兔子繁殖
大约很少有人在欣赏一株枝叶茂盛、婀娜多姿的树木时，会关心到枝丫的分布。但生物家和数学家都注意到了这一点。由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以他们设想：一株树苗在一年以后长出一条新枝；第二年新枝休息，老枝依旧萌发；此后，老枝与休息过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年休息。这个规律在生物学上称为“鲁德维格定律”。
根据鲁德维格定律，一株树木各个年份的枝丫数，依次为以下一列数：
（1），1，2，3，5，8，13，21，34，……
上面的数列渊源非常悠久。公元1202年，商人出身的意大利数学家斐波那契（Fibonacci，1170～1250），完成了一部伟大的论著《算法之书》。这部中世纪的名著，把当时发达的阿拉伯和印度的数学方法，经过整理和发展之后介绍到欧洲。
在斐波那契的书中，曾提出以下有趣的问题：
假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再经过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。问一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子？逐年推算，我们可以得到前面提过的数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。这个数列后来便以斐波那契的名字命名。数列中的每一项，则称为“斐波那契数”。第十三位的斐波那契数，即为一对刚出生的小兔，一年内所能繁殖成的兔子的对数，这个数字为233。
从斐波那契数的构造明显看出：斐波那契数列从第三项起，每项都等于前面两项的和。假定第n项斐波那契数为un，于是我们有：
u1＝u2＝1un+1=un+un-1（n≥2）通过以上的递推关系式，我们可以算出任何的un，不过，当n很大时递推是很费事的，我们必须找到更为科学的计算方法！为此，我们先观察以下较为简单的例子。
在《大数的奥林匹克》一节，我们讲过一个关于“梵天预言”的故事。现在我们假定按“梵天不渝”的法则，完成n叶金片的搬动要进行un次动作。那么，要完成n+1叶金片的搬动，可以通过以下的途径达到：先把左针上的n叶金片，通过un次动作搬到中间针；再把左针上的第n+1叶金片搬到右针上去；最后再通过un次动作，把中间针上的n金片搬到右针上去。这样，实际上已将n+1叶金片从左针搬到右针，从而上述的动作总数等于un+1。这就是说，我们有：
u1=1un+1=2un+1（n≥1）下面我们通过上述递推关系来直接推导un。
注意到un+1+1=2（un+1）令vn=un+1则v1=2vn+1=2vn（n≥1）数列｛vn｝是一个首项为2，公比也为2的等比数列。易知：
vn＝2·2n-1＝2n从而un=vn-1=2n-1由此可知，梵天要求搬完64叶金片需要做的动作为（264-1）次。如果完成每个动作需要一秒钟的话，则需大约5800亿年！这个数字大大超过了整个太阳系存在的时间，所以梵天的预言真可谓“不幸而言中”！不过，我们完全不必“杞人忧天”，整个人类的文明社会至今也不过几千年，人类还远没有到达需要考虑这个问题的时候！现在我们回到斐波那契数列上来。受“梵天预言”例子的启发，我们试图从等比数列1，q，q2，q3，…，qn-1，…
中寻求满足递推关系un+1＝un+un-1的解答。
令qn＝qn-1+qn-2（n≥2）因q≠0，解得：
