书城教材教辅中学理科课程资源-漫话数学故事
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第16章 “守株待兔”古今辩

有一则寓意深刻的故事叫《守株待兔》,大意是:

宋国有个农民,有一天,他在地里耕作,看到一只兔子从身旁飞跑而过,恰好撞在地边的一棵树上,折断了颈项,死于树下。那个农民不费吹灰之力,拾得了一只现成的兔子。

这个农民自从拾到兔子之后,就想入非非,从此废弃耕耘,每天坐在那棵大树底下,等待着又一只兔子撞树而来。结果非但没有再拾到兔子,反而把田地给荒芜了!

这则寓言,出自先秦著作《韩非子》,脍炙人口,已经流传了二千二百多年。

两千年来,人们总以为“待兔”不得,罪在“守株”!其实,抱怨“守株”是没有道理的。问题的关键在于兔子的运动规律。倘若通往大树的路是兔子所必经的,那么“守株”又将何妨?

然而正如上节故事中我们讲到的,我们周围的世界是一个不断运动的世界。兔子的活动,在时空的长河中,划出一条千奇百怪的轨迹,希望这条轨迹能与树木在时空中的轨线再次相交,无疑是极为渺茫的,这正是这位农人悲剧之所在!

下面一则更为精妙的例子,可以使人们生动地看到问题的症结。例中表明如能弄清了兔子运动的规律,有时“守”甚至还是明智的!

列奥纳多·达·芬奇(Leonardo da Vinci,1452—1519年)是意大利文艺复习时期的艺术大师,他那传闻很广的《画蛋》故事,对于青少年读者,可说是很熟悉的。达·芬奇不仅对绘画艺术造诣极深,而且对数学也颇有研究。他曾提出过一个饶有趣味的“饿狼扑兔”问题:

一只兔子正在洞穴(C)南面60码的地方(O)觅食,一只饿狼此刻正在兔子正东100码的地方(A)游荡。兔子回首间猛然遇见了饿狼的贪婪的目光,预感大难临头,于是急忙向自己的洞穴奔去。说时迟,那时快,恶狼见即将到口的美食就要失落,旋即以一倍于兔子的速度紧盯着兔子追去。于是,狼与兔之间,展开了一场生与死惊心动魄的追逐。

问:兔子能否逃脱厄运?

有人作过以下一番计算:

以O为原点,OA,OC分别为X,Y轴,以1码为单位长。则OA=100,OC=60。根据勾股定理,在RT△AOC中

AC=OA2+OC2

=1002+602=116.6

这意味着:倘若饿狼沿AC方向直奔兔子洞穴,那么由于兔子速度只有狼速度的一半,当饿狼到达兔穴洞口时,兔子只跑了1166÷2=583码距离,离洞口尚差17码。这时先行到达洞口的饿狼,完全可以守在洞口,“坐等”美餐的到来!

以上计算似乎天衣无缝,结论只能是兔子厄运难逃。可实际上这是错误的!饿狼不可能未卜先知地直奔兔穴洞口去“坐守”,它的策略只能是死死盯住运动中的兔子,这样它本身也就运动成一条曲线,这条曲线可以用解析的方法推导出来:

y=130x32-10x12+2003

当x=0时,代入上式得y=6623。这意味着,如若北边没有兔子洞,那么当兔子跑到离原点6623码的B点时,恰被饿狼逮住。然而有幸的是,兔子洞离原点仅有60码,此时此刻兔子早已安然进洞了!

随着“饿狼扑兔”谜底的解开,对于“守株待兔”的辩析,似乎也已接近尾声。不料,后来又有人提出异议,对《守株待兔》故事的真实性表示怀疑,理由是:那么机灵的兔子怎会自己撞到偌大的树桩上去?它那两只精灵的大眼睛干什么去了?!

说得不无道理!不过,答案是肯定的。要说清这一点,还是从眼睛的功能谈起。

眼睛的视觉功能是有趣的:一只眼睛能够看清周围的物体,但却无法准确判断眼睛与物体之间的距离。下面的实验可以极为生动地证实这一点。

找两支削尖了的铅笔,两只手各拿起一支。然后如同右图那样,闭上一只眼睛,让两支笔的笔尖从远到近,对准靠拢。这时,你会发现一种奇怪的现象:任你怎么集中注意力,两支笔尖总是交错而过!然而,如若你睁着双眼,要想对准笔尖,那是很容易做到的。

以上实验表明:用两只眼看,能准确判断物体的位置,而用一只眼看却不能!那么,为什么两只眼睛便能判定物体的准确位置呢?

原来,同一物体在人的两眼中看出来的图象是不一样的!下图是一个隧道分别在两眼中的图象,它们之间的不同是很明显的。为了证明这两侧图形确是由你左右两眼分别看出的,你可把图25摆在你的面前,然后两眼凝视图中央空隙的地方,如此集中精力几秒钟,并全神贯注于一种要看清图后更远的意念。这样,无须很久,你的眼前便会出现一种要看清图后更远的意念。这样,无须很久,你的眼前便会出现一种神奇的景象:图25中左右两侧的形象逐渐靠近,并最终融合在一起,变成了一幅壮观的立体隧道图形!

图26是个很好的练习,它选自别莱利曼《趣味物理学》第十七章 。当你感到两侧图象靠近并融合时,你会领略到一幅壮丽的海上景观:一艘轮船在宽阔的海面上,乘风破浪!

现在我们回到兔子撞树的讨论上来。

仔细观察一下便会发现,人眼与兔眼的位置是不相同的:人的两眼长在前方,相距很近,而兔的两眼却长在头的两侧。又根据测定,兔子每只眼睛可见视野为189°30′,而人的每只眼睛可见视野166°。不过,由于人的两眼长在前面,因此两眼同时能看到的视野有124°左右。在这一区域内的物体,人眼能精确判定其位置。而兔眼虽说能看到周围任何东西,但两眼重合视野只有19°,其中前方10°,后方9°。因此兔子只有在很小的视区内才能准确判断物体的远近!

由图27还能看出:纵然兔子对来自四方的威胁都能敏锐地感觉,但对鼻子底下的东西(图27右图中“?”号区域),却完全看不到!况且在惊慌失措的奔命中,说不准早已昏了头脑,撞树的事也就难保不会发生。

“守株待兔”的故事,是韩非子亲眼所见呢,还是他杜撰的?现在自然无法查考。不过,据上面分析,这个故事还是可信的!