从前，有一位种柑的田老太太，她家里种的柑子不仅表皮金黄灿烂，而且果肉特别香甜可口，所以，远近的有钱人都争着买她的柑子。
这位老太太有两个女儿，大女儿是她丈夫的前妻生的，小女儿是她亲生的。身为后母的这位老太太百般虐待继女。偏偏大女儿比小女儿生得更心灵手巧，惹人喜爱。因此，老太太就更加怀恨在心了，不但让她操劳繁重的家务，而且总想找岔子难为她。她父亲经常外出，只有妹妹暗暗同情和帮助她，使她稍得安慰。
一天，老太太准备把家里剩下的90个柑子全部卖掉。她拿来两个筐子，但不是每筐装45个柑子，而是一筐装15个，另一筐装75个。然后，她把两个女儿叫到身边，把装有15个柑子的筐交给大女儿，装有75个柑子的筐子交给小女儿，吩咐道：“你们各卖各的，两筐柑子的价格必须统一，最后每筐都一定要卖450文，不准多，也不准少。”妹妹听了很着急，但姐姐却显得不慌不忙，她拉着妹妹的手说：“咱们走吧，就按妈妈说的办。”路上，妹妹迷惑不解地问：“姐姐，你难道不知道，这是妈妈在故意难为你吗？”姐姐笑着回答：“她难不倒我。”你有什么办法呢？“妹妹又问。姐姐说：“镇上有个董大财主，病得快不行了，专想买咱家的柑子，而且价格越贵买得越多。咱们‘灵活’一下，难题就解决了。”接着，凑到妹妹身边耳语了一番，说得妹妹笑逐颜开，连连点头说：“对，对，真是个好办法！”太阳落山时，姐妹俩卖完柑子，各带着450文钱回到家里。田老太太见两个女儿果然卖了一样多的钱，十分惊奇，心想，准是自己的亲生女儿偷偷拿出一部分钱给了姐姐，就气呼呼地说：“你们老实说，到底是怎么卖的？”姐妹俩平心静气，你一言我一语地讲了起来，田老太太听了，找不出一点岔子，只好回到自己屋里睡觉去了。
原来，姐妹俩是这样卖柑子的。开始时，她们按三个柑子卖10文钱的价格，姐姐卖去9个，可得30文钱，妹妹卖去72个，可得240文钱。等到董家来人购买时，再按70文一个的价格出售，姐姐卖去剩下的6个，可得420文钱，妹妹卖去剩下的3个，可得210文钱。这样，姐妹俩就能各得450文钱了。
五个生日相同的姐妹兄弟
大千世界，无奇不有。但真正称得上“绝无仅有”的事，也不多见。下面我们讲的是一个真实的故事。当读完篇末的分析，大家就会知道，这样的事情是多么稀奇和罕见。
故事发生在美国的弗吉尼亚州，男主人公名叫拉尔夫，女主人公叫卡罗琳。这是一对“奇迹般的父母”，他们的五个孩子虽然年龄各不相同，但生日却全然一样，都在2月20日出生。
奇迹般故事的序幕是在1952年2月20日拉开的。预计在3月份出生的长女卡莎琳，硬是提前两个星期来到了人世间。一年之后的同一天，次女卡罗尔又诞生了。拉尔夫夫妇对这种巧合惊讶不已，况且1952年是阳历闰年，这一年比通常的365天要多上一天。
1954年6月，母亲卡罗琳第三次怀孕。由于头两个孩子都在2月20日出生，因此做父母的也曾抱着一线希望，期待即将出世的宝宝，能够跟两位姐姐的生日巧合。为此他们曾向医生请求：“如果到了2月20日还不见孩子出生的话，就请用催产的办法。”然而，这个请求被事实证明是多余的。到了这一天卡罗琳自然分娩了。准时来到人间的是宝贝儿子查尔斯。
此后隔了五年。到了1959年，三女儿克劳蒂娅鬼使神差般也在2月20日降世。生她时，家中正在为三个孩子庆贺生日。
四个孩子神奇般地出生在一年365天里的同一天，这可是当时世界的最高记录。当地群众对此家喻户晓，一时传为佳话。因此，当卡罗琳第五次怀孕的消息传开，整个弗吉尼亚地区群情雀跃，人人兴奋不已，个个翘首以待。2月20日这一天，父亲拉尔夫正在运动场观看足球赛。比赛紧张激烈，场上角逐正酣。突然扩音器里传来了振奋人心的消息：“拉尔夫，祝贺您！生了个女儿。”顿时，整个运动场沸腾起来，运动员们也暂停比赛，加入欢呼行列。
