案例1点拨一例
赵毓莉
解题是数学学习的重要教学活动，解题过程中，当学生思维受阻，陷入困境，给予恰当的点拨，对学生形成良好的学习品质非常有益。
案例：若f(x)=1+x2，a≠b，求证|f(a)-f(b)|＜|a-b|。
学生作差、作商都无法入手，教师点拨：有理化是处理二次根式问题常用的方法，能否考虑一下？
学生会选择两边平方解决问题：
(1+a2-1+b2)2(1+a2)(1+b2)2＞1+ab
若1+ab＜0，显然成立。
若1+ab≥0，则1+a2+b2+b＞1+2ab+a2b2
(a-b)2＞0，因为a≠b，显然成立
教师这时可再点拨，处理r2-x2时，可设x=rsinθ去掉根式，能否作此联想：令α=tanα，b=tanβ，α，β∈(-π2，π2)，α≠β，
即转化为证明|secα-secβ|＜|tanα-tanβ|。
再点拨：刚才采用了三角换元的方法，能否再改变思维方式，从图形的角度去思考。
学生会联想到函数对应的图形是双曲线：y2-x2=1上支，|f(a)-f(b)||a-b|恰是它上面任意两点(a，f(a))与（b，f(b)）连线的斜率的绝对值，而此双曲线的渐近线的斜率为±1，故|f(α)-f(b)|＜|a-b|。
接着指出：实数是复数的特例，本题能否退到复数域中去考虑？
将f(x)=1+x2，x∈R，看成z=1+xi，(x∈R)的模，令z1=1+ai，z2=1+bi，(a，b∈R)，由||z1|-|z2||＜|z1-z2|即可得出结论。
还可引导学生利用向量或由1+x2联想两点间距离公式，可设两点A(1，a)，b(1，b)即证：||OA|-|OB||＜|AB|。
最后告诉学生，通过本例，我们应当体会多角度思考问题的重要性，进难则退，进一步柳暗花明，退一步同样海阔天空，这也是人生的哲理。
案例2小议抽象函数定义域求法
严惠峰
一、背景
我任教高二两个文科班，对文科的同学来说他们都比较勤奋，但对数学的探究和理解能力相对较薄弱。如果对一些典型题型解法和规律进行整理使它条理化，那么就能减轻学生的负担，增强他们学好数学的信心。
二、问题提出
抽象函数没有给出具体的解析式，因而学生解抽象函数定义域相关问题觉得困难，容易认为前后两个函数的x是一样的。
三、问题解决
我把解这些类型的题目归纳两条规律：
①函数定义域一律是指x的取值范围
②对同一个对应法则f(·)来说，括号内的范围是一样的。
例1：若f(x)的定义域为［-1，1］，则f(x+1)的定义域为
分析：根据规律①-1≤x≤1，根据规律②，-1≤x+1≤1，再根据规律①得定义域
例2：若f(x－1)的定义域为［-1，1］，则的定义域为。
分析：根据规律①，-1≤x≤1则-2≤x-1≤0，根据规律②，-2≤x+1≤0
根据规律①得定义域x∈［-3，-1］
例3：已知f(x)的图像过点(0，1)，则f(4-x)的反函数的图像过点。
分析：根据规律①，f(0)=1，根据规律②，当时4-x=0，函数值为1，
∴f(4-x)的图像经过(4，1)，反函数的图像过点(1，4)。
四、反思
教师点拨规律使数学问题条理化，对减轻学生课业负担，快速提升学生的基础知识来说，可以达到事半功倍的效果。
案例3让学生来总结
王涛
本人教学的班级是文科普通班，学生的素质比较差。所以在一些问题的讲解中为了使学生更容易掌握知识要点。在数列的一节课中，为了得到一个关于等差数列前n项和的最值问题的规律。本人设计了如下的题组：
1等差数列的公差为d，a1=-24，，从第10项开始为正数，则d的取值范围为
学生大都能很快的解答出：a10＞0
a9≤0
则-24+9d＞0，
-24+8d≤0，求得249＜d≤3
但有部分学生遗漏了，其中一个a9≤0这个的条件。通过分析，学生就马上了解了。
