公元１０１７年，丹麦人占领了英格兰，他们在英格兰烧杀掠夺，无恶不作。丹麦人的暴行激起了英格兰人民的仇恨，他们等待、寻找复仇的机会。这一天终于到来了，公元１０４２年，丹麦人被赶出了英格兰。在打扫战场时，几个英国的清道夫发现了一个侵略者的骷髅，出于复仇心理，这几个英国人便你一脚、我一脚地踢起来，几下子便将骷髅踢碎了。后来，人们将牛的膀胱吹足气当球踢，久而久之就演变成现代的体育运动———足球。
足球与战争的特殊关系还表现在，战争中的好多谋略可以为足球所用，这一点爱好足球的朋友可以从任何一场足球赛中看到。但鲜为人知的是数学中的许多原理也可以为足球所用。不信你来看看下面这个问题：在一场足球赛中，甲、乙双方对垒，甲方３号队员持球在Ａ位置，甲方５号队员在边沿线上等着传球过来。如果乙方的球门为ＢＣ，问３号队员应传球在哪个范围，使５号队员射门最近？
这个问题可以通过作辅助线而轻易解决。设５号队员所在的边沿线为ＦＧ，以ＦＧ为对称轴，取Ａ′为Ａ点的对称点。连接Ａ′，Ｂ和Ａ′，Ｃ，与边沿线ＦＧ分别交于Ｄ和Ｅ，那么，ＤＥ这段范围就是甲方３号队员应向５号队员传球的位置。
三角运算妙解“炮弹奔月”
也许在绝望之中的隆美尔不会去认真想这个问题，但如果有一门威力足够强大的炮，当它发射出一发炮弹后，这枚炮弹会不会永远不跌回到地球上，而是继续飞向太空呢？让我们来认真想一想这种可能性。为什么一颗水平射出的炮弹最终要回到地球呢？因为当炮弹射出膛之后，它就失去了不断给它加速度的火药推力，而依靠动量继续作减速运动。尽管是减速运动，它的运动速度依然十分之大。在促使炮弹作减速运动的因素中，地球吸力是最主要的因素。因此，炮弹并没有能够作直线运动，而是作了一个抛物线，最终落回到地球上。但我们注意到地球是一个球面，当炮弹达到一定的初速度时，它所运行的抛物线的弯度小于或等于地球表面的弯度，那么这枚炮弹就永远不会跌回到地面上来！就像太阳系中的九大行星绕着太阳作圆形的轨道运动一样。
在以上的讨论中我们可以得出结论，当炮弹的抛物线弯度等于地球表面弯度时，炮弹会像行星一样以椭圆形的轨道绕着太阳转，而当抛物线的弯度小于地球表面时，它就会脱离地球的吸力场奔向天空，而所有这一切的最关键因素取决于炮弹的初速度。如图，我们看到一幅画有地球横截面的图。在山峰Ａ点上，我们安放一门大炮。如果没有地球的吸引力，在极短时间内，我们可以推测出它将落在Ｂ点。但在实际情况中，我们却发现炮弹落在了比Ｂ点低５米的Ｃ点。为什么呢？因为在地球吸引力的作用下，炮弹的抛物线的弯度要大于地球的球表面弯度。但我们也可以设想在一个适当的速度下，这颗炮弹沿着地球的同心圆飞行。
现在我们只剩下求出ＡＢ线段的长短，也就是说，求出炮弹在１秒钟里沿水平方向所走的距离；这样我们就可以知道，炮弹应该用每秒多少的速度发射出去才可以使它不跌回到地面上来。
这个计算并不麻烦，可以从三角形ＡＯＢ求出：在这个三角形里，ＯＡ是地球半径（大约等于６３７００００米）；ＯＣ＝０Ａ，ＢＣ＝５米；因此ＯＢ＝６３７０００５米。根据勾股弦定理，得ＡＢ２＝（６３７０００５）２－（６３７００００）２把上式解出来，得ＡＢ大约等于８０００米。
这样，假如没有阻止物体运动的空气，那么从大炮里用每秒８０００米的速度射出的炮弹就永远不会落回到地面上来，而是绕着地球转圈子，就像一颗卫星一样。
那么，假如我们能够使炮弹从大炮里用比每秒８千米更大的速度射出去，它会射到什么地方去呢？天体力学证明，当速度是每秒８千米以上，９千米，甚至１０千米的时候，炮弹从炮膛射出以后要绕地球走出椭圆的路线，初速度越大椭圆越伸长。当炮弹速度在每秒１１千米或者１１千米以上的时候，炮弹所走出的路线已经不再是椭圆，而是不封闭的“抛物线”或“双曲线”，永远离开地球了。
现在，在发射了人造地球卫星和宇宙火箭以后，我们可以说宇宙旅行利用的将是火箭，而不是炮弹。但是，火箭的最后一级工作完了后，支配火箭运动的原理跟炮弹是一样的。
树叶上的几何学
