书城教材教辅新课改·高一数学备课素材
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第9章 集合与简易逻辑(9)

请想一想,如果旅游者的问题为:“你是相邻的另一岛上的居民吗?”那么,能根据任一人的回答来判断提问地是何岛吗?为什么?试通过列表的方式说明理由。

数学中有个分支叫做数理逻辑,它通过数学方法来研究逻辑规律。在数理逻辑中,列表法是一种基本的研究方法,只是其中表的形式与本文中的表有许多不同,使用了一些有关命题、真值的抽象符号,但其基本思想与我们用表讨论问题的思想是大体一致的,都是通过列表来分析和说明问题。数学是以逻辑推理为重要研究方法的学科。所谓逻辑推理,就是合乎事理的、有根有据的推导判断。“问路问题”中的旅游者正是推理的高手,他所提的问题正是推理的产物。同学们应在数学学习中注意提高自己的逻辑推理能力,使自己勤于思考并且善于思考,成为聪明人。

判断帽子颜色的逻辑趣题

老师手中拿有三顶白色帽子和两顶红色帽子,他让三个学生按前后顺序站成一列,然后让他们闭上眼睛,给他们每人戴上一顶帽子,并将剩下的两顶帽子藏了起来。三人睁开眼睛后,后面的人可以看见前面人的帽子颜色。这时老师问:“你们谁能判断出自己戴的帽子的颜色?”结果三人都说:“不能!”老师又说:“你们再考虑考虑,能判断出来吗?”三人思考了一会儿,还是都说:“不能!”老师再一次问:“真的不能吗?”,这时,站在最前面的同学突然说:“老师,我知道我戴的帽子颜色了!”请问,这位同学戴的帽子是什么颜色的?他又是怎样判断出自己帽子的颜色的?

不妨从前到后记三人为甲乙丙,第一次问,甲乙自然无法判断,而丙也无法判断,说明甲乙二人戴的帽子颜色为“两白”或“一红一白”;第二次问,丙的情形没有变化,也无法判断,这时,甲和乙可以动脑筋了,既然甲乙的帽子颜色为“两白”或“一红一白”,如果乙看到甲的帽子颜色为红色,则乙的帽子颜色肯定为白色,这样乙就应该在老师第二次提问时回答出答案,这说明乙看到的甲的帽子颜色为白色,因此乙无法判断自己帽子的颜色。

这样,当老师第三次提问时,甲就可以利用前两次乙和丙“不知道”的回答给自己的提示,从而准确地判断出自己所戴帽子的颜色为白色。

“二难”的格局

孙膑是中国古代著名的军事学家,他的兵法众人皆知。一天,大王决定要考一考孙膑的才能,便对孙膑说:“请你用计让我走下我的宝座。”一旁的庞涓争着说:“我把大王拖下来!”大王对他的答案立即给予否定:“这不是用计!”庞涓又说:“那我用火烧!”大王也不以为然,这时孙膑说:“大王,要你走下宝座确实不易,但如果你来到宝座下面的话,我可以用计让你走回去!”大王一心要试一试孙膑的智力,毫不犹豫地走了下来等待孙膑用计,这时孙膑说:“大王,我已经成功了!”大伙儿一时都糊涂了。这是怎么回事呢?

其实这是孙膑给大王设下了一个“二难”的格局,如果大王不下宝座,则孙膑的前提“如果你来到宝座下面”不成立,这样我的智力无法表现出来了,而如果大王走下宝座,则“我已经让你走下了宝座”。因此,无论大王怎么样动作,孙膑都能够保证自己至少不输!

肖像在哪只盒子里

数学家斯摩林根据莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的情节编了一道题:女主角鲍西娅对求婚者说:“这里有三只盒子:金盒、银盒和铅盒,每只盒子的铭牌上各写有一句话。三句话中,只有一句是真话。谁能猜中我的肖像放在哪一只盒子里,谁就能作我的丈夫。”盒子上的话见图,求婚者猜中了,问:他是怎样猜中的?

