书城教材教辅计算的革命
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第5章 乘法(3)

=8949052

技巧大演练

26×2948×4668×67385×396

3988×3899789×792898×877688×691

加减乘整算(二)

经典例题

(1)82×84(2)208×215

思路点拨

两数相乘,两数都比整十、整百、整千……略大,可将两乘数相加后减去该数,它们的差乘以此数,加上两乘数零头数相乘之积。

(1)82×84=(82+84-80)×80+2×4

=86×80+8

=6888

(2)208×215=(208+215-200)×200+8×15

=223×200+120

=44720

技巧大演练

22×2312×1372×74712×704

615×612308×304802×814312×311

加减乘整算(三)

经典例题

(1)63×58(2)314×288

思路点拨

两数相乘,如一个乘数比整十、整百、整千……略大,另一个略小,可将两乘数相加后,减去整十、整百、整千……的这个数,它们的差乘以这个数,再减去两因数零头数凑数相乘之积。

(1)63×5863的零头数3,58的凑数是2。

=(63+58-60)×60-3×2

=61×60-6

=3654

(2)314×288314零头数14,288的凑数12。

=(314+288-300)×300-14×12

=302×300-168

=90432

技巧大演练

62×5876×67398×403503×488

512×4975012×48923112×2997

第二十二讲连续心算

经典例题

(1)43×44(2)25×24

思路点拨

当两个连续数相乘,可先计算出较小因数的平方,然后加上这个因数其和即为积,也可以计算较大的一个因数平方数再减去这个因数其差为所求之积。

(1)43×44=43×(43+1)

=432+43×1

=1849+43

=1892

例题剖析:将较小因数432,加上这个数。

(2)25×24=25×(25-1)

=252-25×1

=625-25

=600

例题剖析:将较大因数252平方减去25就是两连续数相乘的积。

技巧大演练

27×2832×31146×4753×52

67×6689×8778×7743×42

第二十三讲求幂的积

经典例题

(1)52×22(2)8×125

思路点拨

求2n与5n的积时,可在1的后面添上n个0。

(1)52×22

=102

=100

例题剖析:根据原理102在1的后面添写两个0,为100。

(2)8×125

=23×53

=103

=1000

例题剖析:8看作23乘数125看作53在1的后面应写3个0,为1000。

技巧大演练

53×2316×62554×244×25

第二十四讲以除代乘

经典例题

(1)486×0.5(2)3228×0.25

思路点拨

求一个数与0.5的积,可用这个数除以2,即为所求积。

(1)486×0.5

=486÷2

=243

例题剖析:486乘以0.5等于486乘以等于243。

(2)3228×0.25=3228×0.52

=3228÷4

=807

例题剖析:0.25可分解为0.5×0.5,只需将被乘数除以4。

技巧大演练

326×0.5486×0.253846×0.54648×0.25

38×0.56844×0.25384×0.56888×0.5

第二十五讲补数乘法

补数乘法

补数乘法是利用补数对乘法简化计算程序的一种计算形式。

补数:两数之和等于10n,则这两个数互为补数。如4+6=10,4和6互为补数,78+22=100,78是22的补数,22也78的补数。

指示数:两数之和等于10、20、30、40、50等整数的,将这两个数称为“指示数”。

正指示数:当原数是小数码时,为减少加补数的次数,直接用这小数码作为指示数,为有所区别,我们称它为正指示数。如原数是2,指示数不用8而直接用2,将2称为正指示数。

补数乘法的公式:ab=a(b+c)-c(a+d)+cd

设a为被乘数,b为乘数,c为补数,d是指示数。

经典例题

9×7=63

思路点拨

9×7=63

-3+3

63

7的补数是3,在9的后面加个补数3,9的本位减去一个补数3,得积63,关于加减问题:是由指示数来决定的,指示数是几,就要加几次补数,最后减一次补数。

经典例题

(1)8×8(2)99×89(3)45×66(4)12×7

思路点拨

为了简化计算程序,可以按数码的大、中、小进行计算。

大数码:7、8、9

中数码:4、5、6

小数码:1、2、3

(1)8×8=64,补数是2,指示数是2。

代入公式:

8×8=8×(8+2)-2竖式:8×8

×(8+2)+2×2+4

=80-20+4-2

=6464

(2)99×89=8811补数11,指示数为1,大数码指示数小,直接加减补数。

99×89=99×100-11竖式:99×89=8811

×100+1×11+11←后面加补数

=9900-1100+11-11←前面减补数

=88118811←积

45×66=2970是中数码,以折半原理进行计算,66的补数是34,指示数5,折半,补数34的一半是17,在45的本位加上一半17扩大10倍即170,前面减去一半17,得积2970。

