希尔伯特已经在大学度过了整整八个学期。为了取得博士学位，他开始选择题目做学位论文了。他自己喜欢研究连分数，后来林德曼告诉他雅可比早就给出了结果。希尔伯特又重新选择了代数不变量理论中的问题。这个问题虽难但有希望解决。他采用了一条全新的证明道路，漂亮地给出完全不同前人的证明方法。
1885年2月7日，在大学肃穆庄严的大厅公开举行的晋级典礼仪式上，希尔伯特面对两名对手选定了答辩题目。这两个命题横跨了整个数学领域。第一个是关于用实验确定绝对电磁电阻的方法；另一个是哲学问题。辩论时，希尔伯特回答了两名正式指定的数学同学有关这方面问题的质疑。他的论题抗辩对手之一是后来成为著名的地震学家的埃米尔·魏恰特。答辩结果证明，希尔伯特有能力领悟和抓住辩论中的重要问题，因此他被授予哲学博士学位。
校长主持了宣誓仪式，威严的声音中，表达了严格的要求，寄予了极大的希望：
“我庄严地要你回答，宣誓是否能使你用真诚的良心承担如下的许诺和保证：你将勇敢地去捍卫真正的科学，将其开拓，为之添彩，既不为厚禄所驱，亦不为虚名所赶，只求上帝真理的神辉普照大地，发扬光大。”
希尔伯特正是这样做的。现在他已经成为了博士，可仅仅是个博士。因为这在当时，如果你仅仅是个博士，那你甚至连给学生讲课的资格都没有，更不要说工资了。正常的程序应该是：首先，你必须再做出一件很有创造性的数学研究工作，从这项工作中必须看出你不愧为博士资格。如果教授会（那时学校里有教授会）对你的这项工作感到满意，你才能有讲师的称号，这时你才有了可以上堂讲课的许可和荣誉。但学校并不负责保证你的工资。讲师的工资全靠选听他讲课的学生的学费来支付。有教授、副教授在上课，一般的讲师开班，能有五六个学生就不错了。希尔伯特曾经开了只有一名学生的班，讲授解析函数（这个学生是美国人，后来成了研究不变量理论的重要人物）。
没有多少学生，没有多少工资，生活缺少保障不用说了。只有等到成为副教授才能从大学领取工资。一旦能成为教授，那就非常了不起了。在当时的德国，教授的地位十分显赫，名望高，待遇好。教授去世安葬时，常常在墓碑上刻有他们的学衔并标明他们最擅长的学科。可教授的人数太少了。因为即使在首都柏林，数学教授都只有三名（不是随便设的），在一般的大学里只有两名，而在哥尼斯堡，才有一名。
希尔伯特从一开始就把眼光放得很远。他不但要成为教授，而且要在数学领域里做出成绩。要像高斯、康德、雅可比一样的优秀。
青年希尔伯特25岁时，开始了在哥尼斯堡的讲师生涯。他果断地决定，作为一名讲师，他所选择的课目，除了教育学生外，还要教育自己。他决定不教重复的课，为的是全面了解数学。这对一个年轻人来说，仅有一般的勤奋是不够的，他必须不间断地学习。希尔伯特为实现自己的理想，扎实地努力着。在每天去苹果树下散步时，他和好朋友一起，系统地“勘查”数学。
希尔伯特真不愧是个数学大家。他做的许多事情，都让人感到他的深思熟虑。他的长远目标，以及为实现他的大想法，从现在起，从眼前起，步步紧扣地朝着目标努力。
希尔伯特站在了高处，瞭望未来，他看到了自己应该走的路。
哥尼斯堡远离首都柏林，比较起柏林，哥尼斯堡处于数学活动圈子的外围。大数学家在这里工作得少，没有多少学生愿意到这么偏远的地方来学习数学。希尔伯特要了解大数学家们的想法，从那里他可以简捷地了解数学最前沿的问题，学习大数学家们的思考方法。
希尔伯特为未来自己的发展做出至关重要的选择：
“哥尼斯堡由于偏远带来的弊病，我希望能在明年做几次旅行来克服，也许，我将开始和果尔丹先生会面……”
四年前刚刚获得博士学位时，23岁的希尔伯特就曾到莱比锡去找菲力克斯·克莱茵学习数学。当时36岁的克莱茵已是数学界的一名传奇式人物了。克莱茵20岁刚过，便成果累累，22岁获哥廷根大学教授资格，23岁当上了爱尔朗根的正教授，并在就职典礼上发表了“关于现代几何学研究的比较考察”的讲演。这个讲演在历史上非常有名，它首次提出把许多看起来毫无关系的几何，在群的概念下统一起来，并给出了分类。他的工作，影响了几十年几何学的研究方向（这些内容现在在有些研究生的课程中仍然可以见到）。
当时，希尔伯特参加克莱茵主持的讨论班，后来同克莱茵结下了深厚的友谊。