q1=1+52q2=1-52现令un＝aq1n-1+βq2n-1u1＝u2＝1立知α＋β＝1α1+52+β1-52=1解得α=151+52β=-151-52从而un=151+52n-1-52n以上公式是法国数学家比内首先证明的，通称比内公式。令人惊奇的是，比内公式中的un是以无理数的幂表示的，然而它所得的结果完全是整数。不信，读者可以找几个n的值代进去试试看！斐波那契数列有许多奇妙的性质，其中有一个性质是这样的：
u2n-un+1·un-1＝（-1）n+1（n＞1）其实，读者只需看看下式便会明白。
u2n-un+1·un-1＝u2un-（un+un-1）·un-1=-u2n-1+u2n-un·un-1=-u2n-1-un（un-un-1）=-u2n-1-un·un-2）=……
=（-1）n（u22-u3·u1）=（-1）n+1斐波那契数列上的上述性质，常被用来构造一些极为有趣的智力游戏。美国《科学美国人》杂志就曾刊载过一则故事：
一位魔术师拿着一块边长为13英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长21英尺，宽8英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差，深感惊异。因为两者之间面积相差达一平方英尺哩！可是魔术师竟让匠师达到了他的目的！这真是不可思议！亲爱的读者，你猜猜那神奇的一平方英尺跑到那儿去呢？需要告诉读者的是，类似的智力问题还可以构造出很多很多，这只要把上题中的长方形边长和正方形边长，换成连续的三个斐波那契数就行！道理就是前面提到过的那个式子。
有关斐波那契数列的趣题实在不少，有兴趣的读者不妨试试找找看！
墨比乌斯环
现在，我们通过一个有趣的问题，来介绍墨比乌斯环。
某个地区有三个村庄和三个学校，现在要从每一个村庄到三个学校各修一条路，能不能使这些路互不相交呢？每个村庄要修三条路通向三个学校，所以总共得修3×3＝9条路。左图画出了八条路，要修第九条路就不可能了。
你可以再试试，我断定你也会失败的。为什么呢？欧拉公式n-m+p=2可以说明这一点。
假定你竟把这九条路都修好了，那么，每个村庄和每个学校，就相当于一个顶点（n），每一条路就相当于一段边界（m），道路之间的土地就相当于分成若干个国家（p）。因为有九条路、六个顶点，所以根据欧拉公式，6-9+p=2，得p=5，就是说有五个国家。
从一个村庄出发，随便走一段路，就会到达一个学校；再走一段路，就会到达另一个村庄；再走一段路，又会到达另一个学校。总之，走三段路是不会回到原地的，也就是说，三段边界围不出一个国家。可见每个国家都至少有四段边界。
我们知道，每一段边界两侧各有一个国家，九条边界两侧共有十八个国名。现在，每一个国家至少有四段边界，18÷4=45，而国家的数目不可能出现小数，所以国家至多是四个。
这里说国家至多是四个，前面根据欧拉公式算出来，国家必须有五个，不就矛盾了吗？这只能说明开始的假定是不合理的，也就是说，你不可能按题目提出的要求把路修好。
这种在地面上不可能完成的修路计划，在特殊的曲面上倒是可以完成。把n=6、m=9、p=4代进欧拉公式6-9+4=3-h，得h=2。
这说明在连接数是2的曲面上，就可以修好这样的九条路。墨比乌斯环正是一种连接数是2的曲面。
什么是墨比乌斯环呢？把一个长的纸条，扭转180°，把两端粘在一起，就成了一个墨比乌斯环。
你把墨比乌斯环沿中线剪开。不要以为这样一剪，环就分成了两个。它仍旧是一个纸环，当然大了一倍，仔细检查一下，它扭了360°。
剪了一圈，它没有分成两片，可见它的连接数至少是2。