紧接着给出了第二问：
2．如上一题条件，求数列前n项和Sn，判断Sn有无最值？如果有最值，是最大值还是最小值？
学生由于前一题的分析求解中，已经了解该数列的特点，很快说出S9是最小值。
然后我又给出了一题：
3．等差数列{an}中，an=24-2n，则n=时，取得最大值，这个最小值是
学生根据上面的问题规律，判断出a12=0，a11＞0，a13＜0，所以n=11或12时，Sn取最小值，最小值为S11=S12=132
接下去我就给出了一个问题：“请总结，等差数列前n项和Sn，如何才能取得最大值和最小值？”
学生立刻就能根据前面的问题，总结出其中的规律：若等差数列a1＞0，d＜0，则有最大值。若等差数列a1＜0，d＞0，则Sn有最小值。找出等差数列中，项的符号的分界线就能得到前几项和最大或最小。
在整个过程中，根据上面的一些简单题目，学生就能轻松的总结出这一问题的规律。虽然这个规律很简单，但是，在整个教学过程中，学生是在自主的归纳总结出这个规律。
案例4数列问题解题思路规律的探寻
陆剑钢
一、案例背景：
1．数列问题在历年的高考中都占有较重要的地位；
2．虽然学生对等差、等比数列知识掌握较好，但对一般数列的通项公式，递推公式和前n项和的综合性问题（下文简称数列问题）的思路往往很混乱，无法顺利的解决问题；
3．经过深入研究，笔者发现数列问题有其内在的规律（如图42）；
基于以上三点，有必要对这些数列问题的规律进行点拨，使之条理化。为了分析规律条理化给教学带来的影响，笔者将在所任教的两个平行班进行一次教学试验，对3班进行案例教学，在9班只进行常规教学。
二、前期调查：
笔者在3班与9班进行了一次调查，结果两班中分别有14%和8%的学生表示能顺利解决数列问题。
三、案例教学：
（此案例教学于会考复习，共分三课时）
第一课时：
教学内容：求和问题及公式化，要求学生掌握通项公式和前n项和的互求；
（一）（例题设计）求和问题
例1已知数列{an}的通项公式an=3n+5，求前n项和Sn；（公式法）
例2求C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=；（倒序相加法）
例3求数列{(2n+1)2n}的前n项和Sn；（错位相减法）
例4问是否存在这样的实数a和b，使得12.4+14.6+16.8+…+12n(2n+2)=nan+b对于任意的正整数n都成立。（拆、裂项法）
通过上述等例题的教学，要求学生理解并掌握下图的知识架构：
（二）公式化
主要通过“例5，已知数列{an}的前n项和Sn=4n2+3n，求数列的通项公式”等例题，说明已知前n项和可以求出通项公式。
公式化an=S1(n=1)
Sn-sn-1(n≥2)
第二课时：
教学内容：进行递推公式的专项教学，主要要求学生掌握通过六个常见的递推公式求通项公式，通过图45帮助学生理解通项公式、递推公式和前n项和间的联系；
这六个递推公式（笔者称之为“六大递推”）分别是：
an-an-1=d(常数)an-an-1=f(n)Aan-Ban-1=C(A≠B)
anan-1=q(非零常数)anan-1=f(n)1an-1an-1=d(常数)
第三课时：
教学目的：要求学生能熟练掌握如下图的知识架构；
典型例题：已知数列{an}前n项和Sn满足Sn=2an+1，求an和Sn；
分析思路1：根据图46可知，即可以将Sn=2an+1中的Sn消去，转变为关于an的递推公式，再求出an，最后求出Sn；
分析思路2：根据图46可知，即可以将Sn=2an+1中的an消去，转变为关于Sn的递推公式，再求出Sn，最后求出an；
四、教学效果反馈
1．3班中有74%的学生表示有把握解决数列问题；
