由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿岸跑一段路程后再游水追赶船，这样才有可能追上，所以本题应讨论的问题不是同一直线上的追及问题。只有当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中行驶的轨迹它们三者组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。我们可以假设船速为v（未知），人在岸上跑的速度和水中游的速度仍为题目所给定的常数。因人在岸上跑所用的时间与人在水中游所用的时间之和等于船在水中行驶所用的时间，所以当v≥4km/h时，人是不可能追上小船的。当0≤v≤2km/h时，人不必在岸上跑，而立即从同一地点直接下水就可追上小船。因此只有先设法求出它们三者能构成三角形的最大速度vmax，再与现有船速进行比较，即可判断人能否追上小船。
如果我们设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为t的k倍0<k<1，则人在水中游的时间应为（1—k）t。人要追上船，则人船运动路线满足如图所示的三角形：
OA=4kt，AB=2（1—k）t，PB=vt，
∴在OAB中，由余弦定理得：AB2=OA2+OB2—2OAOB·cos15°，即
4（1—k）2t2=（4kt）2+（vt）2—2.4kt·vt·cos15°，
整理得：
12k2—\[2（6+2）v—8\]k+v2—4=0（1）
要使（1）式在（0，1）范围内有实数解（在分析中已讨论了0≤v≤2与v≥4的情况，这里考虑2＜v＜4），则有：
0＜v2—412＜1=\[2（6+2）v—8\]2—4·12·（v2—4）≥0
解之得：2＜v≤22即vmax=22km/h
当船速在（2，22）内时，人船运动路线可以构成三角形，即人能追上小船。船能使人追上的最大速度为22km/h，由此可见当船速为2.5km/h时，人可以追上小船。
在上述解题过程中，我们首先是建立了几何模型，即OAB；其次是通过几何模型的边角关系建立了方程模型，即方程（1）；最后是根据方程（1）有解的条件建立了不等式模型并通过解不等式解答了本问题。以上解题步骤次序明显，环环相扣。
月球有多远？多大？
如果从地球上A点看，月球S刚好在地平线上（即AS和地球半径OA垂直），而同时从地球上B点看，S刚好在天顶处（即S在地球半径OB的延长线上），那么∠S就叫做月球S的地平视差。根据一个天体的地平视差，可以算出这个天体的距离。∠S可以从∠AOB算出，而∠AOB可以从地球上A、B两点的经纬度算出。月球S的地平视差（∠S），就是从月球S看来，垂直于视线（SA）的地球半径（OA）所对的角。
已知地球半径R=6370千米，月球的地平视差是57′，我们就可以计算月球离我们的距离。
在RtOAS中，
sinS=OAOS
OS=OAsinS
∵OA=R=6370公里，∠S=57′，
OS=OAsinS=6370sin57′
=63700.01658=384000（公里）
即月球离地球的距离是三十八万四千公里。
一般地，已知地球半径R，又已知一个天体的地平视差α，那么这个天体离地球的距离D可以从下式算出：
D=Rsinα
但是用这个方法测定天体的距离，只适用于较近的天体，例如太阳系的天体，如太阳、行星和地球的卫星等，对于更远的天体，如其他恒星，则因地平视差非常小，几乎等于零，这个方法就不适用，而要用其他的方法来测定它们的距离。由于需要的知识比较复杂，在此不加介绍。
当我们已知月球离我们的距离时，就可以测定月球直径的大小。把一个五分的硬币（直径2.4厘米），放在离眼睛2.6米的地方，大致能把整个月亮面遮住。
由OAB~OCD，可得：
CDAB=OFOE（相似三角形对应高的比等于相似比）。
把AB=0.024米，OF=384000000米，OE=2.6米代入，得
CD=0.024×3840000002.6≈3500000（米）
就是说，月球的直径约是3500公里。
另一种测定月球直径大小的方法，需要观测月球对地球上一点所张的视角θ
假如观测到月球对地球上一点所张的视角是32′。那么怎样计算出月球的大小呢？如图5，设r是月球的半径，d是月球离地球的距离，θ是月球对地球上一点所张的视角。利用直角三角形解法，
r=dsinθ2
其中d=384000000米，θ2=32′2=16′，所以
r=384000000×sin16′
=384000000×0.00465
≈1790000（米）。
就是说，月球半径约是1790公里，即月球直径约是3580公里。
上面两种方法测得的月球的直径不一样，就因为测量难免有误差，不同的测量方法精确程度也不同，所测得的结果都是月球离地球距离的近似值的缘故。
