双方打了一阵子，雷雨停止，天气晴朗，阳光灿烂。那光芒从英军背后照耀过来，正好映入法军眼帘。法军的弓箭手们集合起来开始进攻了。他们先是又跳又叫，肆意辱骂英军，但英军丝毫不为所动，继续保持原有阵势。法军士兵拉起弓来激烈地发射，但是，由于对着阳光，非常耀眼，不大能命中目标。
看时机已经成熟，英王太子一声号令，英军的弓箭手们前进一步，开始发箭。那些箭既集中，又有力量，连珠炮似的发射到法军弓箭手的头上和胸部，吓得他们狼狈后退。原来，英军的弓箭手虽然也是雇佣兵，但都是从本国招募来的。他们能用很重的弓，把箭准确地射中３５０步远的目标，而且发射速度远比热那亚人的快，每分钟能射出１５支；加上他们所处的位置好、不耀眼，因此在这场弓箭战中占了上风。
法王见自己的弓箭手们乱纷纷地后退，便下令杀掉雇用来的弓箭手，以清除前进的障碍。于是，立即有一队重骑兵冲到后退的弓箭手队伍中举刀砍杀，法军的队伍一片混乱。被砍杀的法军弓箭手成了亡命徒。其中一个弓箭手不顾一切抓起一簇箭射向砍杀他的骑兵，他将一半的箭用于自卫，箭数的平方根的４倍杀死了一些战马，有６支箭射中了举旗的法军骑兵，３支箭射破了法军的旗帜，最后一支射得准极了，正好穿透了砍杀他的骑兵的头颅。（这个弓箭手到底拿了多少支箭？）英军见法军阵势混乱，继续不停地把利箭发射到法军的重骑兵中去，接着，骑兵和步兵又冲进法军队伍，大肆进行砍杀。腓力六世见势不妙，带领残兵仓皇逃走。
战后英军打扫战场时发现，有８５％的弓箭手被砍掉了耳朵，８０％的弓箭手被打瞎了眼睛，７５％的弓箭手被砍掉了手，７０％的弓箭手被砍断了脚。英王太子高兴之余，便问士兵在这次战斗中，同时失去耳朵、眼睛、手和脚的弓箭手至少占多大比例？
在英法的这场冲突中，涉及两个数学问题。先来分析前一个问题，弓箭手到底拿了多少支箭？
不知读者们注意到了没有，里面有一句话提到了平方根，也就是说，要知道答案，就必须解一个无理方程。可是在当时，无论是法军的弓箭手还是骑兵都不知道无理方程是什么，也不知道怎样去解。用现代的数学知识是很容易解决这个问题的。
是１
如果设弓箭手射出的箭数为ｘ支，那么他用于自卫的箭数就２ｘ，箭数的平方根的４倍即４槡ｘ支箭射死了一些战马，而射中旗手的是６支，射破旗帜的有３支，射中骑兵的有１支，把这么多支箭加起来就是弓箭手射出的箭数。
方程为：１ｘ＋４ｘ＋６＋３＋１＝ｘ
２
方程两边都减去１ｘ和１０，得
２
１
４槡ｘ＝２ｘ－１０
方程两边都平方，得１６ｘ＝１ｘ２－１０ｘ＋１００４ｘ＝１００或ｘ＝４由于射中旗手的箭就有６支，这样ｘ＝４不符合题意（舍去），所以弓箭手一共射出了１００支箭。由此可知，其中用５０支自卫，用４０支箭射死了一些战马。
再来看第二个问题，即英王太子的问题，
因为８５％的弓箭手失去了耳朵，８０％的弓箭手失去了眼睛（两个百分数之和为１６５％），那么他们至少有６５％的人同时失去了耳朵和眼睛。又因为同时失去耳朵和眼睛的人不少于６５％，而失去手的人又占７５％（这两个百分数的和是１４０％），那么，同时失去耳朵、眼睛和手的人至少是４０％。由于同时失去耳朵、眼睛和手的人至少是４０％，失去脚的人占７０％（这两个百分数的和是１１０％），那么，同时失去耳朵、眼睛、手和脚的人至少是１０％。
细菌战中的数学意义
这是朝鲜战场上的第二个春天。春天的田野里，一个十来户人家的小村庄被青山绿水环绕。村东头的小学校，从地下室传来孩子们清脆的歌声。美国强盗的炮弹挡不住孩子们上学。
放学了，孩子们背着书包唱着歌蹦蹦跳跳沿着小溪往家走，走着走着，前面的孩子停止了歌声，捂住了鼻子。接着，其他的孩子也闻到了一股臭味。他们迎着飘来的臭味找去，发现绿草中有一枚大弹壳，里面是一堆臭老鼠。死老鼠怎么钻到弹壳里面去了？原来这是美国强盗投的细菌弹。孩子们飞快跑回村子报告了志愿军，志愿军的卫生队立刻对现场进行消毒。为了保证朝鲜人民的安全与健康，战斗胜利后，志愿军的医疗队马上对附近地区的１４００户朝鲜居民进行霍乱、肝炎检查。普通的检查方法是：由医疗人员到各个普查点抽取每位受检人员的少量血液，做好标记，由医疗人员带回逐一检查，最后再把检查结果告诉每一位被检查者。这种普查方法虽然很有效，但是检查过程费时费力。由于医疗队的人数有限，不可能做到一一验血，那么有没有省时省力的办法昵？答案是肯定的。
对于肝炎检查来说，医疗人员抽取血样带回以后，有两种验血方案可供选择。第一种是普通的方法，即对每份血样逐一进行检查。另一种方案是把所有血样先进行分组，每组１００份，从同一组的每份血样中抽取一部分（验血只需要极少量的血样）进行混合，然后再对混合后的血样进行检查。如果检查结果呈阴性，即没有检出肝炎病毒，则表明该组１００份血样都无病毒；如果检查结果呈阳性，即检出肝炎病毒，表明该组１００份血样中有某一份或某几份带有病毒，为了查明到底哪一份或哪几份血样带有病毒，必须对这１００份血样再逐一检查一遍。那么到底采用哪种方案好呢？