在白杨树的树阴下，一株白杨树的根上生出了一株小树。你试着摘下这株小树的一片叶子，就可以看见它要比它生身父母的那株大白杨树叶大，尤其是比那些在强烈阳光下生长的叶子更大得多。这是因为在阴影中的树叶必须用增大自己的接触阳光的面积来补偿阳光的不足。那么，如果我问你，你能够算出小树的树叶面积比母树叶子要大出多少倍来吗？
怎样着手去解答这个问题呢？
你最先想到的也许是求出每片树叶的面积，然后计算它们的比例。但是要测量树叶的面积，可不太容易。常见的做法是把一张透明的方格纸铺在树叶上面，看看树叶上共有多少个小方格，再乘以每个小方格的面积，进而求出树叶的面积来。
还有比较简单的方法吗？有。根据这样一个原则：两片树叶，虽然大小不同，却常常具有相同的或几乎相同的形状；也就是说，它们的图形在几何学上是相似的。于是，这两个图形的面积比，等于它们直线尺寸平方的比。因此，只要知道了一片叶子是另一片长或宽的多少倍，就可以由它们的平方算出两者的面积比了。
假定小树的叶子长１５厘米，而大树上的叶子长只有４厘米，那么直线尺寸比为１５。那么小树叶子的面积相当于大树叶子面积４的１５２２５４２＝１６倍，即１４倍。
在森林中可以找到许多形状相似大小不同的树叶，这样得到一批关于相似的有趣事实。两张叶子在长度或宽度上虽然只有不大的差别，但在面积上却相差得这么惊人！例如，有两张形状相似的叶子，一张比另一张只长出２０％，而它们的面积上的比竟是：１。２２≈１４，就是说两片叶子在面积上相差达４０％之多。如果这两片叶子在宽度上相差４０％，那么大的一张在面积上相当于小的１４２≈２，就是大约两倍。
圆台形的大烟囱
当我们走进工厂、矿山，看到许多高高的大烟囱，这些烟囱都是圆柱形的，但不是上下一样粗的圆柱，往往上面细一点，下面粗一点，数学上把这样的形状称为圆台。
我们都知道，好的大烟囱应该尽量地排放烟尘，从理论上讲，烟囱的口径要做成大大的才好，但实际上由于做烟囱的材料所限，烟囱的口径不可能做得很大很大，所以我们设法用有限的材料做出口径比较大的烟囱来。
那么当材料有限时，做成哪一种形状的烟囱，它的排烟量大呢？也就是说，做成的烟囱的口径的面积要大。当面积一定时，圆的周长最小，三角形的最大，正方形的居中。把这个结论反过来看，当图形的周长一定时，圆的面积是不是最大呢？仔细想一想，是不是这样呢？
这就是问题的答案。当材料量确定不变时，用这些材料做成同样高度的圆柱形、三角柱形、正方体形，由于圆的面积比三角形、正方形的面积都大，使得圆柱形大烟囱的排烟量最大。所以大烟囱都是圆柱形的。
圆台形的上面细一点，下面粗一点，有三个好处：第一，这样的柱子很稳固，圆台形烟囱要比圆柱形的稳当，大烟囱那么高，烟囱的下部很吃力，常常要做得厚重些。第二，伸得高高的烟囱，它的上半段会受到很大的风力，做成圆台形后，上面细一些，可以使烟囱受到风力的影响有所减弱。第三，烟囱做成圆台形，方便了清除烟囱内侧壁上的积垢。
前面讲的专指工厂里的大烟囱，如果家里要安个烟囱，就不用考虑这么多了。因为家用的烟囱排烟量小多了，做成圆形、方形的都没关系，而且方形的烟囱砌起来还方便呢！
几何原本的力量
希腊人来自爱奥尼亚与爱琴海之间的北方，以侵略者的身份登上了历史舞台。他们渴望向更古老的邻国学习并渴望超越埃及人和美索不达米亚人的智慧。希腊人及希腊社会由文化背景而不是由种族差异确定。以亚历山大大帝为过渡期，希腊的发展过程分为两个时期。对于数学来说，这两个时期可叫做雅典时期和亚历山大时期。
第一次奥林匹克运动会于公元前７７６年举行。从那时起希腊文献已经开始夸耀荷马和赫西奥德的作品，但是直到公元前６世纪，我们对希腊的数学还是一无所知。希腊最早的数学家可能是米利都的泰勒斯（ＴｈａｌｅｓｏｆＭｉｌｅｔｕｓ，公元前６２４—前５４８）。人们认为是他首先给出了许多几何定理的证明，并因此孕育了杰出的欧几里得几何体系。但是我们对希腊数学及其他方面的认识，很容易受到诸多历史因素的干扰。我们没有这一时期的文字记载，因而不得不依赖于远隔１０００多年以后的学者们所写的关于一些往事的注释。
