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第43章 墨比乌斯环

现在,我们通过一个有趣的问题,来介绍墨比乌斯环。

某个地区有三个村庄和三个学校,现在要从每一个村庄到三个学校各修一条路,能不能使这些路互不相交呢?

每个村庄要修三条路通向三个学校,所以总共得修3×3=9条路。图72上画出了八条路,要修第九条路就不可能了。

你可以再试试,我断定你也会失败的。为什么呢?欧拉公式n-m+p=2可以说明这一点。

假定你竟把这九条路都修好了,那么,每个村庄和每个学校,就相当于一个顶点(n),每一条路就相当于一段边界(m),道路之间的土地就相当于分成若干个国家(p)。因为有九条路、六个顶点,所以根据欧拉公式,6-9+p=2,得p=5,就是说有五个国家。

从一个村庄出发,随便走一段路,就会到达一个学校;再走一段路,就会到达另一个村庄;再走一段路,又会到达另一个学校。

总之,走三段路是不会回到原地的,也就是说,三段边界围不出一个国家。可见每个国家都至少有四段边界。

我们知道,每一段边界两侧各有一个国家,九条边界两侧共有十八个国名。现在,每一个国家至少有四段边界,18÷4=45,而国家的数目不可能出现小数,所以国家至多是四个。

这里说国家至多是四个,前面根据欧拉公式算出来,国家必须有五个,不就矛盾了吗?这只能说明开始的假定是不合理的,也就是说,你不可能按题目提出的要求把路修好。

这种在地面上不可能完成的修路计划,在特殊的曲面上倒是可以完成。把n=6、m=9、p=4代进欧拉公式6-9+4=3-h,得h=2。

这说明在连接数是2的曲面上,就可以修好这样的九条路。墨比乌斯环正是一种连接数是2的曲面。

什么是墨比乌斯环呢?

把一个长的纸条,扭转180°,把两端粘在一起,就成了一个墨比乌斯环。

你把墨比乌斯环沿中线剪开。不要以为这样一剪,环就分成了两个。它仍旧是一个纸环,当然大了一倍,仔细检查一下,它扭了360°。

剪了一圈,它没有分成两片,可见它的连接数至少是2。

如果用刚才的办法,再沿中线剪一圈,纸环分成互不相联的两个环,虽然它们互相套着。这说明墨比乌斯的连接数不是3,只可能是2。

现在我们就来看一看,怎样在连接数是2的墨比乌斯环上安排那九条路。

用一个透明的纸来做一个墨比乌斯环。如果你用的纸不是透明的,那就要正反两面都画好,粘好之后,你就会得到一个修路的方案。

墨比乌斯环有许多有趣的性质。它没有正反两面,换句话说,你没有办法把它一面染成蓝的,一面染成红的。不信你就试试看。它没有上下两个边,换句话说,你没有办法把它的一个边染成红的,另一个边染成蓝的。不信你就试试看。

在墨比乌斯环上画地图,根据前面所说的原则染色,需要五种颜色。你不妨试试看。

还有一个有趣的问题,也是在平面上办不到,而在墨比乌斯环上可以办到。这个问题是:有个地区有五个村庄,在每两个村庄之间修一条公路,能不能使这些公路都不相交?

现在要上一个八级楼梯,规定每次只能上一阶楼梯或上二阶楼梯,问可能有多少种不同的跨法?

解决这个问题,先从最简单的情况入手,从中寻求规律。

假如楼梯只有一阶,那么只有一种跨法;

假如楼梯有二阶,那么有两种不同的跨法;

假如楼梯有三阶,那么有三种不同的跨法;

假如楼梯有四阶,那么有五种不同的跨法;

观察得到的几个数:1,2,3,5。

显然,它们是斐波那契数列的前几个数,后几个数应是:

1,2,3,5,8,13,21,34。

因此,当上八阶楼梯时,应有34种不同的跨法。