9班中有36%的学生表示有把握解决数列问题。
2．在随后的测试中所涉及此类问题的47分中，3班学生的平均得分为36分，9班平均得分为22分。
3．3班的学生普遍反映图1对学习的帮助很大。
五、案例反思
1．不难看到，知识脉络间规律的梳理和总结，对学生的学习有着非常明显的帮助；
2．学生易于接受图形式的知识架构，在数列问题的分析中，3班学生的思维活动带有明显的方向性，知道自己要干什么，怎么干；
3．当然，随着沉重学习能力的逐步提高，学生也可能自主发现知识规律，并进行整理和归纳，在此过程中，充当引导者角色的教师如何最大限度地发挥作用，也是一个值得探索的方向。
案例5等差数列题的探究式学习法
周丽丽
1问题背景
在学习了等差数列以后，有一类关于两个等差数列前n项和比值的问题，学生由于认知结构方面的原因，求解时常常会出现很多错误，怎样帮助他们正确地认识等差数列的概念和性质，有效地走出误区呢？我以自主学习为前提，以合作交流为形式，以探究建构为目的，围绕一道等差数列习题设计了一个师生共同纠错探究的案例。在课堂上通过师生互动，使教学过程生动活泼，一波三折，取得了较好的教学效果，不但帮助学生认清了产生错误的根源，而且实现了对等差数列的概念和性质认知的深化和建构，也使学生尝到了探究学习的甜头。
2案例实录
(1)创设情景，提出问题
师：前面我们学习了等差数列，大家知道等差数列是一个重要的特殊数列，它除了定义、通项公式、前n项和公式以外，还有一些重要的性质，正确地、灵活地运用这些知识，可以使我们在求解等差数列的有关问题时得心应手，下面请大家看一个同步练P67第4题。
问题已知数列{an}和{bn}都是等差数列，Sn和Tn分别是它们的前n项之和，且SnTn=7n+2n+3，求a5b5。
从不同的角度思考，可以得到这个问题的不同解法，请大家尝试，看谁能想到更好的方法。
(2)错解辨析，正本清源
问题提出后一学生马上得出结果，虽说结果是错误的，但错解具有一定的代表性和典型性，这时我让该生展示解题过程，以便同学们展开讨论，进行辨析。
生A：因为SnTn=7n+2n+3，因此，可设Sn=7n+2，Tn=n+3，于是
a5=S5-S4=7×5+2-(7×4+2)=7；
b5=T5-T4=(5+3)-(4+3)=1；
a5b5=7
师：这位同学的解法对吗？
生B：这位同学的解法是不对的，因为由SnTn=7n+2n+3，不能得到Sn=7n+2，Tn=n+3。
师：分析的非常正确，那另外的同学有没有不同的解法？我提出
SnTn=7n+2n+3，Sn=k(n+3)，a5=7k，b5=k，a5b5=7；
这样可以吗？（大部分学生同意我的解法。）
师：请同学们回忆等差数列{an}和{bn}前n项和公式的充分必要条件是什么？
生C：Sn=an2+bn。
师：那请同学们再来考虑老师的解法中Sn和Tn的设法正确吗？
生D：Sn和Tn的设法应设为：Sn=kn(7n+2)，Tn=kn(n+3)，所以SnTn=7n+2n+3。
师：非常好，由Sn=na1+n(n-1)2d知，只有当等差数列是常数列时，才能将其前n项和
设为Sn=an+b的形式，而本题并没有这样的条件，生A和老师的解题设法都犯了偷换题设的错误，其原因在于对等差数列的前n项和公式的特征认识不到位。
(3)师生合作，深入探究
师：请大家进一步思考，这个问题除了用求和公式来解，能不能运用等差数列性质来求解。（经过一番讨论，不少同学有了新的发现。）
生E：我有更加简便的解法：a5b5=2a52b5=a5+a5b5+b5=a1+a9b1+b9=9·a1+a929·b1+b92=S9T9=7×9+29+3=6512
（得出此解法后我乘胜追击，又提出了问题。）