我们可以首先从问题中的一些关联条件出发,借助图形加以分析,找出解题的突破口与关键,再应用形式逻辑的一般规律等数学知识,以及生活中的常识,作出推理、判断,使问题获解。

当求婚者看到金盒上面的铭牌“肖像在这盒里”(即肖像在金盒里)与铅盒上面的铭牌“肖像不在金盒里”是意思截然相反的两句话时,依据形式逻辑中的排中律:一句话要么是真,要么是假,两者必居其一,因此可以得出结论,这两句话必是一真一假。又因为三句话中只有一句是真话,所以银盒子铭牌所说的那句话“肖像不在这只盒子里”就肯定是假话了,于是求婚者断定鲍西娅的肖像放在银盒子里。

逻辑趣题“逻辑”解

学习了简易逻辑,我们可以利用逻辑知识来解决有关的逻辑趣题。

一、命题真假判断法

例1:已知A、B、C三人中,一个是油漆工,一个是木工,一个是泥瓦匠,但不知A、B、C三人具体谁是什么工种,三人合做一件工程,由于其中的某一个人而做糟了,为了弄清楚责任,分别询问三人,得到的回答如下:

A说:C做坏了,B做好了。

B说:我做坏了,C做好了。

C说:我做坏了,A做好了。

现在又了解到,油漆工从来不说假话,泥瓦匠从来不说真话,而木工说的话总是时真时假。问:究竟是谁的责任?

将三人的回答简记为三个命题PA:C坏,B好;

PB:B坏,C好;

PC:C坏,A好。

由以上知命题PA、PC同真同假,PA、PB一真一假。下面根据它们之间的真假关系进行讨论:

若PC假,则PA假,PB真,于是由PB真知B坏,C好;由PA、PC假得知A坏、B坏、C好,说明A和B都做坏,与题意不合;

所以PC真,知C坏、A好,于是PA真,PB假,从而A好、B好、C坏。从而得知责任在C。

例2现有张三、李四、王五三人。

张三说:李四在说谎;

李四说:王五在说谎;

王五说:张三和李四都在说谎。

请问:三人中谁在说谎?谁说的是真话?

将三人说的话记作三个命题P3,P4,P5。下面对它们的真假进行讨论:

若P3真,则P4假,P5真,于是得矛盾;

所以P3假,则P4真,P5假(即张三和李四不都在说谎),于是张三、王五说谎,李四说的是真话。

二、充分条件判断法

例3已知某中学高三应届班学生升学报考志愿情况如下:

(1)报考A大学的学生不报考B大学;

(2)报考B大学的学生也报考D大学;

(3)报考C大学的学生不报考D大学;

(4)不报考C大学的学生报考B大学。

根据上述方式,有人得出以下结论:

(1)报考D大学的学生也报考A大学;(2)没有既报考B大学又报考C大学的学生;(3)有既报考C大学又报考D大学的学生;(4)报考B大学的学生和报考D大学的学生数相同;(5)报考A大学的学生也报考C大学。这些结论中正确的命题是。

A(1)(2)(3)B(1)(2)(4)C(2)(4)(5)D(3)(4)(5)

设命题“学生报考A大学”用A表示,“学生报考B大学”用B表示,“学生报考C大学”用C表示,“学生报考D大学”用D表示。则已知条件可表示为:

(1)ABBA;(2)BDDB;(3)CDDC;(4)CBBC。

四个结论也可表示为:(1)DA,不对;(2)BC,对;(3)CD,不对;(4)BD对;(5)AC,对。故选C。

例4著名童话《爱丽丝漫游奇境记》的作者、英国剑桥大学数学讲师卡洛尔曾提及“我可以看信吗?”的趣题:

(1)室内所有注明日期的信都是用蓝纸写的;

(2)玛丽写的信都是用“亲爱的”开始的;

(3)除了查理以外没有人用黑墨水写信;

(4)我可以看到的信都没有收藏起来;

(5)只有一页信纸的信中,没有一封不注明日期的;

(6)未做记号的信都是用黑墨水写的;

(7)用蓝纸写的信都收藏起来了;

(8)一页以上信纸的信中,没有一封是做记号的;

(9)以“亲爱的”开始的信,没有一封是查理写的。

请判断:我是否可以看玛丽写的信?

