猜帽色
这是一个有趣的智力游戏。
老师为了测试甲乙丙丁四名学生的分析推理能力，拿了五顶式样相同的帽子给他们看，并强调说：“这里有两顶白帽，一顶红帽，一顶黄帽，一顶蓝帽”。接着他让四人依序坐在四级台阶上，然后叫他们闭上眼睛，又替每人戴上一顶帽子。最后，他让学生们张开眼睛，并判断自己头上戴的帽子是什么颜色。
结果是出人意外的。虽说坐在后面的人看得见前面的人所戴帽子的颜色，但甲、乙、丙三人看了看并想了想，都摇头说猜不出来。某丁坐在最前面，他看不到别人的帽色，但此时却发话了，说他业已猜到自己所戴的帽子颜色。
某丁是如何断定自己的帽色呢？可能聪明的读者已经猜出了游戏的谜底。其实某丁的判断并不难，他是这样思考的：
“某甲得天独厚坐得最高，能看到其余三人的帽子，他为什么说猜不出来呢？肯定他看到了前面有人戴着白帽。因为假如前面的人都戴杂色帽的话，那么他就能猜出自己所戴的是非白帽而莫属了。再说某乙，她可是个聪明人，某甲的想法，她自然了如指掌。那么她为什么也说猜不到呢？一定是她也看到了前面有人戴着白帽。不然的话，她就会从某甲的态度和其他人的帽色，判断自己戴着白帽。最后说某丙，她的智商绝不比某乙低，可她为什么也说猜不到呢！理由只能是一个，就是她看到了我头上戴着白帽。”就这样，某丁从众人的否定中对自己的帽色作了肯定！下面是另一类有趣的“猜帽色”问题。
老师为了辨别他的三个得意门生中谁更聪明些，而采用了以下的方法：事先准备好5顶帽子，其中3顶是白的，2顶是黑的。他先把这些帽子让三个人都看了看，然后要他们闭上眼睛，又替每人戴上一顶帽子。实际上老师让每人戴的都是白帽，而将黑帽子藏了起来。最后再让他们张开眼晴，并判断自己头上戴的帽子是什么颜色。
三位学生互相看了看，都犹豫了一会，然后又几乎同时判定出自己头上戴着白色的帽。
那么，这三位学生是怎样推断出自己的帽色的呢？原来他们用的是“分析否定信息”的方法。谜底是这样的：
三个人为什么都犹豫了一会呢？这只能说明他们都没有人看到两顶黑帽，也就是说三人中至多只能有一人戴黑帽。这一点在犹豫的一刹那，三个聪明的学生当然都意识到了。此时某甲想：“我头上戴的如果是黑帽的话，那么某乙某丙应当猜出他们自己戴着的白帽了，因为黑帽不可能有两人戴。然而乙、丙都在犹豫，可见我是戴白帽了！”与此同时，某乙某丙也都这样想着，因此三人几乎同时脱口而出，猜着了自己的帽色。
十五点
有一种15点游戏，这种游戏由两个人来玩，玩法是两人各持黑白棋子中的一种（每种棋子需要5枚），轮流往写有1-9的一张卡片上放棋子，每人每次只能放一枚，每个格内放过以后就不能再放。谁先把加起来等于15的五个数盖住，谁就获胜。下面是A、B两人对弈的一盘。A持黑子，B持白子，A先放。
①A把棋子放在9上；②B把棋子放在6上；③A把棋子放在4上。
④B必须把棋子放在2上，否则A就可以取胜；⑤A必须把棋子放在7上，否则B就可以取胜了。
1234●56○789●12○34●56○7●89●1○2○34●5●6○7●8○9●⑥B把棋子放在8上；⑦A把棋子放在5上；⑧B把棋子放在1上。
A用棋子盖住的数字有9、7、4、5，而这四个数中任何三个数之和都不等于15。B用棋子盖住的数字有8、6、2、1，其中8+6+1=15，所以B取得了胜利。
玩这种游戏有没有必然取胜的方法呢？先分析一下1-9之间三个数和是15的情况：
1+5+9=152+6+7=151+6+8=153+4+8=152+4+9=153+5+7=152+5+8=154+5+6=15如果把这8种情况都熟记在心中，那就可以根据对方盖住的数字和自己盖住的数字，来争取胜利。