如果用刚才的办法，再沿中线剪一圈，纸环分成互不相联的两个环，虽然它们互相套着。这说明墨比乌斯的连接数不是3，只可能是2。
现在我们就来看一看，怎样在连接数是2的墨比乌斯环上安排那九条路。
用一个透明的纸来做一个墨比乌斯环。如果你用的纸不是透明的，那就要正反两面都画好，粘好之后，你就会得到一个修路的方案。
墨比乌斯环有许多有趣的性质。它没有正反两面，换句话说，你没有办法把它一面染成蓝的，一面染成红的。不信你就试试看。它没有上下两个边，换句话说，你没有办法把它的一个边染成红的，另一个边染成蓝的。不信你就试试看。
在墨比乌斯环上画地图，根据前面所说的原则染色，需要五种颜色。你不妨试试看。
还有一个有趣的问题，也是在平面上办不到，而在墨比乌斯环上可以办到。这个问题是：有个地区有五个村庄，在每两个村庄之间修一条公路，能不能使这些公路都不相交？现在要上一个八级楼梯，规定每次只能上一阶楼梯或上二阶楼梯，问可能有多少种不同的跨法？解决这个问题，先从最简单的情况入手，从中寻求规律。
假如楼梯只有一阶，那么只有一种跨法；假如楼梯有二阶，那么有两种不同的跨法；假如楼梯有三阶，那么有三种不同的跨法；假如楼梯有四阶，那么有五种不同的跨法；观察得到的几个数：
1，2，3，5显然，它们是斐波那契数列的前几个数，后几个数应是：
1，2，3，5，8，13，21，34因此，当上八阶楼梯时，应有34种不同的跨法。
四色问题
在有关地图的各种问题中，最使数学家感到困难和兴趣的，要数四色问题了。
四色问题是怎么回事呢？找一张全国地图，你看河北省染成了粉红的颜色，河南省染成了米黄的颜色，……为什么要这样染颜色呢？当然不是因为河北省这块地方是粉红色的，或者河南省这块地方是米黄色的。
地图上染的颜色和地面上天然的颜色并没有什么关系。地图染颜色，只不过为了醒目，看起来清楚一些。要是把一张全国地图全染成粉红色，你要找出河北省和河南省的分界线就困难了。
当然，也不必把每一个省都染成不同的颜色。相距较远的省，即使染成了相同的颜色，也不影响我们看地图。我们只要掌握一条染色原则：相邻的省要染上不同的颜色。
那么，我们至少要准备几种颜色呢？为了回答这个问题，我们先做一个试验。
拿一张没有染色的中国地图来。再准备一盒颜色铅笔。
我们从左上方开始吧。
你看，新疆、青海、甘肃三个省，它们两两相邻。根据前面说的原则，它们的颜色都不能相同。因此，你马上就得用到三支颜色铅笔。比如说，甘肃染红色，青海染黄色，新疆染绿色。
好。为了节约颜色，尽可能只用这三种颜色，你现在把这三支颜色铅笔留在桌上，把其他的笔收起来。看看只用这三支笔，能不能把全国各省，都按染色原则染上适当的颜色。
先看西藏。它一边挨着新疆，所以不能染绿色；它又挨着青海，所以不能染黄色；只剩下一支红铅笔可用了。我们只好把西藏染成红色。
四川呢？它和青海、西藏相邻，所以不能染成黄的或红的，只好染成绿的。
这样下去，陕西只好染成黄的，宁夏只好染成绿的。
好。山西应染成绿的，河南应染成红的。
湖北怎么办？它的周围已经有河南、陕西、四川染了颜色，黄、红、绿都有，你只好再从铅笔盒中拿出一支别的铅笔，比如说蓝的来染湖北省了。
你也许会问，把河南、陕西、四种各省的颜色重新安排一下，能不能就不必拿出蓝铅笔来呢？这是不可能的。前面已经说过，那些已经染过颜色的省，它们染什么颜色并不是任意选择的，只要新疆、甘肃、青海三个省的颜色确定了，四川、陕西、宁夏、山西、河南等省的颜色就成了定局。
当然，甘肃、青海、新疆三省的颜色可以随便换。比如说，甘肃用黄的，青海用绿的，新疆用红的。那就会得到另一张颜色地图，这时，西藏也就改成了黄的，四川改成了红的，……
结果呢？到了要染湖北的时候，你还是得用第四种颜色。