题中内容多,条件多,且都是互为条件。我们不妨将题中九句话提及的10个事项用字母表示:

p:注明日期的信;q:写在蓝纸上的信;r:玛丽写的信;s:以“亲爱的”开始的信;t:查理写的信;u:用黑墨水写的信;v:我可以看到的信;w:被收藏起来的信;x:只有一页信纸的信;y:做了记号的信。

于是题中的九句话可简明地表示为:

(1)pq;(2)rs;(3)﹁t﹁u;(4)v﹁w(即wv);(5)xp;(6)﹁yu(即﹁uy);(7)qw;(8)﹁x﹁y(即yx);(9)s﹁t。

判断“我是否可以看玛丽写的信?”就是要寻找r与v的关系,因为rs﹁t﹁uyxpqw﹁v说明“我不可以看玛丽写的信。”

这是采取先数学化构造命题,再利用命题之间充分条件的传递性来处理。

三、挖掘字眼判断法

所谓“字眼”就是题中给出的关键词或者关键语句,它们一般是命题人故意设的陷阱和提示,从这里下手推证一般容易得出结论。

例5在发生盗窃案后警察局逮捕了三个嫌疑犯(分别用A、B、C来表示)。已经知道盗窃犯一贯撒谎;参与者有时撒谎,有时说真话;而无辜者是不说谎的。审讯一开始就提问每个被捕者的职业,他们的回答是这样的:

A说:我是油漆工,B是钢琴师,C是画家;

B说:我是医生,C是保险代理人,至于说到A,如果你问他的话,他会回答说是油漆工;

C说:B是钢琴师,A是画家,而我是保险代理人。

主持审讯者希望了解参与者的职业,他应该如何判断?

抓住B说的一句话“至于说到A,如果你问他的话,他会回答说是油漆工”,这句话是对的,所以B不是盗窃犯。

如果B是参与者,则A、C的说法一真一假,但不可能,因为他们都说B是钢琴师;

所以B不是参与者,也不是盗窃犯,他是无辜者,这就是说,B说的话是对的,他是医生,C是保险代理人;

从而C只能是参与者,职业是保险代理人,盗窃犯是A,他是画家。

例10某次会议有100人参加,参加会议的每一个人都可能是诚实者,也可能是虚伪者,现在知道下面两项事实:

(1)这100人中,至少有一名诚实者;

(2)其中任何两人中,至少有一名虚伪者。

请你判断:这100人中有多少名诚实者,有多少名虚伪者?

抓住字眼“任何两人”和“至少有一名”易知只有一名诚实者,其余99人都是虚伪者。

四、赋值讨论判断法

例6有五个人A、B、C、D、E外出旅游,由于没有买足五张船票,决定让哪些人先走,还必须考虑以下因素:

(1)如果A先走,B也必须走;

(2)D、E两人或者都走,或者只走一人;

(3)B、C两人中只能走一人;

(4)C、D两人或者都走,或者都不走;

(5)如果E先走,A、D也必须走。

试问:到底让哪些人先走?

赋值A、B、C、D、E为±1,1表示先走,—1表示后走。

由(1)若A=1,则B=1;

由(2)D=1且E=1,或者DE=—1;

由(3)BC=—1;

由(4)CD=1;

由(5)若E=1,则AD=1。

于是由(3)(4)若C=—1,则D=—1,B=1,E=—1与(2)矛盾;若C=1,则D=1,B=—1,A=—1,E=—1。故C、D先走。

五、赋值列表判断法

把用文字表述的逻辑问题的条件列成表格,令人眼花的条件及其间的关系就会变得明朗。一些比较简单的题目,一经列出表格,答案便一目了然;复杂一些的题目,列表之后虽不能立即作出判断,但对于我们分析条件之间的内在联系,确定递推方向是十分有益的。如:

例73个整数p、q、r满足条件0<p<q<r,它们分别写在三张卡片上。甲、乙、丙三人进行某种游戏,每次各摸取一张卡片,然后按卡片上写的数走相应的步数。在进行B次(N≥2)后,甲走了20步,乙走了10步,丙走了9步,已知最后一次乙走了r步,问第一次谁走了q步?