(3)45×66=45×100-34竖式:45×66=2970

×50+34×5+170←本位加补数一半扩大10倍

=4500-1700+170-17←前面减补数一半17

=29702970←积

(4)12×77=924是小数码,小数码采取照数减补数的原则,指示数为正指示数12,补数23用整数的乘积减去12的补数,也可分开减。

12×77=12×100-12×23竖式:1200

=1200-(10×23+2×23)-230←减一次补数扩大10倍

=1200-230-46-46←减2次补数

=924924

技巧大演练

9×88×79×612×6511×8411×95

46×8645×6838×6597×4597×7542×58

补数减乘法

经典例题

(1)21×78(2)123×89

思路点拨

补数减乘法是指当被乘数小数字1、2、3、4、5较多时,可先把被乘数扩大乘数的满数倍,被乘数是几就减去几个乘数的补数。

乘积=被乘数×满数-被乘数×补数

(1)21×78

=21×100-20×22-1×22

=2100-440-22

=1638

例题剖析:21扩大100倍为2100分别减去两次补数扩大10倍,再减一次补数。

(2)123×89

=123×100-100×11-20×11-3×11

=12300-1100-220-33

=10947

例题剖析:123扩大100倍,分别减去一次补数扩大100倍,再减去两次补数扩大10倍,最后减去3次补数。

技巧大演练

12×8821×76123×899

111×628121×877321×96

11×6815×6823×77

补数加乘法

经典例题

(1)78×69(2)89×97

思路点拨

补数加乘法指被乘数大数字5、6、7、8、9较多时可先将被乘数扩大乘数的满数倍后,加上凑数乘以乘数的补数,再减去超数乘以补数。

乘积=被乘数×满数+凑数×补数-超数×补数

(1)78×69

=78×100+2×31-80×31

=7800+62-2480

=5382

例题剖析:将被乘数扩大100倍,加上两次补数,再减去超数乘以补数31的积。

(2)89×97

=89×100+1×3-90×3

=8900+3-270

=8633

例题剖析:将被乘数扩大100倍加上一次补数,减去超数乘以补数的积。

技巧大演练

89×9868×8977×64

998×86898×7869×91

互补求积

两个两位数相乘,两因数互补可用下列公式计算。

经典例题

(1)75×25(2)88×12

思路点拨

设两个数分别为a和10n-a(a为整数,n为自然数)那么a×(10n-a)=a×10n-a2。

(1)75×25=25×100-252

=2500-625

=1875

例题剖析:两因数互为补数,将较小因数扩大100倍,减去较小因数的平方。

(2)88×12=12×100-122

=1200-144

=1056

例题剖析:较小因数扩大100倍为1200减去较小因数122=144。

技巧大演练

45×5565×3578×2264×36

32×6871×2984×1631×69

补数求积

补数求积指比200小的三位数,与另一个因数末两位数互补的求积方法,可以根据下列的公式进行计算。

经典例题

(1)104×96(2)113×87

思路点拨

设两数分别为100+a和100-a(a为两位数),那么(100+a)(100-a)=10000-a2

(1)104×96

=10000-42

=9984

例题剖析:用10000减去42。

(2)113×87

=10000-132

=9831

例题剖析:用10000减去132

技巧大演练

112×88102×98182×18

115×85106×94123×77

第二十六讲1、2、5倍速算

1、2、5倍速算是利用1、2、5倍三个倍数的关系,以加减运算乘除的快速计算方法。

1、2、5倍分解及2、5倍法

(1)1、2、5倍分解

在十进制的计算中,所有的数都是由1、2、3、4、5、6、7、8、9和0组成,它们由七个1,六个2,四个5,具体说由1、2、5三个倍数组成,把它们分解为1、2、5倍形式如下。

3=2+1

4=2+2、4=5-1

6=5+1

7=5+2

8=10-2

9=10-1

抛开已知的1、2、5倍三个数,余下的3、4、6、7、8、9都可以分解为1、2、5三个倍数,只需要熟练掌握,这三个倍数的简捷方法,就能以加减形式简化乘法复杂的计算过程。

(2)2倍数的积

2倍数的积,是由个位和进位组成,由高往低进行计算。当见到0和5时念0,见到1和6时念2……

经典例题

(1)45678×5(2)12345×5

思路点拨

(1)45678×5=228390

①首位数4,折半2;

②次位数5,念2余1;

③三位数6与余1相连16,折半为8;

④四位数7折半3,余1;

⑤五位数8与上余数1相连18,折半为9;

得数:22839扩大10倍得积228390。

5乘以任意数的积,等于将该数折半扩大10倍,若该数字为偶数,添0得积,该数之尾是奇数,添5即为乘积。首位数是1要与下位数相连折半。

(2)12345×5=61725

思路点拨

①首位是1与下位相连为12,折半为6;

②三位数是3,减1折半为1;

③四位数是4与上位余1相连14,折半为7;

④五位数是5减1折半为2;

得数:6172,尾数是奇数添5,得积61725。

技巧大演练

246×5448×56666×5

123×5567×5684×5

68784×5342×514328×5

单程计算

1、2、5倍单程计算指根据1、2、5倍原理,计算3、4、6、7、8、9分别乘以任意数的乘法计算。

经典例题

(1)3×321(2)4×543(3)6×2312

(4)7×45(5)8×425(6)9×576

思路点拨

根据1、2、5倍分解式

3=2+1

4=2+2

6=5+1

7=5+2

8=10-2

9=10-1

(1)3×321=(2+1)×321

计算程序:321×1→321

321×2→+642

963

例题剖析:321×3,分解为1、2、5倍即321乘以1加2的和,实际等于在321的原式上照数加一倍642,即得积963。原式照数加一倍。

3乘以任意数,原数加1倍。

(2)4×543=(2+2)×543

或(5-1)×543

计算程序:543×2→1086

543×2→+1086

2172

例题剖析:4可以分解为2+2的和乘以543,等于将543翻倍再加倍。

4乘以任意数:翻倍再加倍

或分解为5-1=4543×5→2715

543×1→-543

2172

4乘以任意数:折半减一遍。

(3)6×2312=(5+1)×2312

计算程序:2312×5→11560

2312×1→+2312

13872

例题剖析:6分解为5+1,等于将2312折半后照原数再加一遍。

6乘以任意数:折半加一遍

(4)7×45=(5+2)×45

计算程序:45×5→225

45×2→+90

315

例题剖析:7分解为5+2,将45折半为225,照原数加一倍90。

7乘以任意数:折半,加倍。