希尔伯特出生时，虽然欧洲数学之王高斯已经去世7年了，但自高斯开始，德国数学之花却盛开不败，并在科学百花园中引人注目。当时世界重大数学成果，由德国数学家作出的，占了近一半。一大批杰出人才，为数学史写下了不朽篇章。比如，提出“麦比乌斯带”的麦比乌斯；射影几何学方面的斯太纳；函数论方面的古德曼；解析几何方面的普吕克；椭圆函数论方面的雅可比；解析数论方面的狄里克莱，还有维尔斯特拉斯、黎曼、代德金、果尔丹、施瓦尔茨、康托尔、克莱茵……
科学的繁荣，曾使人们对科学力量的信仰达到了像敬神一样的程度。但希尔伯特念大学时，在一些科学哲学的讨论中，却出现了这样的现象：人们对一些问题，比如物质和力的本质、运动的发端、感觉和意识的起源等问题，认为无法解答。也就是说，认为人对自然的认识有极限，有一些问题根本不可能认识。
哥尼斯堡大学的数学教授林德曼的成就，给像希尔伯特一样的年轻人很大的启示。林德曼证明了п的超越性问题。
所谓超越数，是相对代数数来说的。一个系数都是有理数的方程：
它的任何一个根，不论是实数还是复数，都叫代数数。对超越数来说，它不满足任何一个这样的方程。以前，一些大科学家曾猜测п可能是超越数，这一问题一直吸引着19世纪数学家们的兴趣，但一直没有得到证明。林德曼获得了成功。由于п的超越性的证明，首次解决了“化圆为方”的不可能性。“化圆为方”是个古老的问题，它说的是用圆规、直尺作图，已知一个圆，求作一个正方形，使它们面积相等。假定已知圆半径为r，所求正方形边长为x，于是应该有x2=пr 2，求出正方形边长x=пr。因为所有可以用圆规、直尺作出的数都是代数数，п是超越数，因而用圆规、直尺作不出来，“化圆为方”也不可能。这个问题曾经困扰历代数学家长达两千多年由于证明了п的超越性，解开了千年古题之谜，林德曼教授名声大振，成了数学界的名人。这是1882年的事情，当时希尔伯特正在跟林德曼学习数学。
希尔伯特从林德曼那得到了巨大的启示。一切数学问题都是可解答的：“每一个确定的数学问题必定能得到一个准确的回答：或者给所提问题以实际的肯定答案；或者证明问题是不可能的，因此所有企图证明它成立的努力必然失败。”
事实上并没有不可解的问题，只是人类的研究深度还不够。
希尔伯特与闵可夫斯基在这一点上是相通的。对数学前景的美好憧憬，对数学研究的热爱，怀着极大的乐观主义，他们共同执著地追求着，努力着，为了神圣的数学。
希尔伯特大学四年级时，又一位朋友走进了他们中间，这就是赫维茨博士。
赫维茨比希尔伯特大3岁。那时是25岁，可已经是副教授了。赫维茨也是个天才。他的父亲是一名普通的工匠，家中生活清苦。在预科学校念书时，他的数学才能被老师舒伯特所赏识。老师常常在星期天专门向他传授自己擅长的数学学问，还劝说赫维茨的父亲，让儿子继续深造，并同赫维茨合作研究，在赫维茨念预校时就撰写、发表论文。赫维茨的父亲从朋友那借钱让赫维茨上了哥廷根大学。
赫维茨在德国当时最年轻有为的数学家克莱茵的门下学习，并获得了博士学位。对于希尔伯特来说，赫维茨是见过世面的人，他曾在柏林听过那些“大人物”——大数学家的课，因此，在学问方面，他知道前沿在哪里。赫维茨在数学研究方面有坚实的基础，又经过很好的整理，并在函数论方面做过了令人瞩目的工作，尤其是赫维茨无论办什么事，都追求尽善尽美。
新老师朴实和聪慧，很快就吸引了希尔伯特和闵可夫斯基。不久，三个人建立起了深厚的友谊。
是啊，他们三个人，都深深热爱着数学，对未知的知识同样有着不懈的追求，朴实正直而又智慧闪耀。
三个人的友谊与数学和苹果树连在一起，这已是数学史上的佳话。
人们经常发现，每天下午“准五点”，三个人必定相会在校园内的苹果树下，进行“数学散步”。
三个人以这种最悠然有趣的学习方式，埋头讨论当前数学的实际问题，互相交换各自对问题最新近的理解，交流彼此的想法和研究计划。这真是一种学习的好方法。这种学习方法比在昏暗的教室或图书馆里啃书本不知要好多少倍。相互交流产生的成果，不是叠加，不是合一，而是飞跃。三个年轻人在数学研究领域中的进步真可以说是“飞速”。他们考察数学世界中的每一个王国——各个数学分支前沿发展的情况，研究最新的有意义的问题。三人之间结下了深厚的友谊。
希尔伯特后来回忆起这段美好时光：“那时候没想到，我们竟会把自己带到这么远！”
苹果树下的散步，结下了丰硕的果实。对于希尔伯特，数学散步成了他科学生活的一个重要组成部分，同时也是他数学研究持之以恒的一个重要方法。希尔伯特肯定是感到了这种方法的好处。后来，他到哥廷根当数学教授时，安排每周四下午3点数学教授进行数学散步。在赫维茨去世时，希尔伯特发表悼词追念自己青年时代的朋友。在悼词里，希尔伯特回忆了三人在哥尼斯堡整整八年的数学散步。在哥廷根科学会纪念闵可夫斯基的演说中，希尔伯特又追述了与闵可夫斯基共同勘查数学王国的情景：“我们的科学——我们对它的热爱超过了一切——把我们结合在一起。在我们的眼里，它就像一座鲜花盛开的园林。花园里有被人踏就的路，空闲时，你可以循着它去观花赏景，悠然自得。当一旁有个情趣相投的朋友做伴时，就更是如此。但是，我们还是喜欢去寻找那深藏不露的小径，去发现更多出人意料的能大饱眼福的景色。当一个人向另一个人指点出这种奇景时，我们共同赞美它，真是其乐无穷。”
希尔伯特要寻找的那深藏不露的小径，那些等待被发现的问题，在哪里呢？
在数学世界的版图上，希尔伯特征程万里。他驻扎过的点——攻克的难关，一个接一个，占据了那么重要的位置。联结起来，形成了巨大的疆土。他真是个“王”——数学无冕之王。