根据题意,有N(p+q+r)=39。

因为N≥2,所以N=3,从而p+q+r=13。

由于甲3次走了20步,因而r>7。

如果r=7,那么甲3次走的步数只能是6+7+7,可推出q=6,p=0,与p>0矛盾,从而r>7。

乙3次走10步,且最后一次走了r步,因p,q≥1必有r≤8。因此r=8,p+q=5。由此得p=1,q=4,p=2,q=3两种可能解答,但由甲3次走20步,只能得p=1,q=4。现将已推算出各次每人走的步数列表如下:

甲走的步数乙走的步数丙走的步数

第一次814

第二次814

第三次481

观察此表可知,第一次走q步的是丙。

爱因斯坦的逻辑推断题

这题是爱因斯坦在20世纪初出的谜语,他说世界上有98%的人答不出来。你能答出来吗?

1.在一条街上,有5座房子,喷了5种颜色。

2.每个房子里住着不同国籍的人。

3.每个人喝着不同的饮料,抽不同品牌的香烟,养不同的宠物。

问题是:谁养鱼?

提示:

1.英国人住红色房子。

2.瑞典人养狗。

3.丹麦人喝茶。

4.绿色房子在白色房子左面。

5.绿色房子主人喝咖啡。

6.抽pallmall香烟的人养鸟。

7.黄色房子主人抽dunhill香烟。

8.住在中间房子的人喝牛奶。

9.挪威人住第一间房。

10.抽blends香烟的人住在养猫的人隔壁。

11.养马的人住抽dunhill香烟的人隔壁。

12.抽bluemaster的人喝啤酒。

13.德国人抽prince香烟。

14.挪威人住蓝色房子隔壁。

15.抽blends香烟的人有一个喝水的邻居。

答案:

种类\房子〖〗1号2号3号4号5号

人挪威丹麦英国德国瑞典

饮料水茶牛奶咖啡啤酒

动物猫马鸟鱼狗

香烟DunhillBlendsPallMallPrinceBlueMaster

颜色黄色蓝色红色绿色白色

数学谜语(一)

猜谜是一种非常有趣有益的智力活动。有一类谜语与数学有关,大家不妨猜一猜。

一、以数学用语为谜底的谜语

1.五角一趟;2.两羊打架;3.完全合算;4.勤点钞票;

5.两边清点;6.有情人终成眷属;7.合法开支;

8.打得鸳鸯各一方;9.垂钓;10.马术;11.戽;

12.岁岁重阳今又重阳;13.追本溯源;14.对症下药;

15.多十分;16.集体钓鱼;17.协议离婚;18.打成和局;

19.团体赛;20.刮胡子;21.摩拳擦掌;

22.谁押林冲去沧州(打两个数学用语)。

二、以数字为谜面的谜语

23.一(打一成语);

24.十百千(打一成语);

25.一二三四五六七九十(打一字);

26.壹贰叁肆伍陆柒捌玖(打一古书名);

27.三八二十四(打一体育用语);

28.7×9(打一古军事书名,卷帘格)。

三、以方程为谜面的谜语

29.x=只—吾(打一工业用语);

30.x=旭÷3(打一化学用语)。

四、以数学家为谜底的谜语

31.东坡游春;32.回眸一笑百媚生。

五、以数学科目为谜面的谜语

33.解析几何(打一口头用语)。

六、以运算符号为谜面的谜语

34.+—×(打一成语)。

谜底:

1.一元二次(推算法);2.对顶角;3.绝对值;4.常数(通假法);5.分数;6.同心圆;7.有理数;8.公分母;9.等于(通假法);10.乘法;11.内角(分解法);12.循环节;13.求根;14.开方;15.余角(换算、通假);16.公垂线;17.约分;18.平角;19.公共角;20.平角(词性通假);21.等角;22.两个解、差(问答法。答曰:两个解差,分开即是);23.大有人在;24.万无一失(别解为没有“一”和“万”);25.口(谜面意为“只”少“八”);26.《拾遗记》(意为忘记写“拾”);27.女子双打(双打即两打,二十四);28.三十六计(7×9计六十三,反序读之即得);29.成品(八口减五口为三口,三口即成“品”字);30.结晶(九日除以3得3日,结合为“晶”);31.苏步青;32.杨乐;33.十八斤(谜面别解为把“析”分解开是多少?);34.支离破碎(把支分解开即为“+、—、×”)

现代信息技术的数学基础奠基者——乔治·布尔