公元前４世纪，雅典成为地中海文明世界的中心。这一时期的柏拉图学园，以及这之后亚里士多德学园的创建，都对雅典的发展起到了极大的促进作用。柏拉图在数学史上的作用，至今仍是一个有争议的焦点。柏拉图本人没有留下数学著作。但是他的思想对数学哲学有着深远的影响。在《共和国》一书中，他强调数学应该是未来君主的必修课程。在《提麦奥斯》一书中，我们看到一种改良的毕达哥拉斯主义的陈述，柏拉图体是由表示火、土、气、水等４种基本元素的立方体及象征着整个宇宙的１２面体组成。亚里士多德哲学对数学的影响并非都是正面的。他对逻辑演绎的强调有着正面的影响，但是他不赞同使用无穷大及无穷小，而他认为圆和直线是理想图形的思想，可能对数学的发展产生了负面的影响。
柏拉图学园和亚里士多德学园都是数学教育和数学研究的重要中心。亚里士多德当时是亚历山大大帝的老师。亚历山大帝国在发展的巅峰时期，将其版图一直延伸到了印度的北部。亚历山大死后，亚历山大帝国被对手瓜分。在托勒密一世开明的统治下，被分割后的一个小国成为学习和研究的中心———这就是拥有音乐厅及珍贵图书馆的亚历山大新城。在古希腊文明的第二阶段，亚历山大远远超越了雅典，这一时期是希腊数学的黄金时代。
希腊数学中最重要的文献，无疑是由欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ，约公元前３２５—前２６５）写的《几何原本》。与如此著名的杰作相比，我们对欧几里得的生活却知之甚少，甚至连他的出生地都不知道。我们通过普罗克洛斯（Ｐｒｏｃｌｕｓ，约公元前４１０—前３８５）的关于欧几里得《几何原本》第１卷的评注才知道：欧几里得在托勒密统治下的亚历山大新城教学。而且还记录了这样一件轶事：当托勒密王问他是否有学习几何的捷径可走时，欧几里得回答说：“几何学中没有专为国王铺设的大道。”《几何原本》的声誉远远超过了欧几里得写的许多其他的著作，例如欧几里得写的关于光学、力学、天文学和音乐等方面的著作。《几何原本》成为正规的几何教科书，使得以往的几何书籍甚至它们的手抄本都变得多余而没有保留下来。像所有的教科书一样，这里所使用的《几何原本》大多都不是原著。但我们仍然要感谢欧几里得：是他收集整理了这些资料和结果，并把这些结果用定理和证明的演绎系统的形式展示给我们。《几何原本》不是希腊数学的概述，而仅仅是几何学的基础部分。它不仅没有包含计算的技巧，而且也没有涉及如二次曲线这样的高深数学的内容。
《几何原本》分为１３卷。它囊括了初等平面几何、数论，以及不可比量和立体几何。《几何原本》一开始就是由２３个公理组成的定义列表。例如“点没有大小”，又例如“线无宽度”。接着是５个公设和５个“一般概念”。其中著名的第五公设有着它自己的故事。《几何原本》的每卷的每一节都以该节要探讨的新课题开始。欧几里得认为，与公设相比，定义是不证自明的。而对今天的我们来说，定义和公设与公理都是同等的。如果有什么区别的话，公设更倾向于程序化，正如“连接任意两点做直线”，而定义则是“直线是由点组成的平坦的线”。总的来说，初等几何规定只能用直尺和圆规画图。这两个简单的工具———圆规和直尺产生了整个初等几何体系，因为圆和直线是最完美的图形。当时的希腊人还使用了其他的“机械化”的构造方法，但是《几何原本》没有涉及这些方法。
该书的第１卷到第４卷讨论了平面图形，包括四边形、三角形、圆和多边形的几何作图片。有人认为这几卷书，尤其是第２卷暗示了一类代数几何学。在这里，几何作图法与代数运算具有同样的功能。无论上述观点正确与否，但从早期的这些定理来看，欧几里得所关注的完全是几何概念。术语“量”或“量度”
（ｍａｇｎｉｔｕｄｅ）全都用于表示任何一个几何对象。如一条线段或一个图形，而书中的定理则是关于作图法和量之间的关系，但书中没有给出像长度这样的数值概念。例如一个正方形被看成为来源于一条线段的几何作图，欧几里得在任何地方都没有提到过一个正方形的面积是其两边长乘积的结论，这一结论在很久以后才被给出。因此，量是《几何原本》中最基本的概念，它是该书其余部分的基础。在这一背景下，欧几里得用图形转换的方法证明了毕达哥拉斯定理。如果我们被涉及的实际面积所吸引，将得到另外一种完全不同的证明，这一点是非常有趣的。