师：同学们，两个等差数列{an}和{bn}前n项和Sn和Tn之比一定能表示成关于n的一次分式函数吗？（学生们又热烈地讨论起来了。）
生F：行，我能证明这一结论。由Sn=na1+n(n-1)2d，得
SnTn=na1+n(n-1)2dnb1+n(n-1)2d=d2n+(a1-d2)d2n+(b1-d2)=pn+bqn+c师：非常好，这一结论反映了等差数列的一个性质，和公式与项数n之间的比例关系，可以把它作为一个性质。根据生F的方法，我们知道在两个等差数列{an}和{bn}中，一定有SnTn=a1+anb1+bn，这也可以作为一个性质，围绕这个问题，你们还能得出有关和公式与通项公式之间的比例关系吗？
生J：anbn=2an2bn=an+anbn+bn=a1+a2n-1b1+b2n-1=2n-12(a1+a2n-1)2n-12(b1+b2n-1)=S2n-1T2n-1
师：看来，探究是没有止境的，生J得出了更漂亮的结论：在等差数列{an}和{bn}的通项an和bn之比与前n项和Sn与Tn比之间具有如下关系：anbn=S2n-1T2n-1
3教后反思
英国心理学家贝恩布里说过：“差错人皆有之，而作为教师，对学生的错误不加以利用是不能原谅的。”面对学生在解题中出现的错误解法我们不应该全盘否定，应该顺应其思维，利用错解挖掘错误背后的创新因素，并适时、适度的给予点拨和鼓励，保护学生难得的创新火花。
案例6两种解法，两个结果，哪个对
徐晓红
1案例背景
某天下午的一个课间，课代表拿着一本作业本走进了办公室，说：“老师，我做的这道题的答案与你讲的标准答案不一样，尽管我知道我这样解是错误的，但是我却发现不了错误在哪里？”当时由于时间关系，我没有当场答复。事后，我思考良久，发现有些同学在解题认识上存在一个比较严重的误区，迫切有待于解决。于是专门拿出让大家进行交流、探究。
2案例实录
题：已知cos80°=m，求3cos250°-1sin250°的值。
\[标准答案的解法\]3cos250°-1sin250°
=(3sin50°)2-cos250°(cos50°sin50°)2
=4(3sin50°+cos50°)(3sin50°-cos50°)sin2100°
16sin80°sin20°sin80°sin80°=32sin10°=32cos80°=32m。
\[课代表的解法\]3cos250°-1sin250°=3sin250°cos250°(cos50°sin50°)2
4(3·1-cos100°2-1+cos100°2)sin2100°=4(1-2cos100°)1-cos2100°=4(1+2cos80°)1-cos280°=8m+41-m2
上课展示了两种解法后，我先让同学们独立思考：“标准答案我们已经讲过了，是不是毫无疑问呢？那课代表的答案如何呢？”（先不下定论，欲擒故纵），然后再分组进行讨论。
十分钟后，有小组要求发言：“我们小组的结论和课代表是一致的，他的答案肯定是错误的，但我们小组却也找不出到底是哪里发生了错误。”有部分小组的成员附和的点了点头。
稍后，另一小组发表了不同的意见：“我们小组认为：这两种解法都是正确的，无非是表达形式不一样而已……”话还有说完，马上就得到了另外一些小组的响应。他们纷纷发表了自己的观点。
有的同学说：“两个结果都是正确的，我用计算器算得两个结果相等”；还有同学说：“两个结果均是对的，由三倍角公式知8cos80°+41-cos280°=32cos80°是一个恒等式”；也有同学说：“两个结果均是对的，8m+41-m2=32m等价于8m3-6m+1=0，由三倍角公式知m=cos80°是这个方程的一个根。”最后全班同学终于统一了意见。
3案例反思
(1)我们的现状和困惑