那时，他还接受克莱茵的建议，访问了正是科学活动的蜂巢——巴黎，拜访了法国数学大师庞加莱。庞加莱已经发表了一百多篇文章，被提名为科学院院士。希尔伯特与拜访者交流最关心的“关于不变量”的课题。初步的访问使希尔伯特受益无穷。1888年，认真选好路线的学习旅行开始了。他顺路共访问了21位科学家，首要的访问目的是拜见“不变量之王”果尔丹。
被称为“不变量之王”的果尔丹，也是个传奇人物。他比希尔伯特大25岁，那时已经五十多岁了。他很晚才从事科学事业，但他聪慧机敏，有非凡的计算能力，很重友情。人们常常看到，当他独自一个人散步时，总是在心里做着长长的计算，嘴里不停地大声嘟囔着。几乎所有的时间，他都在考虑代数不变量的理论。他常常喝着著名的埃尔兰根啤酒和年轻人在一起大声交谈不变量问题，不变量就是他的生活。
什么是不变量呢？一般的不变量指被研究对象在某一种变换下保持不变的量。比方说，我们可以理解的，一条线段或一个多边形，无论平移还是旋转，它们线段的长度和角度都不变。那我们就说几何图形的长度和角度是刚体变换（如平移或旋转）下的不变量。
当我们建立了坐标系，比如在平面上，水平坐标即横坐标记为x，垂直坐标即竖坐标记为y，平面上的任何一个点等价于一对实数（x， y），这样，几何图形就可以用代数方程来表示，代数方程也可以用几何图形来表示。
这种表示方法要归功于笛卡儿发明的解析几何。
当一个图形相对坐标轴的位置改变时，比如平移或旋转一个三角形，图形本身形状和大小不改变，但是它的方程会有很大的不同。人们反过来这样考虑问题：由于长度和角度不变，那么与图形中不变的量相应的代数形式的某些性质是否也应该保持不变？哪些是不变的量？有些什么规律性的东西？
研究这些代数不变量，通过不变量来表征给定几何的特性，就非常有意义了。不变量的研究，用现代的话说，是当时的一个“时髦理论”，因为这个理论事关重大。它的意义可以从当时一位伟大的数学家的话中看出：
“正如俗语说，条条大道通罗马，所以至少就我自己的情况说，代数上所有研究迟早都要归宿到近世代数的大厦，在其闪闪发光的大门口上铭刻着‘不变量’这几个字。”
代数不变量理论已经成了当时的研究热点。德国最重要的数学杂志《数学年鉴》，几乎成了国际上刊登代数不变量方面文章的独家论坛。
不变量理论研究的最初方向，是发现那些特殊的不变量，寻找都有哪些不变量。当许多不变量被求出后，数学家们转而又想研究这样一个问题：
“是否存在一组基（即一组个数有限的不变量），使其他所有的不变量（尽管它们的个数有无穷多），都能够用这组基的有理整形式表出”。
这就是著名的果尔丹问题。
如果通俗地理解这个问题，我们可以这样想：对无穷多的不变量，我们要寻找一个简捷的办法，用有限个最基础的不变量（称为一组基），通过运算，把它们都表示出来。如果这个问题解决了，不变量的结构就清楚了。这当然使问题简化了（数学总是追求简单化）。但最主要的是寻找到这个“基”。这个基，好比积木中的最基本块，所有造型利用它们都可以搭出来。但对构成基的这些积木块，也要有要求，就是这些积木块之间不能由你搭出它，由它搭出你。最好的比喻是色彩。无论怎样千变万化的色彩，你用三原色——红、黄、蓝都可以调出来，但这三种色，相互调不出来。这三原色就可以理解为色彩的一组“基”。但对千变万化的不变量来说，寻找所有的基，是非常困难的。
果尔丹自己证明了一种叫“二次型”的最简单的代数形式存在一组有限基。用有限个基，做出所有的二次型，可以想象这个问题多么困难而重要。果尔丹因为这项伟大的突破开始了他的科学生涯，仅仅如此，果尔丹就被冠以“不变量之王”，而且上述没有解决的其他一般情况下的不变量的基的问题，也被命名为“果尔丹问题”。
希尔伯特拜访果尔丹时，果尔丹完成二次型情形的证明已经20年了。20年来，多少数学家在努力探索这个问题，结果还是没把果尔丹的证明再向前推进一步。
拜访果尔丹时，希尔伯特已经深入地研究了果尔丹问题，现在听了果尔丹本人的讲述，更激起了他无法遏制的创造力和丰富的想象力。
希尔伯特离开了果尔丹，但果尔丹问题陪伴他上了火车，旅途还没有结束，他就针对果尔丹本人关于二次型的那个定理的著名证明，重新给出了一个更短、更简单也更直接的证明。关于这个证明，一位美国数学评论家说：“当知道那煞费苦心得来的一直流行的果尔丹的证明，能够用另一个不占满四开本四页纸的证明所代替，确实令人愉快而惊讶！”