如果采用第一种方案的话，每组血样要做１００次检查，而若采用第二种方案，每组血样可能只要做一次检查，也可能要做１０１次检查。为了作出比较，必须求出采用第二种方案时每组血样需要做的平均检查次数，而这又需要知道两种检查次数出现的可能性有多大。
根据以往资料，细菌战中肝炎病毒染病率为１％，即平均每１００人中有１人为病毒携带者，或说每份血样中带有病毒的可能性是１％。因此每组血样中每份都不带病毒的可能性是：
（１－１％）１００≈０３６６
而有一份或几份带有病毒的可能性是１－０３６６＝０６３４。因此，采用第二种方案验血，每组血样需要检查的平均次数为：１×０３６６＋１０１×０６３４＝６４４（次），比采用第一种方案节省了３５６次。如果每验血一次需要花费１０元钱的话，采用第一种方案进行检查要花１４万元，而采用第二种方案只要花１４×６４４×１０＝９０１６元，比采用第一种方案节省了４９８４元。
事实上，采用第二种方案进行验血时，并不一定每组含１００份血样，也可以每组含５０份或１５０份血样，等等，有兴趣的少年朋友可以试着计算一下，此时又能比采用第一种方案节省多少费用。
用统计方法来验货
我们在商店购买东西时，都希望买到质量好的商品，比如要看产品的信誉保证书、生产日期、保质期等等。其实商店在进货时，也是十分注意商品的质量的，为了维护商店的自身信誉，一定会严把质量关。
一般来说，产品的生产厂家也是要维护自身信誉的，所有的产品都有出厂合格的标签，有质量保证书及售后服务等项目提供给商店的进货人员。进货的人员不仅要认真阅读这些资料，还要对所进的产品进行必要的检验。
以商店从某工厂购买一批灯泡为例，工厂的产品说明书中保证这批灯泡的平均使用寿命不少于２０００小时，标准误差是２００小时。商店在检测时会随机地抽取１０只灯泡进行检验，看看这批灯泡的质量是否真正如厂家所说的那样。
设１０只灯泡的测试寿命为如下小时：
２２５０、１５８０、１７９０、３０２０、１８５０、２３６０、１４３０、２０５０、１９６０、１６９０把这十个数求一下平均值，为１９９８小时。少于２０００小时，但是在标准误差２００小时的范围内，这是否说明这批灯泡的质量就不如厂家所保证的那样，因此商店就不进这批货了呢？
其实商店是该进这批货的。厂方保证的２０００小时指的是全体灯泡的平均使用寿命，而商店只抽取了１０只灯泡进行检验，这个检验的结果带有随机抽取的偶然性，并不能完全代表这批灯泡的总体质量。由于标准误差是２００小时，而１９９８小时与２０００小时之差是在２００小时之内的，所以商店应该进这一批货。
在数学上使用统计方法来检验大批量产品的质量，也就是说只考查个别产品的检测结果，比如本例子中的１０只灯泡，从而用来考查整批产品的质量或合格度。商店还可以再重新抽取１０只灯泡，重新检验它们的寿命，求出平均寿命。如果多次检测的结果都在标准误差的范围内，可以认为这批商品是合格的。
如果厂家生产的是货真价实的产品，那么绝大多数灯泡的寿命都应该接近平均寿命，与平均寿命相差较大的只占极少数。统计的曲线呈现中间高，两边低的样子，那么无论商场怎么抽取，１０只灯泡的平均寿命都应该接近２０００小时。
相反，如果厂家生产的是假冒伪劣产品，那么检验的合格率就不可能有厂家说的那么高。若商店多次检验都发现，灯泡的平均寿命与２０００小时相差２００小时以上，则应拒绝进货。
骰子中的概率论
数学家们从１７世纪起开始研究概率论。但对排列与组合的研究却有更悠久的历史。印度人，特别是公元前３００年左右的耆那数学家，开始对排列与组合显示出了极大的兴趣。耆那数学家是出于宗教的原因研究排列与组合的，而后来的数学家则是为了分析比赛的概率而研究这一课题的，即预测可能出现的结果及建立公平的游戏规则。由于概率论和统计学交织在一起，人们研究出同时可以应用于物理世界和社会科学中的，分析数据的新方法，尽管研究总是与游戏相关联。启蒙时期的统计学被认为是指导公共利益准则以及确保道德公平和社会公平的数学方法。
耆那教起源于印度，与佛教基本是同一时期的产物。耆那数学文献记载了公元前３世纪或前４世纪的耆那数学的发展。耆那人对处理数字有着特殊的兴趣，并且发明了表示极大数的方法。他们讨论了不同类型的极大数及生成这些数的方法。还讨论了以不同形式来组合非常多个对象的方法。他们利用组合五官感觉的方法来研究这一问题。在吠陀梵文文献中，我们还发现了关于排列的研究，这些研究所涉及的都是在祈祷及诗文中安排音节的排列方法。９世纪，耆那数学家大雄（Ｍａｈａｖｉｒａ，约８５０年）拓展了这一研究，给出了现在所用的排列与组合的规则。