相同生日五同胞的故事就此结束了，留给我们的问题是：这种同一父母所生的五个子女，生日全都相同的概率究竟有多大呢？且看下表：
称呼姓名（2月20日）出生的概论长女卡莎琳P1=1次女卡罗尔P2=1365儿子查尔斯P3=1365三女克罗蒂娅P4=1365小女赛茜莉娅P5=1365长女卡莎琳生日是随机的。尽管她是在1952年的366天中，未卜先知地带头选择了2月20日赶到人世。然而对于她，生日的选择是不受约束的，因而P1=1。对于次女卡罗尔，情况则有所不同。她要与她姐姐生日相同，就只能在全年365天中特定的一天出生，因而P2=1365。同理可得查尔斯、克罗蒂娅、赛茜莉娅等人在2月20日出生的概率，各各均为1365。
由于以上五个各自独立的出生事件，是同时出现的，因此其出现的总的概率应为P=P1·P2·P3·P4·P5=1·13654=1177×1010。
也就是说，这种现象出现的概率只有一百七十亿分之一。须知，现今生存在我们这个星球上的人，充其量不过五十亿。而其中有生育能力，而且恰好生五个孩子的女人，估计不会超过一亿（108）。这样，在我们整整一代人中，出现这种现象的可能性只有：
P×108＝1177×1010×108＝056%。
这意味着即使经历了十代人，也极难出现一次五同胞生日相同的事件。况且“可能”还不等于一定要出现呢！然而，这种千载难逢的现象，居然真真切切地有幸发生在我们的时代，这是多么稀奇、多么难得的事啊！
“守株待兔”古今辩
有一则寓意深刻的故事叫《守株待兔》，大意是：
宋国有个农民，有一天，他在地里耕作，看到一只兔子从身旁飞跑而过，恰好撞在地边的一棵树上，折断了颈项，死于树下。那个农民不费吹灰之力，拾得了一只现成的兔子。
这个农民自从拾到兔子之后，就想入非非，从此废弃耕耘，每天坐在那棵大树底下，等待着又一只兔子撞树而来。结果非但没有再拾到兔子，反而把田地给荒芜了！这则寓言，出自先秦著作《韩非子》，脍炙人口，已经流传了二千二百多年。
两千年来，人们总以为“待兔”不得，罪在“守株”！其实，抱怨“守株”是没有道理的。
问题的关键在于兔子的运动规律。倘若通往大树的路是兔子所必经的，那么“守株”又将何妨？然而正如上节故事中我们讲到的，我们周围的世界是一个不断运动的世界。兔子的活动，在时空的长河中，划出一条千奇百怪的轨迹，希望这条轨迹能与树木在时空中的轨线再次相交，无疑是极为渺茫的，这正是这位农人悲剧之所在！下面一则更为精妙的例子，可以使人们生动地看到问题的症结。例中表明如能弄清了兔子运动的规律，有时“守”甚至还是明智的！列奥纳多·达·芬奇（LeonardodaVinci，1452～1519）是意大利文艺复习时期的艺术大师，他那传闻很广的《画蛋》故事，对于青少年读者，可说是很熟悉的。达·芬奇不仅对绘画艺术造诣极深，而且对数学也颇有研究。他曾提出过一个饶有趣味的“饿狼扑兔”问题：
一只兔子正在洞穴（C）南面60码的地方（O）觅食，一只饿狼此刻正在兔子正东100码的地方（A）游荡。兔子回首间猛然遇见了饿狼的贪婪的目光，预感大难临头，于是急忙向自己的洞穴奔去。说时迟，那时快，恶狼见即将到口的美食就要失落，旋即以一倍于兔子的速度紧盯着兔子追去。于是，狼与兔之间，展开了一场生与死惊心动魄的追逐。
问：兔子能否逃脱厄运？有人作过以下一番计算：
以O为原点，OA，OC分别为X，Y轴，以1码为单位长。则OA=100，OC=60。根据勾股定理，在RT△AOC中AC=OA2+OC2=1002+602=116.6这意味着：倘若饿狼沿AC方向直奔兔子洞穴，那么由于兔子速度只有狼速度的一半，当饿狼到达兔穴洞口时，兔子只跑了1166÷2＝583码距离，离洞口尚差17码。这时先行到达洞口的饿狼，完全可以守在洞口，“坐等”美餐的到来！以上计算似乎天衣无缝，结论只能是兔子厄运难逃。可实际上这是错误的！饿狼不可能未卜先知地直奔兔穴洞口去“坐守”，它的策略只能是死死盯住运动中的兔子，这样它本身也就运动成一条曲线，这条曲线可以用解析的方法推导出来：
