书城教材教辅新课程师资培训教程-高中数学优秀课例
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第13章 二倍角的正、余弦、正切(1)

二倍角的正、余弦、正切

【教学目标】

1.掌握倍角公式的推导,从中体会数学的化归思想和数学规律发现的过程;2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明;3.通过综合运用公式,使学生掌握有关技巧,提高学生分析问题,解决问题的能力;4通过以上公式的推导,了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系,从而培养学生的逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。

【教学建议】

1倍角公式可以由学生根据和角公式直接推导出,在对T2α公式的推导中让学生完善角的范围限制。公式推出后,让学生将倍角和前面所学的和(差)角公式的联系图总结出来,使知识系统化。

2由学生讨论分析公式的特点。①公式中的角之间存在2倍关系,其中要强调倍角的相对性,打破学生习惯认为只有α,2α才具有2倍角关系,教学中通过一些简单实例加强这方面的训练,熟悉公式的正向、逆向运用,如sinα=2sinα2cosα2,cosα2=cos2α4-sin2α4,tan3α=2tan3α21-tan23α2,sin3αcos3α=12sin6α,tan20°1-tan20°=12tan40°等。②利用T2α求tan2α只需要已知tanα即可,利用S2α,C2α求sin2α,cos2α时需要已知sinα,cosα,观察C2α左侧的特点,可以与sin2α+cos2α=1建立联系,能否将公式变形?引导学生推导出C2α的两个变形公式,因此已知sinα,cosα中之一即可求出cos2α。③由单角变为倍角时式子的幂降升高,相反由倍角变为单角时式子的幂降低,在求解、化简或证明时要注意分析角之间、式子幂之间的关系,整理将形式统一。

3讲解例1时给学生指出或让学生归纳出:已知角α的某个三角函数值及其角所在的象限不仅可以求出α其余的三角函数值,还可求倍角的三角函数值。

4课本在例2的分析中给出将结论变形求解的方法,学生感觉方法巧妙的同时,还困惑理解方法如何想到的,给学生分析:证明三角等式一般要观察分析等式两边的联系区别,主要从角和函数名称入手,尽量将角和函数名称统一,此题左右两侧的角形式和函数名称都相同,分子中的角都是4倍的、函数名称都是正弦、余弦,分母上都是单角而且函数名是正切,直接从左或右向另一侧证明有些困难,能否将结论适当的变形以便于求解?使学生了解整个题目分析的过程。

5解决本章开始所提的问题,是倍角公式的实际应用,利用三角函数线学生可以得到sin2θ≤1,得到本题的结论。另外还需要把题目中“半圆”的条件替换为“圆”,可以得到正方形的性质:在一个圆的所有内接矩形中,内接正方形的面积为最大。

【教学设计示例】

二倍角的正弦、余弦、正切(第一课时)

教学具准备

投影仪或多媒体设备

教学目标

1掌握S2α、C2α、T2α公式的推导,明确α的取值范围。

2运用二倍角公式求三角函数值。

教学过程

设置情境

师:我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,请大家回忆一下这组公式的来龙去脉,并请一个同学把这六个公式写在黑板上,生:sin(α±β)=sinαcosβ±cosα·sinβcos(α±β)=cosαcosβsinα·sinβtan(α±β)=tanα±tanβ1tanαtanβ师:很好,对于这些公式大家一方面要从公式的推导上去理解它,另一方面要从公式的结构特点上去记忆,还要注意公式的正用、逆用和变用。今天,我们继续学习二倍角的正弦、余弦和正切公式探索研究师:请大家想一想,在公式S(α+β)、C(α+β)、T(α+β)中对α、β如何合理赋值,才能出现sin2α、cos2α、tan2α的表达式,并请同学把对应的等式写在黑板上。

生:可在S(α+β)、C(α+β)、T(α+β)中,令α=β,就能出现sin2α、cos2α、tan2α,对应表达式为:sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinαcos(α+α)=cosαcosα-sinαsinαtan(α+α)=tanα+tanα1-tanα·tanα即:sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α

tan2α=2tanα1-tan2α

师:很好,看来本节课的主要任务,已经被大家轻松完成了。对于公式tan2α=2tanα1-tan2α,我们似乎要注意些什么?大家想一想要关注什么?

生:要使tan2α有意义及1-tan2α≠0,tanα有意义。

师:tan2α有意义即2α≠kπ+π2,α≠kπ+π4(k∈Z)。

1-tan2α≠0,即tanα≠±1,也就是α≠kπ+π4,可变为α≠kπ2+π4。

要使tanα有意义,则须α≠kπ+π2(k∈Z)。

综合起来就是α≠kπ2+π4,

且α≠kπ+π2,(k∈Z)。当α=kπ+π2(k∈Z)时,虽然tanα的值不存在,但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱导公式。

师:对于cos2α=cos2α-sin2α,还有没有其他的形式?

