“复变函数与积分变换”的教学与实践
曹鸿钧，渠刚荣，郑神州
（北京交通大学理学院数学系，100044）
摘要：本文总结和分析近几年我校工科“复变函数与积分变换”教学与实践中存在的问题，提出改进的建议和具体措施。
关键词：复变函数与积分变换 存在问题 建议 改进措施
一、序言
“复变函数与积分变换”课程是继“微积分”和“几何与代数”后，工科数学的大面积必修课程。“复变函数与积分变换”之所以重要，不仅仅因为它是数学的一门重要分支，更重要的是它在电学、热学、流体力学、空气动力学等领域中的应用。因此，“复变函数与积分变换”应与“微积分”和“几何与代数”一样具有相同的地位。2007-2008学年，“ ‘复变函数与积分变换’ 课程改革的研究与实践”已得到北京交通大学的立项和资助。在本文中，将从“复变函数与积分变换”的教与学的基本情况、存在问题进行总结，在此基础上提出一些建议和改进措施，以便更好地完成“复变函数与积分变换”的教学，力争在下面两个方面取得进步：一是做到带“电”教学，即把“复变函数与积分变换”的教学与工科相关专业结合，为不同学院开设相关后续课程打好坚实基础；二是向研究性教学方面努力，培养学生的创新意识。
二、基本情况
（一）课时与教材
“复变函数与积分变换”课程分为A，B 两类，其中“复变函数与积分变换A”课时为48学时，而“复变函数与积分变换B”为32学时，两类课程的区别：除了课时量不同外，主要在于A 类对“积分变换”的教学内容也有所侧重。我校“复变函数与积分变换”课程主要在电子学院和电气学院作为必修课开设，通常情况下，电子学院安排在大一的第二学期第5周后开设“复变函数与积分变换A”（48学时），而电气学院则在大二第一学期开设“复变函数与积分变换B”（32学时）。除此之外，在其他学院开设32学时的选修课。
2007-2008学年前，教材选用西安交通大学高等数学教研室编《复变函数》（高等教育出版社）和南京工学院数学教研组编《积分变换》（高等教育出版社）。从2007-2008学年起，所有的教材改为由苏变萍、陈东立主编，由高等教育出版社出版的《复变函数与积分变换》。
（二）授课方式
“复变函数与积分变换”的教学主要采用大班授课方式，其中安排少量的课堂讨论和疑问解答，每次课后留课外作业，每门课都有助教1人，负责作业批改和答疑。采用大班授课是由于学校扩招后，学生人数增加，而授课教师人数并没有随之增加。以电子学院为例，2007- 2008学年第一学期，选修“复变函数与积分变换”的大二学生，加上重修的学生后，共有540人，有3个教师授课，平均每班180人。以往的实践证明大班授课的教学效果不理想，但从目前的情况看，大班授课不得不持续一段时间。
（三）教学内容
“复变函数与积分变换”的教学内容主要分为两部分，其中第一部分包括复数与复变函数、解析函数、积分、级数、留数、保形映照，而第二部分主要是由积分变换组成。第一部分是基础，而第二部分是应用。在教学内容和教材的选取上，大多数教师喜欢用西安交通大学高等数学教研室编《复变函数》（高等教育出版社）教材及所安排内容，因为这一教材在全国大部分工科数学“复变函数与积分变换”的教学中已使用了很长时间，迄今为止，在广泛征求使用意见的基础上，已对旧版本进行了多次锤炼和修订，具有很高的质量。同时，西安交通大学高等数学教研室编《复变函数》新版本充分考虑了工科数学学时少的特点，在内容上精雕细琢，安排的习题重点突出，在每章后都有学习要点和小结，以帮助学生提高学习质量和效率。但美中不足的是，这一教材没有包含“积分变换”内容，因此必须选择另外的配套教材。正因为如此，从2007-2008学年起，开始试用苏变萍、陈东立主编的《复变函数与积分变换》。
（四）教学效果