y=130x32-10x12+2003当x=0时，代入上式得y=6623。这意味着，如若北边没有兔子洞，那么当兔子跑到离原点6623码的B点时，恰被饿狼逮住。然而有幸的是，兔子洞离原点仅有60码，此时此刻兔子早已安然进洞了！随着“饿狼扑兔”谜底的解开，对于“守株待兔”的辩析，似乎也已接近尾声。不料，后来又有人提出异议，对《守株待兔》故事的真实性表示怀疑，理由是：那么机灵的兔子怎会自己撞到偌大的树桩上去？它那两只精灵的大眼睛干什么去了？！说得不无道理！不过，答案是肯定的。要说清这一点，还是从眼睛的功能谈起。
眼睛的视觉功能是有趣的：一只眼睛能够看清周围的物体，但却无法准确判断眼睛与物体之间的距离。下面的实验可以极为生动地证实这一点。
找两支削尖了的铅笔，两只手各拿起一支。闭上一只眼睛，让两支笔的笔尖从远到近，对准靠拢。这时，你会发现一种奇怪的现象：任你怎么集中注意力，两支笔尖总是交错而过！然而，如若你睁着双眼，要想对准笔尖，那是很容易做到的。
以上实验表明：用两只眼看，能准确判断物体的位置，而用一只眼看却不能！那么，为什么两只眼睛便能判定物体的准确位置呢？原来，同一物体在人的两眼中看出来的图象是不一样的！下图是一个隧道分别在两眼中的图象，它们之间的不同是很明显的。
为了证明这两侧图形确是由你左右两眼分别看出的，你可把上图摆在你的面前，然后两眼凝视图中央空隙的地方，如此集中精力几秒钟，并全神贯注于一种要看清图后更远的意念。这样，无须很久，你的眼前便会出现一种要看清图后更远的意念。这样，无须很久，你的眼前便会出现一种神奇的景象：左图左右两侧的形象逐渐靠近，并最终融合在一起，变成了一幅壮观的立体隧道图形！左图是个很好的练习，它选自别莱利曼《趣味物理学》第九章。当你感到两侧图象靠近并融合时，你会领略到一幅壮丽的海上景观：一艘轮船在宽阔的海面上，乘风破浪！现在我们回到兔子撞树的讨论上来。
仔细观察一下便会发现，人眼与兔眼的位置是不相同的：人的两眼长在前方，相距很近，而兔的两眼却长在头的两侧。又根据测定，兔子每只眼睛可见视野为189°30′，而人的每只眼睛可见视野166°。不过，由于人的两眼长在前面，因此两眼同时能看到的视野有124°左右。在这一区域内的物体，人眼能精确判定其位置。而兔眼虽说能看到周围任何东西，但两眼重合视野只有19°，其中前方10°，后方9°。因此兔子只有在很小的视区内才能准确判断物体的远近！纵然兔子对来自四方的威胁都能敏锐地感觉，但对鼻子底下的东西，却完全看不到！况且在惊慌失措的奔命中，说不准早已昏了头脑，撞树的事也就难保不会发生。
“守株待兔”的故事，是韩非子亲眼所见呢，还是他杜撰的？现在自然无法查考。不过，据上面分析，这个故事还是可信的！捷径的迷惑有这样一个故事：
地理老师提问一位学生：“请指出从上海到广州距离最短的路”。学生看了看摆在讲台上的地球仪，从容答道：
“是一条挖通广州与上海的直线隧道。”众哗然！其实，从理论上讲这位学生说的并没有错。那是根据平面几何里的一条公理：“两点间线段最短。”不过，生活在地球上的人类，习惯于把自身的活动，限制在这个星球的表面予以考虑。这样，在上海与广州之间的短程线，很自然地被理解为过上海和广州之间的一段大圆的弧。这段大圆的弧约长1200公里。
球面上过两点的大圆的弧，可以用以下的办法直观地显示出来：在地球仪上拉紧过两点的一条细线，这条细线即可看为大圆的弧。