有没有更方便的办法呢？我们先看下面的“井”字游戏。很多人都玩过这种游戏，两人轮流往“井”字格里放棋子，谁的三枚棋子先连成一行（横行、竖行、对角线均可）谁就获胜。
下面三个图表示持黑子者先走，至此无论持白子者怎么放，持黑子者都能取得胜利。
现在我们再研究一下3阶方阵：它的每行，每列以及两条对角线上三个数字之和都是15，共有8个算式，这8个算式正好是我们前边提到的1-9之间三个数字之和，是15的8个算式。
如果依照玩“井”字游戏那样对照3阶方阵15点游戏，就可获得取胜618753294的方法。若游戏的双方都掌握了这个要领，那么就可以走成平棋而不致失败。
现在分析一下开始所举的15点游戏的一个例子，把A、B两人的放法移到“井”字格上，并把3阶方阵中的各数写在“井”字格里。
我们不难看出，在图三的第⑥步中（即B把棋子放在8上），B已设下了埋伏，第7步不论A怎么走，B都能取得胜利。
上面给出的3阶方阵可以经过旋转镜面反射，得到8种不同形状的3阶方阵。在玩15点游戏时利用其中的任何一种都可以。
宁蒙
一种受人喜爱的对策游戏的魅力在于，对策的双方都有取胜的机会。人人都可以运用自己的智慧，谋求取胜的策略；人人都希望自己能比对手技高一筹。倘若一种对策游戏，对策双方对取胜之道都一清二楚，大家都按某种固定的规则去应付对方，双方间的秘密已荡然无存。
这样的游戏必定索然无味，对策本身也就失去了魅力。
数学家的兴趣则是完全另外一回事，他们竭尽心思想弄清各种游戏的取胜策略或取胜的可能性大小。因为他们认为，从研讨对策模型所获得的数学方法，远比对策中的胜负要重要得多。不过，即使数学家们已经得出准确结论的东西，也未必能为世人所尽知。人们依旧津津乐道地玩他们自己的游戏！公元1912年，德国数学家策梅罗（Zermelo，1871～1953）研究了国际象棋中的对策，证明了某三种全局着法中，必定存在一种不依赖对方怎样行动，总能取胜或下成和局的着法！但这丝毫没有影响人们对于国际象棋的爱好，世界性的比赛依然一个接着一个！还有一种极为有趣的火柴游戏，数学家们对它的研究早已一清二楚，但至今仍然深深地吸引着许多青少年爱好者，成为他们课余饭后的一种娱乐。这种游戏源于我们中国，大约一百年前传入欧洲，取名“宁蒙”，也叫中国二人游戏（ChineseGameofNim）。
游戏的方法是这样的：有若干堆火柴，每堆火柴的数目是任意的。现有A、B两人轮流地取这些火柴，每人只能从某堆中取去若干根火柴，也可以整堆全部取走，但不允许跨堆取，即不能一次向两堆中拿。约定谁拿掉最后一根火柴就算谁嬴。
数学家们已经完全掌握了这种两人游戏的制胜诀窍。为了让读者充分了解取胜的奥妙，我们先从游戏中的获胜位置讲起。为叙述方便，我们用记号（p，q，r，…，s）表示对策中火柴的状态。例如（2，2）表示有两堆火柴，每堆各有两根；（1，2，3）表示有三堆火柴，各堆分别为一根、二根和三根等等。
很明显，（1，1）是一种获胜位置，这是可以直接加以验证的。（2，2）也是一种获胜位置。事实上当A拿成（2，2）后，无论B怎样应付都有A胜（见上图）。同样，（1，2，3）也是获胜位置。
当A拿成（1，2，3）后，B可能拿成以下几种情形：
1°B拿成（2，3），A拿成（2，2）·胜；2°B拿成（1，2，2），A拿成（2，2）·胜；3°B拿成（1，1，3），A拿成（1，1）·胜；4°B拿成（1，3），A拿成（1，1）·胜；5°B拿成（1，2，1），A拿成（1，1）·胜；6°B拿成（1，2），A拿成（1，1）·胜。