“复变函数与积分变换”是我校开设的工科数学大面积公共课，通过一代又一代教师的教学与实践，形成了重视基础、强调应用的传统和作风，每一位教师都希望在教学中尽量带“电”教学，即尽量与电子或电气学院的专业课相联系，注重“复变函数与积分变换”在电子信息、热学、流体力学等方面的应用。同时，遵守教育教学规律组织教学和安排教学，严格按照教学常规做好准备、执行、辅导等环节的教学。几年来，每一学年的“复变函数与积分变换”教学至少有几位教师同时授课，集体命题，同时考试，保证了学校每一年“复变函数与积分变换”课程教学任务的顺利完成。例如，从表1中181人期末考试成绩结果和分析来看，可以从几个基本方面了解教学效果。
三、存在问题
（一）课时不足
“复变函数与积分变换”总学时分别为48学时和32学时，考虑到国家法定假期，实际授课时数不足48学时或32学时，因此“复变函数与积分变换”的教与学压力非常大，特别是讲到“积分变换”部分，通常情况下，最多只有810学时的时间。而事实上，“积分变换”内容非常多，很多内容都是各专业学院要用到的，如果仅有810学时，远远不能完成“积分变换”的教学，相应也不能满足各专业学院相关后续课程的需求。
（二）课程安排
2007-2008学年第二学期，电子学院“复变函数与积分变换”课程是从大一第二学期第5周开设，之所以从第5周开课，是考虑到大一第二学期“微积分”将讲授“级数”。但实际上，即使到第9周“微积分”才开始讲数值级数，因此当“复变函数与积分变换”开始讲“复数项级数”时，学生基本不知道何谓“实数项级数”。
（三）大班教学与效果
以每班学生人数180人左右的规模进行授课，常常会受到教室条件、多媒体设备和其他条件的限制，教学效果很难保证。一方面，因为大班授课不能及时了解学生存在的问题，以便及时地解决；另一方面，难于进行互动，特别是对于坐在教室后面的同学难以管理。此外，考虑到紧张的教学时数，即使安排课堂讨论，也不得不压缩讨论时间，使得大多数时候“虎头蛇尾”，形式单调；教师往往讲得很辛苦，然而课堂教学、课堂气氛并没有收到应有效果。事实上，很多问题不仅仅是在课堂教学出现的，也与其他问题有关，例如，近年来，学生基础程度不同，有的省份录取的学生没有学过复数；学生主动学习的积极性有所下降；对工科“复变函数与积分变换”重视不够；每一次课都有人非正常缺课，不交作业，有的即使交作业，也是抄别人的作业或抄习题答案。
四、建议和改进措施
（一）增加课时
鉴于以上总结中提到的课时不够，特别是讲授“积分变换”时，课时严重不足，建议增加“复变函数与积分变换”课程的总课时，其中“复变函数”至少32学时，而“积分变换”至少24学时为宜。
（二）优化课程安排
建议“复变函数与积分变换”课程从大二第一学期开设，届时学生已学完一元和多元函数微积分，作为后续课程，“复变函数与积分变换”的教学才能顺利实现，避免出现学生学“复数项级数”时，却没有学过“实数项级数”的笑话。
（三）加强习题课
建议在增加总课时的前提下，适当增加习题课课时，每讲完4节课，应至少安排一节习题课。习题课的安排主要是作业讲评，在此基础上，适当地选取部分典型例题作详细讲解，以丰富和拓宽学生的解题思路。
（四）加强难点的教学与辅导
从“复变函数与积分变换”的教学及学生学习成绩分析情况看，难点在于以下几个方面。
（1）复数与复变函数部分：非零复数的幅角定义及计算。
（2）解析函数部分：幅角函数、对数函数连续性及解析性的判定。
（3）积分部分：基本积分计算方法，柯西及其推广定理，柯西积分公式，高阶解析函数求导公式在积分计算中的应用。
（4）级数部分：泰勒级数及罗朗级数在收敛区域的展开。
（5）留数部分：无穷远点留数的定义及计算，留数对定积分计算的应用。
（6）保形映照部分：解析映照如何把复杂区域映照成简单区域的理论。
（7）积分变换部分：傅立叶变换（逆变换），拉普拉斯变换（逆变换）及其性质、应用。
解决以上难点的最好办法在于精讲多练，特别是要抓住学生课外作业中出现的问题在课堂上详细分析，真正让学生做到概念清楚，方法得当，知其然和知其所以然。
（五）加强与专业课程的结合