现在如果告诉你太阳的地平视差是8.8″，太阳对地球一点所张的视角恰好也是32′，你应该会计算太阳与地球的距离及太阳直径的近似值了吧！不过在计算中需知的sin8.8″的值从我们常用的三角函数表中查不到，因此，还要告诉你sin8.8″=0.0000427，且太阳离地球的距离是一亿五千万公里。
雷达怎样测到目标的高度？
雷达发出波束，到达目标后反射回来。根据波束的速度和来回时间，可以计算出雷达到达目标的倾斜距离d。
同时还可测得目标的高低角θ。
这时目标的高度h是h=dsinθ。
如果考虑地球表面弯曲，那么在上面的式子中，还要加上一项d22R，得到计算目标高度h的近似公式
h=dsinθd22R。
上式中R是地球半径，约等于6370公里。
这个近似公式是怎么得来的呢？
如图3所示，A点表示地面雷达的位置，B点表示空中目标的位置。一般倾斜距离AB=d对于地球半径来说非常小，因此中心角∠AOB非常小。
连结OB（O是地球中心），并作切线AC交OB于C。所以
∠OAC＝90°，
而∠ACB=∠OAC+∠AOB
≈∠OAC=90°，
即AC可近似地看作垂直于BC，
∴BC≈dsinθ。
根据切割线定理，从圆外一点C作切线CA和割线CF，那么割线（CF）和割线在圆外部分（CE）的积等于切线（CA）的平方，即
CE·CF=CA2。
因为CF≈2R，CA≈d（倾斜角θ一般很小），所以上式成
CE·2F=d2，
即
CE=d22R
因此所求的目标高度h为
h=BC+CE≈dsinθ+d22R。
例如d=50公里，θ=10°，则
h=dsinθ+d22R
=50sin10°+5022×6370
=8.7+0.2
=8.9（公里）。
即目标高度约是8900米。
实际上，雷达上附设有高度——距离指示屏。目标A、B、C，可在高度——距离指示上看到。
军事上测量距离的方法
测量距离，在战场上的用处最大，在简易测绘中最为重要，方法也最多。在这里，我们只能拣些最简单实用的讲一讲。
1.步测
每人都有一副灵便的尺子，随时带在身边，使用起来十分方便。这副尺子就是我们的双脚。
用双脚测量距离，首先要知道自己的步子有多大？走的快慢有个谱。不然，也是测不准确的。
《队列条令》上对步子的大小有个规定，齐步走时，一单步长七十五厘米，走两单步为一复步，一复步长一米五；行进速度每分钟一百二十单步。
为什么规定步长一米五，步速每分钟一百二十单步呢？这是根据经验得来的。无数次测验的结果说明：一个成年人的步长，大约等于他眼睛距离地面高度的一半，例如某人从脚跟到眼睛的高度是150厘米，他的步长就是75厘米。
还有一个经验：我们每小时能走的公里数，恰与每三秒钟内所迈的步数相同。例如，你平均三秒钟能走五单步，那每小时你就可以走五公里。
这两个经验，只是个大概数，对每个人来说，不会一点不差，这里有个步长是否均匀，快慢能否保持一致的问题。要想准确地测定距离，就要经常练习自己的步长和步速。
怎么练习呢？连队不是天天出操、练步伐吗？这就是练习步长和步速的极好机会。
还有个练习的办法，在公路上，每隔一公里就有一块里程碑，你可以经常用步子走一走，算算步数，看看时间，反复体会自己的步长和速度。
掌握了自己的步长和步速，步测就算学会了。步测时，只要记清复步数或时间，就能算出距离。例如，知道自己的复步长1.5米，数得某段距离是540复步，这段距离就是：540×1.5米=810米。若知道自己的步速是每分钟走54复步，走了10分钟，也可以算出这段距离是：54×10=540复步，540×1.5米=810米。根据复步与米数的关系，我们把这个计算方法简化为一句话：“复步数加复步数之半，等于距离。”就能很快地算出距离来。
2.目测
人的眼睛是天生的测量“仪器”，它既可以看近，近到自己的鼻子尖，又能看远，远到宇宙太空的天体。用眼睛测量距离，虽然不能测出非常准确的数值，但是，只要经过勤学苦练，还是可以测得比较准确的。在我军炮兵部队中，有许多同志练出了一手过硬的目测本领，他们能在几秒钟内，准确地目测出几千米以内的距离，活像是一部测距机。
怎样用眼睛测量物体的距离呢？
人的视力是相对稳定的，随着物体的远近不同，视觉也不断地起变化，物体的距离近，视觉清楚，物体的距离远，视觉就模糊。
而物体的形状都有一定规律的，各种不同物体的远近不同，它们的清晰程度也不一样。我们练习目测，就是要注意观察、体会各种物体在不同距离上的清晰程度。观察的多了，印象深了，就可以根据所观察到的物体形态，目测出它的距离来。例如当一个人从远处走来，离你2000米时，你看他只是一个黑点；离你1000米时，你看他身体上下一般粗；500米时，能分辨出头、肩和四肢；离200米时，能分辨出他们的面孔、衣服颜色和装具。