同样分析可以知道（n，n）·及（1，2n，2n+1）·等都是获胜位置。那么一般地，怎样的位置才是获胜位置呢？把每一堆火柴的数目用二进制数表示出来，写成一行。于是，有几堆火柴就有几行二进制数码。例如（2，2）、（1，2，3）、（3，6，7）和（4，5，6，7）等状态，可以相应写出：
1010〖-〗偶偶11011〖-〗偶偶11110111〖-〗偶奇偶100101110111〖-〗偶偶偶把各行数对齐，并将各列数码相加（不进位），把各自结果的奇偶性写在该列的下方。如果得到的全是偶的，则相应的火柴状态称为正确的状态。数学家告诉我们，正确的状态是获胜位置，不正确的状态就不是获胜位置。
道理并不难，假定A拿成了一种正确状态，这时各堆火柴的数目所写成的二进制数各列之和均为偶数。现在轮到B拿，B不可避免地要动到某行二进位数，从而使这一行的一些1变成0，而另一些0变成1。这就使得一些列的和由偶变为奇，从而由正确状态变为不正确状态。
反过来，如果B已经拿成不正确状态，比如拿成偶，偶，奇，偶，奇，偶。
这表明在右起第二列和第四列内，至少各有一个1，此时有以下两种可能性：
（1）上述两个“1”在同一个二进位数内，即××1×1×则A只要从这一个二进位数相应的那堆火柴里，取走1010（2）=10根，这一行的数就变为××0×0×上式有“×”的地方，数字不变。这样，A拿后的火柴状态变为正确状态。这时相应二进位数各列之和，包括第二列与第四列，都变为偶数。
（2）上述两个“1”不在同一行，而在两个不同的行：
××1×0×××0×1×由于1000（2）-0010（2）=8-2=6=0110（2）也就是说，当从上一行相应的堆取走6根火柴时，上面两行将变为如下状态：
××0×1×××0×1×式中有“×”的地方，数字都不变。从而各列之和全为偶数。即此时A已拿成正确状态。
综合以上两种情形，说明如果B拿成不正确状态，则A一定有办法把它拿回到正确状态。而A一旦拿成正确状态，轮到B拿就只能破坏这种状态，这就是说，只要A在游戏的某个时刻把握住了正确状态，它实际上已经稳操胜券了！我想聪明的读者大约都已掌握了火柴游戏的取胜秘诀。不过，如果对方是生手，你完全不必如临大敌。因为开始时每堆火柴数目很多，堆数也很多，你完全可以随心所欲地拿。等火柴拿得差不多时，再看准那些形如：（2，2），（1，2，3），（n，n），（1，2n，2n+1）。之类基本获胜位置或它们的组合，你的胜利是完全不成问题的！
摆硬币
对数学家来说，一种有意义的对策或游戏，往往不必进行到最后，便能洞悉最终的结局，有时甚至一开初就能捕捉住决胜的机遇。
下面是一个著名的古典对策游戏：两个人坐在一张普通的圆桌子旁，轮流往桌面上摆硬币，双方约定，所放的硬币必须是同样币值的，且均须平放而不许重叠。谁在桌上放下最后一枚硬币，他就是胜利者。
对这个问题，数学家们将作何评论呢？他们会毫不迟疑地说：“要是我，一定选择先放！”在数学家看来，整个对策游戏处于对称状态。如若把第一枚硬币摆在圆桌的中央，然后按“对称”原则，每当对方放下一枚硬币的时候，我们就在圆桌中心为轴心，与硬币对称的位置下也放一枚。只要对方尚有地方放，我方也一定会有对称的地方放，直到对方无处可放为止。这种游戏的获胜策略，在数学家的脑海里是无与伦比的清晰。
冯·诺依曼（JohnVonNeumann，1903～1957）是当代杰出的数学家，对策论的创始人。有一次，有人向他请教一个游戏问题：九张扑克牌，分别是A（作为一点）、2、3、…、9。两人轮流取一张牌，已取走的牌不能重新放回去，谁手中有三张牌的点数加起来会等于15，就算谁嬴。问要怎样取牌才能获胜呢？冯·诺依曼教授想了一分钟，说道：“唷！这个游戏倒有点意思。先走的人略占便宜，但是后走的人如果应付得当，一定可以打成平局。”经教授点破后，请教的人终于恍然大悟。
