在有关地图的各种问题中，最使数学家感到困难和兴趣的，要数四色问题了。
四色问题是怎么回事呢？
找一张全国地图，你看河北省染成了粉红的颜色，河南省染成了米黄的颜色，……为什么要这样染颜色呢？当然不是因为河北省这块地方是粉红色的，或者河南省这块地方是米黄色的。
地图上染的颜色和地面上天然的颜色并没有什么关系。地图染颜色，只不过为了醒目，看起来清楚一些。要是把一张全国地图全染成粉红色，你要找出河北省和河南省的分界线就困难了。
当然，也不必把每一个省都染成不同的颜色。相距较远的省，即使染成了相同的颜色，也不影响我们看地图。我们只要掌握一条染色原则：相邻的省要染上不同的颜色。
那么，我们至少要准备几种颜色呢？
为了回答这个问题，我们先做一个试验。
拿一张没有染色的中国地图来。再准备一盒颜色铅笔。
我们从左上方开始吧。你看，新疆、青海、甘肃三个省，它们两两相邻。根据前面说的原则，它们的颜色都不能相同。因此，你马上就得用到三支颜色铅笔。比如说，甘肃染红色，青海染黄色，新疆染绿色。
好。为了节约颜色，尽可能只用这三种颜色，你现在把这三支颜色铅笔留在桌上，把其他的笔收起来。看看只用这三支笔，能不能把全国各省，都按染色原则染上适当的颜色。
先看西藏。它一边挨着新疆，所以不能染绿色；它又挨着青海，所以不能染黄色；只剩下一支红铅笔可用了。我们只好把西藏染成红色。
四川呢？它和青海、西藏相邻，所以不能染成黄的或红的，只好染成绿的。
这样下去，陕西只好染成黄的，宁夏只好染成绿的。
好。山西应染成绿的，河南应染成红的。
湖北怎么办？
它的周围已经有河南、陕西、四川染了颜色，黄、红、绿都有，你只好再从铅笔盒中拿出一支别的铅笔，比如说蓝的来染湖北省了。
你也许会问，把河南、陕西、四种各省的颜色重新安排一下，能不能就不必拿出蓝铅笔来呢？这是不可能的。前面已经说过，那些已经染过颜色的省，它们染什么颜色并不是任意选择的，只要新疆、甘肃、青海三个省的颜色确定了，四川、陕西、宁夏、山西、河南等省的颜色就成了定局。
当然，甘肃、青海、新疆三省的颜色可以随便换。比如说，甘肃用黄的，青海用绿的，新疆用红的。那就会得到另一张颜色地图，这时，西藏也就改成了黄的，四川改成了红的，……结果呢？到了要染湖北的时候，你还是得用第四种颜色。
换个说法就更清楚了。如果只用三种颜色，那么不管甘肃、青海、新疆染成什么颜色，西藏必须染甘肃的颜色，四川必须染新疆的颜色，陕西必须染青海的颜色，宁夏必须染新疆的颜色……结果是到了染湖北的时候，就会发现甘肃的颜色、新疆的颜色、青海的颜色都不能用了。怎么办呢？只好用第四种颜色了。
要不破坏前面所说的染色原则，用三种颜色是不可能的。现在有了四种不同颜色的铅笔可用，我们就有了很大的活动余地了。
你不妨再多试几张地图，甚至可以随便画一个地图，不论它有多少个地区，你总可以用四种颜色把它染好。当然，有的地图碰巧用三种颜色就可以了；有的也许比较难，要经过多次试验才能成功。但是有一条是肯定的，古今中外的一切地图，都可以用四种颜色来染色，而不破坏染色原则。
在古今中外的地图中没有碰到过例外，并不是永远不可能碰到例外。谁也不能保证不会发生这样的事：有一天，突然有人画出一张地图，这个地图非用五种颜色来染色不可。