这种目测距离的本领，主要得靠自己亲身去体会才能学到手。下面这个表里列的数据，是在一般情况下，正常人眼力观察的经验，提供大家参考。
不同距离上不同目标的清晰程度
距离（米）分辨目标清晰程度
100人脸特征、手关节、步兵火器外部零件。
150—170衣服的纽扣、水壶、装备的细小部分。
200房顶上的瓦片、树叶、铁丝。
250—300墙可见缝，瓦能数沟；人脸五官不清；衣服、轻机枪、步枪的颜色可分。
400人脸不清，头肩可分。
500门见开关，窗见格，瓦沟条条分不清；人头肩不清，男女可分。
700瓦面成丝；窗见衬；行人迈腿分左右，手肘分不清。
1000房屋轮廓清楚，瓦片乱，门成方块窗衬消；人体上下一般粗。
1500瓦面平光，窗成洞；行人似蠕动动作分不清。
2000窗是黑影，门成洞；人成小黑点，停、动分不清。
3000房屋模糊，门难辨，房上烟囱还可见。
你觉得根据目标的清晰程度判断距离没有把握时，还可以利用与所在地的已知距离，相互进行比较，有比较才能判定。比如，两电线杆之间的距离，一般为五十米，如果观测目标附近有电线杆，就可以将观测的物体与电线杆间隔比较，然后再判定。现地没有距离比较时，就用平时自己较熟悉的50米、100米、200米、500米等基本距离，经过反复回忆比较后再判定。如果要测的距离较长，可以分段比较，尔后推算全长。
由于天候、阳光、物体颜色和观察位置、角度的不同，眼睛的分辨力常会受到影响，目测的距离就会产生误差。
晴天：面向阳光观测，眼睛受到光线的刺激，视力会减弱，容易把物体测远了；如背向阳光观测，眼睛不受光线刺激，物体被阳光照射得清晰明亮，容易把物体测近了。
阴天或早晚天色较暗时：能见度减弱，物体显得模糊，容易把目标测远了。
雨后：空气清新，物体颜色鲜明，又容易把目标测近了。
在开阔地形上目测，或隔着水面、沟谷观察，或从高处往低处观察，都容易把目标测近了。
应根据各种具体情况，经过艰苦练习，反复体会，摸出自己的经验。俗话说：“熟能生巧”，练得多，体会深，经验丰富了，就能比较准确地目测出物体的距离来。
3.用步枪测
战士手中的半自动步枪、冲锋枪、轻机枪等，都是消灭敌人的武器；可是在简易测绘上又有它的新用途，它既是武器又是一具出色的测距“仪器”，使用起来迅速方便。在你对敌人射击，进行瞄准的同时，就能测出距离来，这对于选定标尺分划和瞄准点来说，是非常及时适用的。
武器怎么还能测量距离呢？
这是根据准星的宽度能遮盖目标的情况计算出来的，所以叫准星覆盖法。工厂里制造武器，都是有一定尺寸的，如准星的宽度是2毫米，瞄准时眼睛到准星的距离，各种武器都可以直接量出（如半自动步枪为74厘米）。目标（主要是人体）的宽度一般是50厘米。这样，根据相似三角形成比例的道理，就可以计算出各种武器在不同距离上准星宽度与目标（人体）宽度的关系。根据计算，当准星宽度恰好能遮住一个人体时，距离武器的距离分别是：半自动步枪200米，冲锋枪160米，轻机枪170米；若遮住半个人体，就是它们距离的一半，即100米、80米和85米；若准星的一半就能遮住一个人体，那就是它们距离的一倍，即400米、320米和340米了。所以，只要记住准星遮盖目标的情况，就能立即估出距离来。
4.用指北针测
指北针不但能给东西南北方向，还能告诉你到目标的距离。
工厂在设计制造指北针时，就已经考虑到用它测量距离的问题了。打开指北针，你马上就能发现有准星、照门。准星座两侧尖端的宽度恰好是准星座到照门距离的十分之一。准星座就是估计判定距离的，所以叫“距离估定器”。
测量距离时，将指北针放平，用右眼通过照门、准星观察目标，记住距离估定器照准所处地的宽度，然后目测所处地的宽度，并将该宽度乘以10，就是到目标的距离。若目标太窄也可以用估定器的一半照准，则应乘以20。
例如，测得敌坦克约为估定器的一半，已知敌坦克长约7米，则可以算出到坦克的距离为：7米×20=140米。
5.用臂长尺测
人都有一双胳臂，如果问他：你的臂有多长？他可能摇头说没量过。若要再问“臂长尺”是怎么回事？恐怕就更无法回答了。这是因为他还不知道自己的胳臂还能测距离。其实，说开了，臂长尺就是一支刻有分划的铅笔（或木条）。可是和手臂一结合起来，就变成一具非常灵活方便的测距“仪器”了。
铅笔上的分划，是按每个人臂长（手臂向前平伸，从眼睛到拇指虎口的距离）的百分之一为一个分划刻画的，所以叫臂长尺。比如，某人的臂长是60厘米，那么臂长尺上的一个分划就是6毫米。有了臂长尺，只要事先知道目标的大小，就可以用臂长尺测出距离。
那么距离是怎样计算的呢？前面已经说过，臂长尺上的每个分划是臂长的百分之一，如果目标的高度（或宽度）占一个分划时，也正好是距离的百分之一，占两个分划，就是百分之二。这样，根据相似三角形成比例的道理，距离：目标高度（间隔）=100（臂长）∶分划数（臂长尺），就可以得出求距离的公式：
距离=高度（间隔）×100分划数