现在，我们通过一个有趣的问题，来介绍墨比乌斯环。
某个地区有三个村庄和三个学校，现在要从每一个村庄到三个学校各修一条路，能不能使这些路互不相交呢？
每个村庄要修三条路通向三个学校，所以总共得修3×3＝9条路。图72上画出了八条路，要修第九条路就不可能了。
你可以再试试，我断定你也会失败的。为什么呢？欧拉公式n-m+p=2可以说明这一点。
假定你竟把这九条路都修好了，那么，每个村庄和每个学校，就相当于一个顶点(n)，每一条路就相当于一段边界(m)，道路之间的土地就相当于分成若干个国家(p)。因为有九条路、六个顶点，所以根据欧拉公式，6-9+p=2，得p=5，就是说有五个国家。
从一个村庄出发，随便走一段路，就会到达一个学校；再走一段路，就会到达另一个村庄；再走一段路，又会到达另一个学校。
总之，走三段路是不会回到原地的，也就是说，三段边界围不出一个国家。可见每个国家都至少有四段边界。
我们知道，每一段边界两侧各有一个国家，九条边界两侧共有十八个国名。现在，每一个国家至少有四段边界，18÷4=45，而国家的数目不可能出现小数，所以国家至多是四个。
这里说国家至多是四个，前面根据欧拉公式算出来，国家必须有五个，不就矛盾了吗？这只能说明开始的假定是不合理的，也就是说，你不可能按题目提出的要求把路修好。
这种在地面上不可能完成的修路计划，在特殊的曲面上倒是可以完成。把n=6、m=9、p=4代进欧拉公式6-9+4=3-h，得h=2。
这说明在连接数是2的曲面上，就可以修好这样的九条路。墨比乌斯环正是一种连接数是2的曲面。
什么是墨比乌斯环呢？
把一个长的纸条，扭转180°，把两端粘在一起，就成了一个墨比乌斯环。
你把墨比乌斯环沿中线剪开。不要以为这样一剪，环就分成了两个。它仍旧是一个纸环，当然大了一倍，仔细检查一下，它扭了360°。
剪了一圈，它没有分成两片，可见它的连接数至少是2。
如果用刚才的办法，再沿中线剪一圈，纸环分成互不相联的两个环，虽然它们互相套着。这说明墨比乌斯的连接数不是3，只可能是2。
现在我们就来看一看，怎样在连接数是2的墨比乌斯环上安排那九条路。
用一个透明的纸来做一个墨比乌斯环。如果你用的纸不是透明的，那就要正反两面都画好，粘好之后，你就会得到一个修路的方案。
墨比乌斯环有许多有趣的性质。它没有正反两面，换句话说，你没有办法把它一面染成蓝的，一面染成红的。不信你就试试看。它没有上下两个边，换句话说，你没有办法把它的一个边染成红的，另一个边染成蓝的。不信你就试试看。
在墨比乌斯环上画地图，根据前面所说的原则染色，需要五种颜色。你不妨试试看。
还有一个有趣的问题，也是在平面上办不到，而在墨比乌斯环上可以办到。这个问题是：有个地区有五个村庄，在每两个村庄之间修一条公路，能不能使这些公路都不相交？
现在要上一个八级楼梯，规定每次只能上一阶楼梯或上二阶楼梯，问可能有多少种不同的跨法？
解决这个问题，先从最简单的情况入手，从中寻求规律。
假如楼梯只有一阶，那么只有一种跨法；
假如楼梯有二阶，那么有两种不同的跨法；
假如楼梯有三阶，那么有三种不同的跨法；
假如楼梯有四阶，那么有五种不同的跨法；
观察得到的几个数：1，2，3，5。
显然，它们是斐波那契数列的前几个数，后几个数应是：
1，2，3，5，8，13，21，34。
因此，当上八阶楼梯时，应有34种不同的跨法。