书城教材教辅新课程师资培训教程-高中数学优秀课例
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第12章 两角和与差的正弦、余弦、正切(3)

∴sin(α+β)sin(α-β)sin2αcos2β=sin2α-sin2βsin2αcos2β……②又∵1-tan2βtan2a=sin2αcos2β-cos2αsin2βsin2αcos2β=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2βsin2αcos2β=sin2α-sin2αsin2β-sin2β+sin2αsin2βsin2αcos2β=sin2α-sin2βsin2αcos2β……③由②、③得

sin(α+β)sin(α-β)sin2αcos2β=1-tan2βtan2α本题还可以从函数名称来分析,左边是正、余弦函数,右边是正切函数,故可考虑从右边入手用化弦法,请同学们自己把上面过程反过来,从右边推出左边。

例5求证:cosα+3sinα=2sinπ6+α师:本题我们可以从角的形式来分析,左边是单角,右边是复角,如果从右边证左边则要把复角变单角(即利用和角公式);如果从左边证右边则须配一个角π6,所以本题起码有两种证法。

证法1:右边=2sinπ6cosα+cosπ6sinα=212cosα+32sinα=cosα+3sinα左边

∴原式成立

师:另一种证法根据刚才的分析要配出角π6,怎样配?大家仔细观察证法一就不难发现了。

证法2:(学生板书)

左边=212cosα+32sinα

=2sinπ6cosα+cosπ6sinα=2sinπ6+α=右边∴原式成立

演练反馈

(1)化简=sin(α-β)sinαsinβ+sin(β-θ)sinβsinθ+sin(θ-α)sinθsinα(2)已知sinαcosβ=1,则sin(α+β)的值A.不确定,可在[0、1]内取值

B.不确定,可在[-1、1]中取值

C.确定,等于1

D.确定,等于1或-1

【参考答案】

(1)原式=sinαcosβ-cosαsinβsinαsinβ+sinβcosθ-cosβsinθsinβsinθ+sinθcosα-cosθsinαsinθsinα=ctgβ-cosα+ctgθ-ctgβ+ctgα-ctgθ=0

(2)C

【总结提炼】

(1)利用“拆角”“凑角”变换是进行三角函数式求值、证明、化简的常用技巧,如:α=(α+β)-β,2α=(β+α)-(β-α),α+2β=(α+β)+β。在三角形中,A+B=π-C,B=π-(A+C)等变换技巧,同学们应十分熟悉。

(2)本节课的例5,代表着一类重要题型,同学们要学习它的凑角方法,一般地Asinx+Bcosx=A2+B2sin(x+θ),其中tanθ=BA(A≠0)。

(3)在恒等式中,实施特值代换,是一类重要的数学方法——母函数法,这种方法在数学的其他学科中,均有用武之地。它反映的是特殊与一般的辩证统一关系。

板书设计

课题:两角和与差的正弦例1例4

1公式推导例2例5

①sin(α+β)=cos[π2-(α+β)]例3演练反馈=cos[π2-α-β]

总结提炼

=sinαcosβ+cosαsinβ得到公式……S(α+β)

把公式中β换成-β得公式……S(α-β)

2公式的结构特点

1°用单角函数表示复角函数

2°右边中两个积的函数名称不同

3°……运算符号同左边括号

中的运算符号一致(区别于C(α+β)、C(α-β))

3折、凑角技巧

【习题精选】

基础题

一、选择题

1cos80°sin40°+sin50°cos10°的值是A.12 B.22 C.32 D.-32

2sin(x+27°)cos(18°-x)+sin(18°-x)cos(x+27°)等于A.-22

B.22

C.12

D.-12

3下列命题中是假命题的是

A.对任意的α和β角,有sin(α+β)=sinαcosβ-cosαsinβ成立B.存在无穷多个α和β角,使得sin(α+β)=sinαcosβ-cosαsinβ成立C.对任意的α和β角,有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ成立D.存在无穷多个α和β角,使得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ成立4已知ctgα=2,tan(α-β)=-23,则tan(β-2α)的值是A.-74

B.-18

C.18

D.47

5若1-tanA1+tanA=4+5,则cosπ4+A=

A.-(4+5)

B.4+5

C.-14+5

D.14+5

6化简sin15°·cos9°-cos66°sin15°·sin9°+sin66°的结果是A.tan9°

B.-tan9°

C.tan15°

D.-tan15°

二、填空题

712sin15°-32cos15°=。

8若tan80°-tan20°+mtan80°tan20°=3,则m。

9若sinθ-π6=817,π6<θ<π2,则cosθ=。

10设α、β为锐角,且sinα=35,tanβ=17,则α+β=。

三、解答题

11已知sin(α+β)=35,cos(α-β)=-1213,且π2<α+β<π,π<α-β<23π,求cos2α,sin2α,tan2α的值。

12设34π<θ<54π,

cosπ4sin34π-θsin(π-θ)-sinθ-π2

sinθ+π4的值。

13已知tanα=3(1+m),3(tanαtanβ+m)+tanβ=0,且α、β均为锐角,求α+β的值。

14在△ABC中,已知tanA=13,tanB=-2,求∠C。

15已知sinα=msin(α+β)(m>1),求证tan(α+β)=sinβcosβ-m。

综合题

一、选择题

162sin50°cos10°(1+3tan10°)2cos5°的值为A.12

B.1

C.3

D.2

17在△ABC中,如果sinA=45,cosB=513,那么sin(A+B)=

A.6165B.6365

C.3165D.5665

18若tanα,tanβ是方程x2-6x+7=0的两个根,则α+βA.34B.π4

C.2kπ+34π(k∈Z)D.kπ-π4(k∈Z)

二、填空题

19已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(α-β)=。

20已知sin(π+θ)=-35,θ是第二象限角,tan32π+θ=-2,θ是第三象限角,则cos(θ-θ)=。

21若tanα,tanβ是方程x2-3x-3=0的两个根,则sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)=。

22已知5cosα-β2+7cosβ2=0,则tanα2tanα-β2=。

23已知sinθ=45,θ是第二象限角,又tan(θ+α)=1,则tanα=。

三、解答题

24化简:cos(α-15°)+cos(α+45°)-3cos(α+15°)。

25已知在△ABC中,tanC+tanB+3tanBtanC=3,又3tanA+3tanB+1=tanAtanB,试判断△ABC的形状。

26化简:(tan10°-3)·cos10°sin50°。

27已知:cosα=17,cos(α+β)=-1114,求cosβ的值。

28设m为实数,且点A(tanα,0),B(tanβ,0)是二次函数f(x)=mx2+(2m-3)·x+m-2图像上的点,求函数y=tan(α+β)的最小值。

【答案与提示】

1C2B3A4C5B6B7-228-39153-83410π411sin2α=-1665,tan2α=-1663,提示:2α=(α+β)+(α-β)

12-113α+β=π314π415提示:α=(α+β)-β16D17D18D19-12提示:消去角γ205521-322-6,cos2α=6365提示:α-β2=α2+α-β2,β2=α2-α-β223-7,提示:α=(θ+α)-θ240,提示:α+45°=(α+15°)+30°25顶角为120°的等腰三角形26-22712或-719828-34,提示:由已知tanα,tanβ必为方程mx2+(2m-3)·x+m-2=0的两根,tanα+tanβ=3-2mm,tanαtanβ=m-2m,故tan(α+β)=23-m,又由△≥0(m≠0),得m≤94(m≠0),怕以tan(α+β)的最小值是-34。