那么在冯·诺依曼教授的眼里，这是怎样的一个问题呢？大家一定还记得《数学世界的“海市蜃楼”》一节里讲到的幻方“洛书”吧！游戏中要求拿到的三张牌的点数为15，实则就是要尽量使自己所拿的三张牌，恰好是洛书中的某行、某列或对角线上的三个数字。294753618这样，我们所讲的对策问题，跟大家所熟悉的“吃＃字”游戏，是完全一样的。“吃井字”的玩法是：两人轮流在一个井字格里分别画“○”或“×”，谁能把自己所画的“○”或“×”连成一直线，谁就算赢。
1907年，数学家威索夫（Wythoff）发明了一项两个人玩的游戏。在这个游戏中，两人轮流从甲乙两堆火柴中移走一些火柴。开始时每堆火柴的数目是任意的，比如各为p和q。我们用有序数偶（p、q）来表示此时火柴的状态。
游戏的规则是这样的，每次可用以下三种方法之一移动火柴。
（1）从甲堆中移走一些火柴；（2）从乙堆中移走一些火柴；（3）从两堆中各移走数目相同的火柴。
用代数方法表达这些规则就是，把（p，q）变成下列三种有序数偶之一：（p-t，q），（p，q-t），（p-t，q-t）。由于规定每次移动至少要有一根火柴，所以t≥1。不过t的选取取决于参加游戏的人，甚至可以取走整个一堆，只是谁取走最后一根火柴算谁赢。
例如，开始游戏时的火柴状态为（17，14），由A先拿：
A拿成（16，13），B拿成（9，13）；A拿成（9，7），B拿成（6，7）；A拿成（4，7），B拿成（4，2）；A拿成（1，2），B拿成（1，1），（0，1），（0，2）或（1，0）；A拿成（0，0）*获胜。
不难看到，A达到打有“”号的数偶（1，2）是关键的一着，因为此时A实际已经取胜，此后B无论怎样应对，都难免于失败。所以（1，2）我们称为获胜位置。当然，（0，0）更是获胜位置。
从最末一个获胜位置（0，0）开始，我们可以推出如下一张获胜位置表，这张表可以通过逐一尝试到：
倒算顺序获胜位置（p，q）pq｜p-q｜1（0，0）0002（1，2）1213（3，5）3524（4，7）4735（6，10）61046（8，13）81357（9，15）91568（11，18）111879（12，20）12208例如，当A拿成（3，5）时，此后无论B怎样应付都有：
B（3，4）；A（1，2）*胜；B（3，3）；A（0，0）胜；B（3，2）；A（2，1）*胜；B（3，1）；A（2，1）*胜；B（3，0）；A（0，0）胜；B（2，5）；A（2，1）*胜；B（1，5）；A（1，2）*胜；B（0，5）；A（0，0）胜。
因此得出（3，5）也是一个获胜位置，等等。可以看出，上表中的p、q有以下规律：
（1）表中的p-q栏，按自然顺序递推；（2）除0以外，p、q两栏的数字，既不重复又不遗漏地包含了所有的自然数；（3）表中某个获胜位置的p值，恰是前面所有获胜位置中尚未出现过的最小自然数。
根据上面三条，我们能够把获胜位置的表，无限制地延续下去。如表中紧接着未写出的获胜位置（m，n）可以这样推出：首先m应是前面没出现过的最小整数，即得m=14，又n-m=9，得n=23。从而，表中下一个获胜位置为（14，23）。如此等等。
威索夫教授证明了：一旦某甲达到了某个获胜位置，那么某乙接下去绝不可能达到表中的其他获胜位置。反过来，如果某乙所达的位置不在表中，则某甲接下去一定有办法把它拿成表中的获胜位置。也就是说，某甲一旦拿成获胜位置，那么实际上他已经稳操胜券。
魔术猜姓