换个说法就更清楚了。如果只用三种颜色，那么不管甘肃、青海、新疆染成什么颜色，西藏必须染甘肃的颜色，四川必须染新疆的颜色，陕西必须染青海的颜色，宁夏必须染新疆的颜色……结果是到了染湖北的时候，就会发现甘肃的颜色、新疆的颜色、青海的颜色都不能用了。怎么办呢？只好用第四种颜色了。
要不破坏前面所说的染色原则，用三种颜色是不可能的。现在有了四种不同颜色的铅笔可用，我们就有了很大的活动余地了。
你不妨再多试几张地图，甚至可以随便画一个地图，不论它有多少个地区，你总可以用四种颜色把它染好。当然，有的地图碰巧用三种颜色就可以了；有的也许比较难，要经过多次试验才能成功。但是有一条是肯定的，古今中外的一切地图，都可以用四种颜色来染色，而不破坏染色原则。
在古今中外的地图中没有碰到过例外，并不是永远不可能碰到例外。谁也不能保证不会发生这样的事：有一天，突然有人画出一张地图，这个地图非用五种颜色来染色不可。
分配钥匙
重要的东西放在柜子里，往往要上锁。
要是两个人共同保管一柜子重要东西，为了慎重，就放上两把锁，两人各拿一把锁的钥匙。
这样，只有两人同时在场，才能打开。
要是三个人共同保管，并且规定：只要两人在场，便可以打开柜子，而一个人是打不开的，应当怎么办呢？容易想到：可以用三把锁，每人拿两把钥匙。甲、乙、丙三个人，A、B、C三把锁，甲拿A、B的，乙拿A、C的，丙拿B、C的。这样，谁来了也不能开三把锁，可是任意两个人来，就可以了。
更复杂一些，一个办公室有四个人，规定够三个人才能开那个文件柜，那么，至少要用几把锁？钥匙又应当怎样分配呢？也许你会说，这还不简单，三个人用三把锁，四个人用四把锁好了。每人拿三把钥匙，不就可以了吗？仔细一想，不行。四人当中，谁也不能拿三把钥匙。要是甲拿了三把，而第四把在乙手里，岂不是甲、乙两人就把门开了嘛。
类似的道理，谁也不能只拿一把。
既然谁都不能拿一把或者三把，那就只剩下每人两把这一种可能了。每人两把行不行呢？要是甲拿到一、二两把，那么，另外三人，谁也不能同时拿三、四两把；不然，两个人就把柜子打开了。所以，在乙、丙、丁三人中，一定有人同时拿到一把锁的两把钥匙。这样，另外三人就开不开柜子。因为他们手里，都没有那把钥匙。
五把锁呢？可以证明，五把也不行。想实现提出的要求，至少要六把锁，钥匙的具体分配方案是：
甲：1、2、3；乙：3、4、5；丙：5、6、1；丁：2、4、6。
直线分割圆面
一个圆面，如果用一条直线来分割它，显然它被分成两部分；如果画两条直线，那么圆面最多被分成四部分。如果要问：在圆面上画十条直线，圆面最多被分成多少部分？这时再用观察和实验的方法就十分困难了。用什么办法解决这个问题呢？那就需要探索其中的规律。
先从最简单的情况实验起：
用一条直线分割圆面，圆而被分成两部分；用两条直线分割圆面，圆面最多被分成四部分；用三条直线分割圆面，圆面最多被分成七部分；用四条直线分割圆面，圆面最多被分成十一部分：
我们分析以上的几个结果：
S1＝2＝1＋1S2＝4＝1＋1＋2S3＝7＝1＋1＋2＋3S4＝11＝1＋1＋2＋3＋4发现圆面被分割成的部分是由两部分组成的：一部分是1，另一部分是若干个从1开始的连续自然数的和，最后一个加数恰好等于所画直线的条数。
了解了这个规律，求直线分割圆面时，就可以应用这个规律，而不再去实验。
比如，用五条直线去分割圆面，那么圆面最多被分割成S5＝1＋1＋2＋3＋4＋5=16个部分。
当用十条直线去分割圆面，那么圆面最多被分割成：
S10＝1＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=56个部分。