书城教材教辅中学理科课程资源-漫话数学故事
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第52章 同一天过生日的人

在研究组合问题时,我们有一些最基本的原理,其中最重要的是抽屉原理。抽屉原理也称为鸽洞或鸽笼原理,它非常简单,但是却很有用处。

鸽笼原理最简单的形式是这样的,如果要把n+1只或更多的鸽子放进n个鸽笼子里,那么至少有一个鸽笼中有两只或两只以上鸽子。值得注意的是,把n+1只鸽子放进n个笼子里的办法有许多,我们可以把n+1只鸽子都放在一个笼子中,也可以每个笼子放一只,最后一个笼子放两只。因此,我们的兴趣不在于怎样放法,而是用来证明一些情况的存在性。例如,一个生日宴会上有400人参加,那么一定有不少人同一天过生日,因为一年有365或366天,但是究竟这400人都是一天过生日,还是没有一个当天过生日(假定过生日的主人不在400人之内),鸽洞原理并不能判断。这个看来用处不大的原理能解决不少问题。举例讲,一个边长为1的正方形内最多能找到几个点,使这些点之间的距离大于12。碰到这类问题,虽然可以凑出来答案,但是要严格证明,却需要鸽洞原理。方法是把正三角形三边中点作一个小的正三角形,这样正三角形分成四个小三角形,这四个小三角形中点的关系有两方面:

(1)如果两个点在不同的小三角形中,则这两点的距离可能大于12,当然也可能等于或小于12。

(2)如果两个点在同一个小三角形中,则这两点的距离一定小于12。

现在我们有4个小三角形,如果有5个点,那至少有一个小三角形中有两个点,它们之间距离小于12。因此,我们在正三角形之内最多只能找到4个点它们彼此之间的距离大于12。

同样在这个正三角形中,最多找到9个点,它们彼此之间距离大于13,类似我们还可以解决更一般的问题。