函数概念的发展
数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用，有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。函数就是这样的重要概念。
回顾一下函数概念的发展史看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情。
马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究。由于罗马时代的刁藩都对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽。
自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上？行星运行的轨道是椭圆，原理是什么？还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源。
早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义。
1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为y（x）。
当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”。
18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法；在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”；而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”。现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延。
函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾。例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立。1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学。他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究。
后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数。“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步。”
在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式。1822年，他在名著《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个。”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数。更确切地说就是，任意一个以2π为周期函数，在〔—π，π〕区间内，可以由级数和表示出，其中富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动。原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍。
通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克雷的函数定义。
1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系以求出每一个x的对应值。
1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数。”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式。这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便。因此，这个定义曾被比较长期的使用着。至此，我们可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。
自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，1914年豪斯道夫在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶（a，b）为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）。元素x称为自变元，元素y称为因变元。
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac—δ函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac—δ函数等概念统一了起来。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成——函数。中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。
遗憾的斯蒂费尔
16世纪的欧洲随着资本主义的迅速发展，科学和技术也一改中世纪停滞不前的局面。天文、航海、测绘、造船等行业不断向数学提出新的课题。有一个集中暴露出来令人头痛的问题是：在星体的轨道计算，船只的位置确定，大地的形貌测绘，船舶的结构设计等一系列课题中，人们所遇的数据越来越繁杂，所需的计算越来越繁难！无数的乘除、乘方、开方和其他运算，耗费了科学家们大量的极为宝贵的时间和精力。
面对这种局面，数学家们终于出来急其所难，各种门类的表格：平方表、立方表、平方根表、圆面积表等等，便应运而生，人类就这么在表格的海洋中茫然地行驶了半个多世纪，直至16世纪40年代，才迎来了希望的曙光。
公元1544年，著名的哥尼斯堡大学教授，德国数学家斯蒂费尔（1487—1567年），在简化大数计算方面迈出了重要的一步。在《普通算术》一书中，斯蒂费尔宣布自己发现了一种有关整数的奇妙性质，他认为：“为此，人们甚至可以写出整本整本的书……”
那么，斯蒂费尔究竟发现了什么呢？原来他如同下表比较了两种数列：等比数列和等差数列。
斯蒂费尔把等比数列的各数称为“原数”，而把等差数列的对应数称为“代表者”（即后来的“指数”）。他惊奇地发现：等比数列中的两数相乘，其乘积的“代表者”，刚好等于等差数列中相应两个“代表者”之和；而等比数列中的两数相除，其商的“代表者”，也恰等于等差数列中两个“代表者”之差。斯蒂费尔得出的结论是：可以通过如同上面那样的比较，把乘除运算化为加减运算！
可以说，斯蒂费尔已经走到了一个重大发现的边缘。因为他所讲的“代表者”y，实际上就是现在以2为底x的对数y=logx2而使斯蒂费尔惊喜万分的整数性质就是：
log2（M·N）=log2M+log2N
log2（MN）=log2M—log2N
历史常常惊人地重复着这样的人和事：当发现已经降临到眼皮底下，只缘一念之差，却被轻轻错过！斯蒂费尔大约就是其中令人惋惜的一个。他困惑于自己的表格为什么可以算出16×256＝4096，却算不出更简单的16×250=4000。他终于没能看出在离散中隐含着的连续，而是感叹于自己研究问题的“狭窄”，从而在伟大的发现面前，把脚缩了回去！
纳皮尔与对数
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（1550—1617年）男爵。
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。
纳皮尔出身于贵族家庭，天资聪慧，才思敏捷，从小又受家庭的良好熏陶，13岁便进入了圣安德鲁斯大学的一个学院学习。16岁出国留学，学识因之大进。公元1571年，纳皮尔抱志回国，先是从事于天文、机械和数学的研究，并深为复杂的计算所苦恼。公元1590年，纳皮尔改弦更张，潜心于简化计算的工作。他匠心独运，终于在斯蒂费尔的足迹上，向前迈出了具有划时代意义的一步！
当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、……
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。
比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6+8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。
纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。回忆一下，在中学“运用对数简化计算”中采用的不正是这种思路吗？计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了。这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？
公元1594年，纳皮尔开始精心编制可供实用的对数表。在经历了7300个日日夜夜之后，一本厚达200页的八位对数表终于诞生了！公元1614年，纳皮尔发表了《关于奇妙的对数法则的说明》一书，书中论述了对数的性质，给出了有关对数表的使用规则和实例。纳皮尔终于用自己20年的计算，换来了人世间无数寿命的延续！法国大数学家拉普拉斯说得好：“如果一个人的生命是拿他一生中的工作多少来衡量，那么对数的发明，等于延长了人类的寿命！”
不幸的是，纳皮尔的工作虽然延长了他人的寿命，却没能使自己的生命得以延长。就在纳皮尔著作发表后的第三个年头，公元1617年，这位永受后人缅怀的杰出数学家，终因劳累过度，不幸谢世。
对数是17世纪人类最重大的发现之一。在数学史上，纳皮尔的对数、笛卡尔的解析几何及牛顿—莱布尼兹的微积分三者齐名，被誉为“历史上最重要的数学方法”！
对数于1653年传入我国。公元1664年，我国学者薛风祚（？—1680年）编译了《天学会通》丛书。在国内，这是第一部介绍对数和对数表的著作。
数学证明的推导过程
数学逻辑演绎是根据或公理化的方法建立起来的，数学证明只是证明了人为规定性的内容，证明只是在人为规定的范围内有效，一旦失去适用的前提则完全失效。数学证明只能证明在人为规定性上的公理化正确，然而人为规定性的公理化却无法解决自身所存在的困难，无法保证正确。证明或推导又是在这个基础上进行的，难道不会发生问题吗？
数学证明是严密的，数学的内部结构是非常严格严密严谨的，可是前置的前提基础却是极其脆弱的充满了危机，有可能存在严重的虚假问题。数学认识上的形式系统只是在数学体系内存在，而公理系统的前提基础却在数学系统以外，在数学体系外失效，正确与错误不是数学所能解决得了的。