量，便可以表示为x的函数f（x）：
f（x）=3So—2So—332。
=3321+4x2。
—3x—332。
显然，使表面积增加量f（x）达最小值的x，便是最经济蜂房所要求的。让我们介绍一种，由南京师大附中学生找到的，求f（x）的最小值的方法：
令y=f（x）+332。
则y+3x=3321+4x2。
两边平方并加以整理得；
x2—（y3）x+（38—y218）≥0。
由于x必须为实数，从而上述二次方程的判别成：
Δ=y29—4×（38—y218）≥0。
因为y23—32≥0，y＞0，所以，ymin=322。
将上述y的最小值代入求x得：x=24。所以菱形的边长为324，利用三解函数定义可以算出菱形的钝解α和锐角β：
Sinα2=32334=63=0.8165。
查反正弦函数表可得：
α2=54°44’
α=109°28’β=70°32’
从狄多问题谈起
传说泰雅王的女儿狄多从他身边逃走之后，历尽艰险终于抵达非洲海岸。在那里她成了迦太基人的奠基者和传说中的第一位女王。
狄多到非洲后的第一个计策是：向当地土著购买依傍海岸的一块“不大于一张犍牛皮所能围起来的”土地。她把犍牛皮割成又细又长的条子，又把这些长条连接成一根细长的绳子。她想利用这条绳子及海岸线，怎样才能围出最大的土地？
事实上，假定海岸线1为直线，而长度为α的弧线AXB已经围出最大的一块面积。那么，利用镜像的方法，由弧AXB和它关于海岸1的轴对称图形——弧线AX’B，所组成的封闭图形，也一定是用2a长的周界所能围出的最大面积。那么，在周长一定的图形中，究竟怎样的图形才能包围最大的面积呢？下表列出了周长为4厘米的各种图形的面积。
等圆图形相应面积（平方厘米）
等腰直角三角形0.6863。
矩形（3∶1）0.7500。
等边三角形0.7698。
矩形（2∶1）0.8889。
60°的圆扇形0.9022。
半圆0.9022。
矩形（3∶2）0.9600。
四分之一圆0.9856。
正方形1.0000。
圆1.2732。
看了这张表，可能读者已经猜到，周长一定面积最大的图形是圆。事实果真如此。自然界和人工制品中，圆的形状更是比比皆是。这大概都是因为圆是“最经济”的图形：周长一定，面积最大；或面积一定，周长最短。
不过猜想毕竟不等于真理，从猜想到真理还需要严格的证明。
事实上，无论是狄多问题或是等周问题，解答的图形不可能是凹的。因为倘若图形中有一处是凹的，那么便可以把凹的部分，如同上图那样翻转出去，得到一个周长不变但面积增大了的新图形。
下面我们只讨论狄多问题，因为倘若能证明狄多问题的解答是半圆，那么等周问题的解答就是一个整圆。
现在假定曲线弧AXB是狄多问题的解答。令P为弧线AXB上任意一点，我们说∠APB一定是直角。因为如若∠APB＝a≠90°，则我们可以把AP、BP连同它上面的一块阴影图形，如同上图从I到II那样，张开成90°角。前后两个图形的曲线弧长显然没有改变，但两者的面积SI=（S1+S2）+12AP·BP·sinα。
SII=（S1+S2）+12AP·BP。
因为α≠90°
所以SI＜SII。
这与图形I面积最大的假定矛盾，从而证明了曲线弧AXB上的点，立于线段AB上的角均为直角。即证明弧AXB为半圆弧。这也就解决了狄多问题和等周问题。
中世纪意大利诗人但丁说过：“圆是最完整的图形”。圆对于人类最深刻的印象，莫过于圆周上的点到圆心的距离相等。车轮正是由于它的等长的车辐，而使车轴处于一定的高度，从而才能平稳地水平运动。
圆的任意两条平行切线之间距离都是相等的，都等于直径。四千年前的古埃及人，大概就是把一块又一块的巨石放在圆木棍上滚动着推到金字塔顶的。假如没有圆的这种“等宽度”的特性，我们这个星球的文明，不知要往后推迟多少年。
然而令人惊异的是，对于完成滚动来说，棍的横断面未必要是圆的。这一点大多数读者可能难以置信，但却是千真万确的事实。曲边三角形就是最简单的具有“等宽度”性质的图形：三条曲边是相等的圆弧，而每个圆弧的中心，恰是它所对角的顶点。显然，这种曲边三角形的三段弧，具有共同的半径r，而且整个曲边三角形可以在边长为r的正方形内，紧密自由地转动，用这种图形做断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不至于上下颠簸。这种具有奇特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发现的，所以叫做鲁列斯曲边三角形。
利用鲁列斯曲边三角形的原理，我们还可以构造出其他“等宽度”曲线。关键在于：让圆弧的中心是它所对角的角顶，从而画出一组具有等半径的圆弧。左下图就是这类型“等宽度”曲线。
等宽度曲线还有其他种类。如上图是一种由六段圆弧连接而成的曲边多边形。它最明显不同于鲁列斯三角形的地方，是周边没有尖点。
等宽度曲线最惊人的性质是巴比尔发现的：有相同宽度d的等宽度曲线，具有相同的周长πd。希望读者自己用已见过的等宽度曲线去验证。
捷径的迷惑
有位地理老师提问一位学生：“请指出从上海到广州距离最短的路。”学生看了看摆在讲台上的地球仪，从容答道：“是一条挖通广州与上海的直线隧道。”