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第9章 哥尼斯堡的七座桥

现今的加里宁格勒,旧称哥尼斯堡,是一座历史名城。在十八、十九世纪,那里是东普鲁士的首府,曾经诞生和培育过许多伟大的人物。著名的哲学家,古典唯心主义创始人康德,终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的数学家之一,德国的希尔伯特,也出生于此地。

哥城景致迷人,碧波荡漾的普累格河,横贯其境。在河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流,环绕其旁汇成大河,把全城分为下图所示的四个区域:岛区(A),东区(B),南区(C)和北区(D)。著名的哥尼斯堡大学,傍倚于两条支流的河旁,使这一秀色怡人的区域,又增添了几分庄重的韵味!有七座桥横跨普累格河及其支流,其中五座把河岸和河心岛连接起来。这一别致的桥群,古往今来,吸引了众多的游人来此散步!

早在十八世纪以前,当地的居民便热衷于以下有趣的问题:能不能设计一次散步,使得七座桥中的每一座都走过一次,而且只走过一次?这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。这个问题后来变得有点惊心动魄:说是有一队工兵,因战略上的需要,奉命要炸掉这七座桥。命令要求当载着炸药的卡车驶过某座桥时,就得炸毁这座桥,不许遗漏一座!

读者如果有兴趣,完全可以照样子画一张地图,亲自尝试尝试。不过,要告诉大家的是:想把所有的可能线路都试过一遍是极为困难的!因为各种可能的线路不下于五千种,要想一一试过,真是谈何容易!正因为如此,七桥问题的解答便众说纷纭:有人在屡遭失败之后,倾向于否定满足条件的解答的存在;另一些人则认为,巧妙的答案是存在的,只是人们尚未发现而已,这在人类智慧所未及的领域,是很常见的事!

问题的魔力,竟然吸引了天才的欧拉(Euler,1707~1733)。这位年轻的瑞士数学家,以其独具的慧眼,看出了这个似乎是趣味几何问题的潜在意义。

公元1736年,29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。论文的开头是这样写的:

“讨论长短大小的几何学分支,一直被人们热心地研究着。但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分支;莱布尼兹最先提起过它,称之‘位置的几何学’。这个几何学分支讨论只与位置有关的关系,研究位置的性质;它不去考虑长短大小,也不牵涉到量的计算。但是至今未有过令人满意的定义,来刻划这门位置几何学的课题和方法。……”

接着,欧拉运用他那娴熟的变换技巧,如同图18,把哥尼斯堡七桥问题变为读者所熟悉的,简单的几何图形的“一笔画”问题:即能否笔不离纸,一笔画但又不重复地画完以下的图形?

读者不难发现:图19中的点A、B、C、D,相当于七桥问题中的四块区域;而图19中的弧线,则相当于连接各区域的桥。

聪明的欧拉,正是在上述基础上,经过悉心研究,确立了著名的“一笔画原理”,从而成功地解决了哥尼斯堡七桥问题。不过,要弄清欧拉的特有思路,我们还得从“网络”的连通性讲起。

所谓网络,是指某些由点和线组成的图形,网络中的线弧都有两个端点,而且互不相交。如果一个网络中的任意两点,都可以找到网络中的某条弧线,把它们连接起来,那么,这样的网络就称为连通的。连通的网络简称脉络。

显然,下面的图20中,图Ⅰ不是网络,因为它仅有的一条弧线只有一个端点;图Ⅱ也不是网络,因为它中间的两条弧线相交,而交点却非顶点;图Ⅲ虽是网络,但却不是连通的。而七桥问题的图形,则不仅是网络,而且是脉络!

网络的点如果有奇数条的弧线交汇于它,这样的点称为奇点。反之,称为偶点。

欧拉注意到:对于一个可以“一笔画”画出的网络,首先必须是连通的;其次,对于网络中的某个点,如果不是起笔点或停笔点,那么它若有一条弧线进笔,必有另一条弧线出笔,也就是说,交汇于这样点的弧线必定成双成对,即这样的点必定是偶点!

上述分析表明:网络中的奇点,只能作为起笔点或停笔点。然而,一个可以一笔画画成的图形,其起笔点与停笔点的个数,要么为0,要么为2。于是,欧拉得出了以下著名的“一笔画原理”(如图21):

“网络能一笔画画成必须是连通的,而且奇点个数或为0,或为2。当奇点个数为0时,全部弧线可以排成闭路。”

现在读者看到,七桥问题的奇点个数为4(见图21)。因而,要找到一条经过七座桥,但每座桥只走一次的路线是不可能的!

想不到轰动一时的哥尼斯堡七桥问题,竟然与孩子们的游戏,想用一笔画画出“串”字和“田”字这类问题一样,而后者并不比前者更为简单!

图22画的两只动物世界的庞然大物,都可以用一笔画完成。它们的奇点个数分别为0和2。这两张图选自《智力世界》一刊,也算一种别有风趣的例子!

需要顺便提到的是:既然可由一笔画画成的脉络,其奇点个数应不多于两个,那么,两笔划或多笔划能够画成的脉络,其奇点个数应有怎样的限制呢?我想,聪明的读者完全能自行回答这个问题。倒是反过来的提问需要认真思考一番:即若一个连通网络的奇点个数为0或2,是不是一定可以用一笔画画成?不过,要告诉读者的是:结论是肯定的!一般地,我们有:

“含有2n(n>0)个奇点的脉络,需要n笔划画成。”