3月出发，访问了21位数学家，回到哥尼斯堡时，“果尔丹问题”占据了希尔伯特整个的身心。无论是工作还是娱乐，甚至吃饭时，他都在思考。到了8、9月份，也就是半年后，他给哥廷根科学会寄出了一份短短的文章。他完全出人意料地采用一条全新的证明路径，宣布这个著名的果尔丹问题已获解决。
整个数学界为之一惊。
人们还没弄清这是怎么回事，几乎是完全不相信这项结果。暂时的平静之后，是万丈波澜。当希尔伯特关于果尔丹定理的证明出版时，一些老资格的数学家甚至说，“至今我还没有能够确实弄懂你所得到的这样的证明”。林德曼断定，希尔伯特的方法，令人不快、有害、古怪。
果尔丹本人则大声疾呼：“这不是数学，这是神学。”
为什么这些大数学家也不能接受希尔伯特的工作呢？
过去，果尔丹解决问题的方法是算。他通过具体计算，求出问题的解——把有限基构造出来，就像解方程一样，把根具体求出来。果尔丹写的文章有时全是公式，有时公式推演竟长达20页。
除了繁难的计算以外，果尔丹的算法证明确实比较可信。已经造出来了，摆在那，那就是真的解决了问题。自从果尔丹解决了二次型中最简单的情形以来，数学家们一直企图把果尔丹的结果再向前推进一步，把一般情况下的问题给予解决。他们也都采用果尔丹的办法，去算，去构造出这个基。当时，在德国《年鉴》上发表的不变量的文章，整页纸登不下一个单独式子的情形，司空见惯。研究者们使用这种构造的方法，虽然不能见效，但却一心想用这种方法解决问题。他们总在寻求更好的技巧，以为它还没被人发现。
希尔伯特换了一种想法，他感到，要获得预期的证明，唯一的办法，是要用与过去不同的途径。他把算法工具搁置一边，从本质上改变了问题的提法，从逻辑上证明，这个基是存在的。相对于果尔丹，他并没让人看到这个基，而只是证明了基的存在性。现在这种证明方法很普通，但在当时，人们完全不能接受。这种解决问题的办法，非常像亚历山大解开难解的果底亚斯结。
相传在果底姆有辆著名的战车，有一根用山茱萸树皮编成的绳索牢牢地捆在上面。按当地居民的习俗，无论谁想取得那保留着的世界帝位，就应该把绳结解开。传说亚历山大发现绳结缠绕盘转，绳头又隐包在结的里面，自己无法解开这个结，于是拔出宝剑将它砍为两段。
故事说的是亚历山大采用了反常规的办法，出人意料地解决了问题。希尔伯特把握了问题的全局，深刻地认识了问题的本质，他的反常的思维方式，的确像亚历山大一样，给世人一个意外的惊奇。
希尔伯特继续这方面研究，不变量之王果尔丹给出了希尔伯特的一个定理的另一种证法。果尔丹向希尔伯特表示了这位老人难得的向年轻人表示的敬意。并诚恳地表示，没有希尔伯特的工作，没有希尔伯特发展起来的数学概念，自己的证明是不可能得到的。
数学界这时才普遍认识并接受了希尔伯特的工作和影响。
在这之后两年，希尔伯特一直在寻找强有力的工具，把“基”造出来。功夫不负有心人。因为有了存在性证明，问题容易多了。现在希尔伯特找到了构造方法，那个看得见的“基”，他已经造出来了。
正如闵可夫斯基形容的：“我早就清楚，由你来解决掉这个老的不变量问题，只是个时间问题——就像是‘i’上只缺了那个点；但是它竟如此出奇地一下子给解决了。”
希尔伯特的办法相当简单。但他这个成就所带来的深刻影响，却是无法估计的。听听别人怎么说吧，从这里你可以体会到他工作的巨大意义。
闵可夫斯基高兴极了，他为朋友的成就而激动，文学灵感腾空翱翔，他描绘出这样的景象：希尔伯特的第一个存在性证明，也许产生了一阵烟雾，遮掩了果尔丹的眼睛；现在希尔伯特找到了一种无烟火药，强盗王们——果尔丹和其余的人的城堡已被夷为平地，而且有着再也无法重建的危险。
果尔丹优雅地退让了：
“我一直确信，神学也有它的价值。”
希尔伯特用他特有的极其漂亮的方式和结果，结束了一直被人们讨论着的不变量理论。后来一位数学家写道：“整个理论的呼吸停止了。”
令人惊奇的还在于，解决这一问题的希尔伯特连副教授都不是，那时他还不到30岁。
学习旅行使希尔伯特开阔了视野。希尔伯特解决果尔丹问题用到的一条引理，其中的概念，就是在访问时拜访克隆尼克时得到的数学概念。希尔伯特把它派上了大用场，解决了大问题。他解决问题的思想自然朴素，既不玄，也不神。希尔伯特的思想让人感到又自然，又朴素，又简单，又深刻。思想的灵感，闪光的火花，在交流中迸发。希尔伯特踏上了成功之旅。他认识了自己，认识了钻研个别重大问题的意义，认识了交流的重要。他正在攀登现代数学的高峰，努力成为第一流的数学家。