生:有(板书)

∵sin2α-cos2α=1∴sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α∴cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α师:(板书三个公式,并告诉学生公式记号分别为S2α、C2α、T2α)对二倍角公式大家要注意以下问题。(1)用sinα和cosα表示sin2α、cos2α,用tanα表示tan2α,即用单角的三角函数表示复角的三角函数。(2)C2α有三种形式,T2α是有条件的。

例题分析

例1已知sinα=513,α∈π2,π。求sin2α,cos2α,tan2α的值。

解:因为sinα=513,α∈π2,π。所以cosα=-1-sin2α=-1-5132=-1213

于是sin2α=2sinαcosα=1×513×-1213=-120169

cos2α=1-2sin2α=1-2×5132=119169

tan2α=sin2αcos2α=-120169×169119=-120119

说明:本题也可按下列程序来做,请大家比较方法之优劣。

∵α∈π2,π,sinα=513

∴cosα<0,且cosα=-1213,tanα=-512

sin2a=2sinαcosα=(sin2α+2sinαcosα+cos2α)-1

=(sinα+cosα)2-1

=513-12132-1=49169-1=-120169

cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)

=-1213+513

-1213-513

=-713·-1713=119169

tan2α=2tanα1-tan2α=-10121-25144=-120119

例2不查表求值:

(1)2cos105°cos15°;

(2)518-59sin215°;

(3)tan15°1-tan215°;

(4)sinπ24cosπ24cosπ12。

解:(1)2cos105°cos15°=2cos(90°+15°)cos15°=2(-sin15°)cos15°=-2sin15°cos15°

=-sin30°=-12

(2)518-59sin215°=5912-sin215°=59·1-2sin215°2

=518cos30°

=5336

(3)tan15°1-tan215°=12·2tan15°1-tan215°=12·tan30°=36

(4)sinπ24cosπ24cosπ12=12·2sinπ24cosπ24cosπ12

=12sinπ12cosπ12

=14·2sinπ12cosπ12

=14sinπ6=18

说明:逆用公式的先决条件是认识公式的本质,要善于把表象的东西拿开,正确捕捉公式原形以便合理运用公式。

例3求证:[sinθ(1+sinθ)+cosθ(1+cosθ)][sinθ(1-sinθ)+cosθ(1-cosθ)]=sin2θ引导学生观察式子两边的结构,提出证题的方向。

生:左边都是单角的三角函数,右边是二倍角。又因左边比右边明显复杂得多,所以应由左边证向右边,注意把单角的三角函数变为二倍角。

师:(板书)

证明:左边=(sinθ+sin2θ+cos2θ+cosθ)·(sinθ-cos2θ+cosθ)

=(sinθ+cosθ+1)(sinθ+cosθ-1)

=(sinθ+cosθ)2-1

=2sinθcosθ=右边

所以原式成立

例4化简:sin50°(1+3tan10°)。

师:这道题给我们的感觉是有些无从下手,很难看出有什么公式可以直接使用。两个角10°与50°似乎还有一线希望,但由于受函数名称限制难以发挥它的作用,大家都来想想看,有什么办法可以打破这一僵局(请同学们讨论)?

生:在同角三角函数的化简中,如果一个式子有弦、有切,我们可以把切化成弦。

师:好的,我们来尝试(板书)

解:sin50°(1+3tan10°)

=sin50°1+3sin10°cos10°=sin50·cos10+3sin10°cos10°=sin50°·212cos10°+32sin10°cos10°=2sin50°·sin30°cos10°+cos30°sin10°cos10°=2sin40°·sin40°cos10°=sin80°cos10°=cos10°cos10°=1

说明:本题在尝试把正切化为弦(正、余弦)后果然获得成功,其实把正切化为弦就是一条重要思想,请同学们切记“遇切、割化弦”这一规律。另外本题的解答过程还反映了逆用和角公式的重要性,希望大家一并记下。

练习(投影)

(1)化简sinθ+sin2θ1+cosθ+cos2θ(2)80cosπ32cosπ16cosπ8sinπ32=

(3)若f(x)=2tanx-2sin2x2-1sinx2cosx2,则fπ12=

答案:(1)tanθ;(2)22;(3)8

【总结提炼】

(1)在两角和的三角函数公式S(α+β)、C(α+β)、T(α+β)中,当α=β时,就可以得到二倍角的三角函数公式S2α、C2α、T2α,说明后者是前者的特例。

(2)S2α、C2α中角α没有限制条件,而T2α中,只有α≠k2π+π4和α≠kπ+π2(k∈Z)时,才成立。

(3)二倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式,其他如4α是2α的2倍,α2是α4的二倍,3α是3α2的二倍等等都是适用的,要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关系,才能熟练地应用好二倍角公式,这是灵活运用公式的关键。