“复变函数与积分变换”教学应当结合各专业学院的具体要求来进行，比如，电子或电气学院开设“复变函数与积分变换”的一个基本目的是为了学习“信号与系统”等后续课程。因此，要教好“复变函数与积分变换”，一方面要带“电”教学，即一定要把“复变函数与积分变换”的教学与电子或电气的相关专业结合；另一方面是向目前我校倡导的研究性教学方面努力。要做到这些要求，跟教师的学识水平、知识程度、研究兴趣有关。如果任课教师了解专业学院的需求，并且在与“电”有关的领域有所了解、有所建树，可以在教学中适当增加这方面的联系，例如，通过傅立叶变换得到的离散谱或连续谱，可以帮助识别信号的特征；通过积分变换，可以使复杂的微分方程或积分微分方程变为相对简单的代数方程组求解等。通过这些内容的教学，可以更好地培养学生的学习兴趣和创新意识，让学生真正认识到学习“复变函数与积分变换”的可用之处。
（六）加强研究性教学
在“复变函数与积分变换”的教学中，可以考虑在以下几个方面进行研究性教学实践：
（1）复变函数的学习可以极大地简化数学的一些计算，使仅靠微积分而不太容易解决的一些问题在复变函数里变得容易解决；
（2）复变函数的学习可以帮助学生深刻了解数学的本质，在复变函数的观点下，数学的某些原理和结论将变得更加简单和清晰；
（3）积分变换的学习可以帮助认识电子信号的规律和特征，从而为实验验证提供依据和参考；
（4）积分变换的学习可以将微分方程（组）的计算转换为代数方程（组）的求解，将为今后学习快速傅立叶变换、谱分析、小波变换等打下基础；
（5）探讨将数学建模思想融入复变函数与积分变换的课堂教学中，培养学生的数学建模能力，加强积分变换在信号、图像处理中的应用。
参考文献
［1］西安交通大学高等数学教研室.复变函数.北京：高等教育出版社，1999.
［2］南京工学院数学教研组.积分变换.北京：高等教育出版社，2002.
［3］苏变萍，陈东立.复变函数与积分变换.北京：高等教育出版社，2007.
［4］苏变萍，王一平.复变函数与积分变换学习辅导与习题选解.北京：高等教育出版社，2003.
［5］杨巧林，孙福树，刘锋编.复变函数与积分变换.北京：机械工业出版社，2008.
浅谈“几何与代数”的教学研究与实践
冯国臣，任丽伟
（北京交通大学理学院数学系，100044）
摘要：“几何与代数”是大学理工类专业的一门必修课程，本文针对“几何与代数”课程的特点及多年的教学经验，结合我院开展的高等数学教学改革活动，谈谈如何改进教学方法，提高教学质量，激发学生的学习兴趣，培养学生实践能力和自学能力。
关键词：几何与代数 课堂教学 线性相关 矩阵
一、绪论
当今时代，随着新的学科不断出现，知识的更新也越来越快。要求学生既要有扎实的基础知识，又要有不断学习新知识、解决新问题的能力。传统的教学方法以传授知识为主，忽视了对学生进行能力培养，因而已不适应新时代的要求，必须进行改革。
教育部启动的精品课程建设计划是“质量工程”的重要组成部分，这是每个高等学校非常关注的一项重要工作，同时也是贯彻落实党的十七大精神的重要举措。深化教学改革、推进教育创新、提高教学质量的关键是激活教师投入教学的积极性，扎扎实实地进行课程建设。我校也正在大力实施精品课程体系建设、重点基础课程建设，学院为此也提出努力建设国家级、市级、校级三级精品课程体系的课程建设质量工程。
“几何与代数”是高等工科院校学生必修的一门主要基础课程，是解决现实世界中的离散问题的有力工具。本人经过十几年的教学实践，发现“几何与代数”是一门很有特色的课程。首先，“几何与代数”课程中有很多实用方法，这些方法都是通过引进概念、建立相关的理论，再经过严密的逻辑推理而得到。但用这些方法去解题时，又都是一些较简单的算术运算。所以，在教学时，教师应把重点放在这些方法的产生过程上，而不是放在方法的使用上。事实上，这些方法的产生过程，就是提出问题、分析问题、解决问题的过程。学生学习这一过程，也就是学习如何提出问题、分析问题、解决问题，这有利于他们能力的提高。