首先，让我们总结一下库麦以前在FLT上取得的主要结果。
现列表如下：
指数证明人证明时间
n＝4
费马、贝西1676
莱布尼茨1678
欧拉1738
n＝3欧拉、高斯1770
n＝5
勒让德1823
狄利克雷1825
n＝7拉梅1839
n＜100库麦1844～1857
热尔曼和勒让德证明素指数p＜100时，FLT的第一种情形成立。
其次，关于FLT的第一种情形还有两个较好结果。
20世纪初，关于第一种情形才出现突破性工作。1912年，福特翁勒证明下列两个定理：【定理1】如果p是奇素数，x，y，z是互素的整数，使xp＋yp＋zp＝0，r是自然数，使x能被r整除，但不能被p整除，那么rp-1≡1（modp2）。其中，a≡b（modm）是同余符号，意思是（a-b）能被m整除。
由此可得推论方程：xp＋yp＋zp＝0（xyz不能被p整除）有整数解x，y，z，则2p-1≡1（modp2），这是外斐力什于1909年推论出来的。
最初确定在p＜3700的范围内只有1093，3511两个数使上列同余式成立；现在确定在p＜31059000的范围内也只有这两个数使同余式成立。
【定理2】如果p是奇素数，x，y，z是互素的整数，使xp＋yp＋zp＝0，且r是自然数，使r｜（x-y），（x2-y2）不能被p整除，那么rp-1≡1（modp2）。
那么可以推论方程xp＋yp＋zp＝0（p不能被xyz整除，p＞3）有整数解，则3p-1≡1（modp2）
1941年，D.H.雷麦和E.雷麦证明出来第三条定理。
【定理3】如果FLT第一种情形成立，那么qp-1≡（modp2）对于所有素数q≤43都成立。利用这个结果，证明p＜253747887时，FLT第一种情形成立。